（寒假）新高考数学一轮复习考点精讲+随堂检测13抛物线方程及其性质（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第13课抛物线方程及其性质考点01抛物线的定义与方程【例1】若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（

）A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线【答案】B【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答.【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.故选：B【变式1-1】（多选）若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得点的坐标.【详解】设抛物线的焦点为，则，依题意可知，所以，则.所以点坐标为：、.故选：BD

【变式1-2】若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（

）A．B．1C．D．【答案】D【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为，设，根据抛物线定义有有，∴，∴点到原点的距离为.故选：D.考点02抛物线方程与位置特征【例2】（多选）关于抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向左B．焦点坐标为C．准线为D．对称轴为轴【答案】AD【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，，开口向左，故A正确；对选项B，，焦点为，故B错误；对选项C，，准线方程为，故C错误；对选项D，，对称轴为轴，故D正确.故选：AD【变式2-1】（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为【答案】AC【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．故选：AC【变式2-2】抛物线的准线方程是，则实数.【答案】【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数.【详解】抛物线化为标准方程：，其准线方程是，而所以，即，故答案为：考点03距离的最值问题【例3】抛物线的顶点为原点，焦点为，则点到抛物线上动点的距离最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】求得抛物线的方程，设出点的坐标，根据两点间的距离公式以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】抛物线的焦点为，所以抛物线的方程为，且，所以抛物线的方程为，设，则，所以当时，取得最小值为.故选：B【变式3-1】若点在焦点为的抛物线上，且，点为直线上的动点，则的最小值为（

）A．B．C．D．4【答案】A【分析】先求得点的坐标，求得关于直线的对称点，根据三点共线求得的最小值.【详解】抛物线的焦点，准线，，则，不妨设，关于直线的对称点为，由于，所以当三点共线时最小，所以的最小值为.故选：A

【变式3-2】已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】设点A在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.【详解】设点A在准线上的射影为D，如图，

则根据抛物线的定义可知，求的最小值，即求的最小值，显然当D，B，A三点共线时最小，此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知.故选：B.考点04抛物线中的三角形和四边形问题【例4】已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则的面积为（

）A．3B．C．D．【答案】C【分析】设，则，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，求得的倾斜角为，得到直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，结合面积公式，即可求解.【详解】设，则，如图所示，不妨设的倾斜角为锐角，过分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则，，过作于，则，所以，所以的倾斜角为，由抛物线的焦点坐标为，所以直线方程为，即，联立方程组，整理得，设，可得，可得，所以.故选：C.

【变式4-1】设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（

）A．12B．6C．D．【答案】D【分析】由已知及抛物线定义证是正三角形，再求梯形的面积即可.【详解】由题知，抛物线的焦点F为，准线l为，如图所示.

由题知，因为，所以，则.因为，所以，由抛物线的定义知，所以是正三角形，所以，则.故选：D【变式4-2】过的直线l与抛物线E：交于，两点，且与E的准线交于点C，点F是E的焦点，若的面积是的面积的3倍，则【答案】【分析】由题意设直线的方程为，代入抛物线方程化简利用根与系数的关系可得，再由的面积是的面积的3倍，可得到准线的距离是到准线有距离的3倍，则，从而可求出，进而可求得答案.【详解】由，得，由题意可知直线的斜率存在，所以设直线的方程为，由，得，易得，所以，因为的面积是的面积的3倍，所以，所以到准线的距离是到准线的距离的3倍，所以，即，因为，所以，化简得，解得或（舍去），所以，所以，故答案为：考点05抛物线的简单几何性质【例5】定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质，根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】选项A，表示圆心在原点，半径为2的圆，由圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项A错误；选项B，由椭圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项B错误；选项C，由双曲线的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项C错误；选项D，由，得到，由抛物线性质知，关于轴对称，无对称中心，所以选项D正确.故选：D.【变式5-1】为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】在抛物线中可借助直角三角形的正切值的求解.再由对称性求.【详解】抛物线中时可得，且则，取（如图）

，,又对称性可知.故选；C.【变式5-1】对抛物线，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为【答案】A【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.考点06直线与抛物线的位置关系【例6】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（

）A．1条B．2条C．3条D．1条、2条或3条【答案】C【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可.【详解】联立直线和抛物线方程可得，整理可得，直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，当时，方程为仅有一解，符合题意；当时，一元二次方程仅有一解，即，解得，所以满足题意得直线有三条，即，和.故选：C【变式6-1】（多选）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】分斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时分二次系数是否为0讨论可得.【详解】（1）当过点的直线l的斜率存在时，设其方程为，由方程组消去y得，①若，则，解得，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l的方程为，A正确；②若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l的方程为，即，B正确.（2）当过点的直线l的斜率不存在时，方程为，与抛物线相切，只有一个交点，C正确．综上，直线l的方程为，或.故选：ABC.

