（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测11椭圆方程及其性质（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第11课椭圆方程及其性质考点01椭圆的定义【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据椭圆定义得，再利用基本不等式求解最值即可.【详解】因为点P是椭圆上的动点，，，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.故选：A.【变式1-1】已知点满足方程，点．若斜率为斜率为，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】设，根据题意分析可知点在以为焦点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.【详解】设，则，可得，即点在以为焦点的椭圆上，且，所以点的轨迹为，整理得，由题意可知：，所以.故选：A.【变式1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为.【答案】.【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得，再结合椭圆定义将化为，结合以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，

故，当且仅当共线时取等号，所以，当且仅当共线时取等号，而,故的最小值为，故答案为：考点02椭圆的标准方程【例2】（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（

）A．B．C．D．【答案】BC【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．又，，得，所以或．故选:BC．【变式2-1】已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是.【答案】【分析】由椭圆的定义可得，，，再分和两种情况讨论，结合椭圆的焦距即可得解.【详解】由题意得，，，所以，①若，即时，则焦点在轴上，则，所以，代入，，，得，解得；②若，即时，则焦点在轴上，则，所以，代入，，，得，解得；综上，n的取值范围是.故答案为：.考点03椭圆的焦点三角形问题【例3】已知椭圆C：的左､右焦点分别是，，为椭圆C上一点，则下列结论不正确的是（

）A．的周长为6B．的面积为C．的内切圆的半径为D．的外接圆的直径为【答案】D【详解】由题意知，，，，由椭圆的定义知，，，∴的周长为，即A正确；将代入椭圆方程得，解得，∴的面积为，即B正确；设的内切圆的半径为r，则，即，∴，即C正确；不妨取，则，，∴的面积为，即，，由正弦定理知，的外接圆的直径，即D错误，故选:D.

【变式3-1】（多选）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（

）A．2B．3C．4D．5【答案】CD【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解.【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大，若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则，则，即，又焦点在轴上，解得，所以实数的值可以是4，5，故选：CD

【变式3-2】已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为．【答案】【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理、椭圆定义可得，再由三角形面积公式可得答案.【详解】因为，，所以，若，因为，则可得，由余弦定理可得，所以，则.故答案为：.

考点04椭圆的简单几何性质【例4】曲线与曲线的（

）.A．长轴长相等B．焦距相等C．离心率相等D．短轴长相等【答案】B【详解】曲线是焦点在轴上的椭圆，则，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率.曲线，由得，且，故曲线也是焦点在轴上的椭圆，，长轴长、离心率、短轴长均与有关，不一定与曲线的相同；而其焦距为，与曲线的焦距相同.故选：B.【变式4-1】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第二象限．若为等腰三角形，则点的坐标为．【答案】【分析】先根据方程求，由题意分析可得，列方程求解即可.【详解】由题意可知：，设，因为为上一点且在第二象限，则，，又因为为等腰三角形，且，则，即，解得，所以点的坐标为.故答案为：.考点05求椭圆离心率【例5】已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】由令，得，由于与轴平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，将点坐标代入椭圆的方程得，，，所以离心率.故选：B

【变式5-1】如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（

）

A．B．C．D．【答案】C【详解】设，易知，则，，又，所以.故选：C【变式5-2】已知椭圆的左､右焦点为，点在椭圆上，分别延长，交椭圆于点，且，则线段的长为，椭圆的离心率为.【答案】【详解】根据，以及椭圆定义，得，设，则，根据，由勾股定理，得；在中，，在中，由余弦定理，得，所以，所以，在中，由勾股定理，得.，在中，由余弦定理，得，所以，离心率.故答案为：；

考点06求椭圆离心率的取值范围【例6】已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】设椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，且，根据题意问题化为保证时，进而得到关于椭圆参数的不等式，结合椭圆离心率范围及求法确定离心率的取值范围.【详解】由题设，圆与椭圆在上下顶点处相切，椭圆上任意点(与上下顶点不重合)作圆的切线，如下图，

若且，要所作的圆的两条切线的夹角最小，只需最大，所以，当与左右顶点重合时，此时最小；靠近上下顶点时无限接近；在椭圆上存在一点，使得所作的圆的两条切线的夹角为，所以，保证时，即，由题意及图知：，故，而，所以椭圆的离心率的取值范围是.故选：A考点07直线与椭圆的位置关系【例7】在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，将切线方程与椭圆方程联立，求出的值，利用平行线间的距离公式可求得结果.【详解】如下图所示：

根据题意可知，当点在第三象限且椭圆在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取得最大值，可设切线方程为，联立，消去整理可得，，因为，解得，所以，椭圆在点处的切线方程为，因此，点到直线的距离的最大值为,联立，可得点的坐标为.故选：B.考点08椭圆的弦长问题【变式8】（多选）已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（

）A．1B．C．D．3【答案】BC【详解】当直线斜率存在时，设过斜率存在的直线方程为：，联立方程组消去，并整理得，易得，设，，则，，，，当斜率不存在时，故．故选:BC．考点09椭圆的中点弦问题【例9】已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】设，利用点差法求解即可．【详解】设，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，代入上式可得：＝0，化为．又，，联立解得．∴椭圆的方程为：．故选：C．【变式9-1】已知椭圆的长轴长为，且与轴的一个交点是，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（

）A．1B．C．2D．【答案】B【分析】由题意可求得椭圆方程为，由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的方程，则的最小值为点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】由题意得，则，，所以椭圆方程为，因为，所以在椭圆内，所以直线与椭圆总有两个交点，因为，所以点为线段的中点，设，则，，所以，所以，所以，即，所以，所以直线为，即，因为M为直线上任意一点，所以的最小值为点到直线的距离，故选：B考点10直线与椭圆的综合问题【例10】已知椭圆：的离心率为，且经过点．(1)求的方程；(2)过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点，联立的方程即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而得到，为关于的方程的两根，利用韦达定理可得，进而得点在椭圆上运动，由椭圆的定义即可求解.【详解】（1）设的半焦距为，则由离心率，得，所以，因为经过点，所以，即，得，．所以的方程为．（2）设，直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆的方程，消去，得．因为直线，与椭圆相切，所以，即，将代入上式，整理得，同理可得，所以，为关于的方程的两根，从而，整理可得，所以点在椭圆上运动，所以存在两个定点，，使得，为定值．椭圆方程及其性质随堂检测1.已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义求出即得解.【详解】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C

2．若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用点差法求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程.【详解】若直线轴，则点、关于轴对称，则直线的中点在轴，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设点、，则，所以，，两式作差可得，即，即，可得直线的斜率为，所以，直线的方程为，即.故选：B.3.已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造的齐次方程，结合椭圆关系可求得离心率.【详解】由题意知：，则直线，即，与圆相切，，即，，，椭圆的离心率.故选：A.4.已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，不妨设，因为点在椭圆上，所以，解得，所以，又因为为等腰直角三角形，所以,即，即，所以，解得或（舍），故选:B.5.椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于.【答案】3【分析】设椭圆的右焦点，则根据椭圆有定义可求出，再利用三角形的中位线定理可求得答案.【详解】设椭圆的右焦点，连接，则由，知.又点为的中点，点为的中点，所以.故答案为：36.已知椭圆的一个焦点为，椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率取值范围是．【答案】【详解】依题意不妨设为椭圆的左焦点，则，设，