考点07抛物线的焦点弦问题【例7】直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（

）A．4B．C．8D．【答案】C【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的坐标，即可求得弦长.【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，，，因为，所以，得，①因为，所以，即，②由方程①②可得，，所以.故选：C【变式7-1】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，若，则（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据题意，作出抛物线与直线AB的图像，利用抛物线的定义将曲线上的点到焦点的距离转化为曲线上的点到准线的距离，借助几何图形可判断直线AB的倾斜角，从而可得答案．【详解】如图，当点在第一象限时，过点分别向准线作垂线，垂足为，作，垂足为，则轴，设，则，，由抛物线的定义得，则有，在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，，，∴，于是直线l的倾斜角为，斜率．当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为.故选：D．【变式7-2】设抛物线的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为．【答案】10【分析】设，由中点到轴距离结合焦点弦长公式求解．【详解】设，则，由抛物线方程可知，由线段的中点E到y轴的距离为3得，，∴故答案为：.考点08抛物线的中点弦问题【例8】已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.【详解】设，由得：，线段的中点为，，，，即直线的斜率为，直线的方程为：，即.故选：A.【变式8-1】抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为.【答案】【分析】设，两点坐标分别为，，由，可得，进而结合中点坐标公式即两点间的斜率公式求解即可.【详解】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，则，可得，即，即又，所以.故答案为：.【变式8-2】已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长【答案】【分析】根据题意设，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公式求即可.【详解】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设，联立抛物线得，，故，，所以，即，则.故答案为：考点9直线与抛物线的综合问题【例9】设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.(1)证明：直线过定点；(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.【答案】(1)证明见详解；(2)【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合平面向量数量积计算即可；（2）利用导数得出过M、N的切线方程，求出切线的交点P坐标，结合弦长公式得出比值，利用函数研究计算其范围即可.【详解】（1）由题意可设直线的方程为：，，联立抛物线方程，所以，又，化简得，解之得，即直线为：，显然过定点；（2）由抛物线，则点的切线方程分别为，易知，联立切线方程可得，结合（1）可知，∴，故，，由弦长公式及（1）可得，所以，易知，即的取值范围为.【变式9-1】已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.【答案】(1)；(2)恒过定点.【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出值作答.（2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示计算作答.【详解】（1）由知，抛物线的准线方程为，而是该抛物线的焦点，又，因此，解得，所以抛物线C的方程为.（2）显然直线不垂直于y轴，设直线l：，，，由消去x并整理得，，即，于是，，，由，得，则有，即，因此，则，解得，满足，直线过定点，所以直线恒过定点.

抛物线方程及其性质随堂检测1.已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标.【详解】因为是抛物线：的焦点，所以，又，由抛物线的定义可知，解得，所以.故选：A2.设是抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为.【答案】5【分析】过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，根据抛物线的定义可得，当、、三点共线时，小值．【详解】抛物线，所以焦点为，准线方程为，当时，所以，因为，所以点在抛物线内部，如图，过作准线的垂线垂足为，交抛物线于，由抛物线的定义，可知，故．即当、、三点共线时，距离之和最小值为．故答案为：．3.已知抛物线的顶点为坐标原点，准线为，直线与抛物线交于两点，若线段的中点为，则直线的方程为．【答案】【分析】由题意可求得抛物线的方程，设，由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程即可得出答案.【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，准线为，所以易得抛物线的方程为，设，因为线段的中点为，故，则，由，两式相减得，所以，故直线的方程为，即．故答案为：.

4.如图，已知点P是抛物线上的动点，点A的坐标为，则点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为.

【答案】12【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线定义将点P到点A的距离与到x轴的距离之和转化为点P到点A的距离与到焦点的距离之和减去1，继而利用几何意义求得答案.【详解】由抛物线方程可知其焦点为，准线为，点P是抛物线上的动点，则点P到x轴的距离为P到准线的距离减去1，

由抛物线定义知P到准线的距离等于P到焦点的距离，设P到x轴的距离为d，则，当且仅当三点共线时等号成立，而，故，即点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值为12.5.倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于A，两点(1)求抛物线的准线方程；(2)求的面积（为坐