2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：数列（10题）

第1页（共1页）2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：数列（10题）一．选择题（共10小题）1．已知数列{an}的前n项和Sn=n3A．66 B．77 C．88 D．992．（2024•扬州模拟）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，若b是a与c的等比中项，则f（x）的零点个数为（）A．0 B．0或1 C．2 D．0或1或23．（2024•江西模拟）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且S12﹣S5＝21，则S17＝（）A．17 B．34 C．51 D．684．（2024•平谷区模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1＝b1＝﹣4，a4＝2，a5＝8b4，m∈N*，则满足am•bm＞1的数值m（）A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值5．（2024•雁峰区校级模拟）已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3+a8＝20，且a5是a2与a14的等比中项．设数列{bn}满足bn=1anan+1(n∈N*)A．12(1-12n+1)=C．12(1-12n+16．（2024•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+⋯+12n＞12A．增加了12(k+1)B．增加了12k+1C．增加了12k+1+1D．增加了12k+7．（2024•衡阳县校级模拟）已知数列{an}满足an+1＝4an﹣12n+4，且a1＝4，若ak＝2024，则k＝（）A．253 B．506 C．1012 D．20248．（2024•保定三模）已知数列{an}，则“an-2+an+2=2aA．充分不必烈条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2024•邵阳三模）已知{an}是等比数列，且a1a2a3＝3，a3a4a5＝6，则a9a10a11＝（）A．12 B．24 C．36 D．4810．（2024•浑南区校级模拟）已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时有an﹣1an+1＝e2n，则数列{lnan}的前20项和为（）A．190 B．210 C．220 D．420

2025年高考数学复习之小题狂练600题（选择题）：数列（10题）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知数列{an}的前n项和Sn=n3A．66 B．77 C．88 D．99【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【答案】C【分析】利用a6＝S6﹣S5计算出答案．【解答】解：由Sn=nS5所以a6＝S6﹣S5＝204﹣116＝88．故选：C．【点评】本题考查由数列的递推式求通项，属于基础题．2．（2024•扬州模拟）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，若b是a与c的等比中项，则f（x）的零点个数为（）A．0 B．0或1 C．2 D．0或1或2【考点】等比中项及其性质．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据给定条件，确定判别式的正负即可得解．【解答】解：由b是a与c的等比中项，得a≠0，b≠0，ac＝b2，方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＝﹣3b2＜0，因此方程ax2+bx+c＝0无实根，所以f（x）的零点个数为0．故选：A．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，还考查了函数零点的求解，属于基础题．3．（2024•江西模拟）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且S12﹣S5＝21，则S17＝（）A．17 B．34 C．51 D．68【考点】等差数列的前n项和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】C【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．【解答】解：等差数列{an}中，S12﹣S5＝a6+a7+…+a11+a12＝7a9＝21，所以a9＝3，则S17=17(a1+a17故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．4．（2024•平谷区模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1＝b1＝﹣4，a4＝2，a5＝8b4，m∈N*，则满足am•bm＞1的数值m（）A．有且仅有1个值 B．有且仅有2个值 C．有且仅有3个值 D．有无数多个值【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】A【分析】由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，求得an，bn，运用分类讨论思想解不等式可得所求取值．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝﹣4，a4＝2，a5＝8b4，可得﹣4+3d＝2，﹣4+4d＝﹣32q3，解得d＝2，q=-则an＝﹣4+2（n﹣1）＝2n﹣6，bn＝﹣4×（-12）n﹣1＝8•（-1am•bm＞1，即8（2m﹣6）•（-12）m＞当m为奇数时，m＝1时成立，其余都不成立；当m为偶数时，m＝2，不等式左边小于0，不等式不成立；m＝4时，不等式左边＝16×116m＝6时，不等式的左边＝48×164m＝8时，不等式的左边＝80×1256其余的偶数，也都不成立．故选：A．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及不等式的解法，考查方程思想和分类讨论思想、运算能力，属于中档题．5．（2024•雁峰区校级模拟）已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3+a8＝20，且a5是a2与a14的等比中项．设数列{bn}满足bn=1anan+1(n∈N*)A．12(1-12n+1)=C．12(1-12n+1【考点】裂项相消法．【专题】综合题；方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】A【分析】先设等差数列{an}的公差为d（d≠0），再根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{an}的通项公式，进一步推导出数列{bn}的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可推导出Sn的表达式．【解答】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d（d≠0），则a3化简整理，得2a解得a1∴an＝1+2•（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*，∴bn==1=1∴Sn＝b1+b2+…+bn=12•（1-13）+12•（=12•（1=1=n故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等比中项的性质运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．6．（2024•松江区校级模拟）用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+⋯+12n＞12A．增加了12(k+1)B．增加了12k+1C．增加了12k+1+1D．增加了12k+【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．【专题】转化思想；转化法；推理和证明；数学运算．【答案】C【分析】分别求出当n＝k，n＝k+1时，不等式左边的表达式，通过比较，即可求解．【解答】解：当n＝k时，不等式左边为1k+1当n＝k+1时，不等式的左边为1k+1+1故不等式左边增加了12k+1+1故选：C．【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．7．（2024•衡阳县校级模拟）已知数列{an}满足an+1＝4an﹣12n+4，且a1＝4，若ak＝2024，则k＝（）A．253 B．506 C．1012 D．2024【考点】数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】B【分析】由已知数列的递推式推得an+1﹣4（n+1）＝4（an﹣4n），结合首项可得an＝4n，解方程可得所求值．【解答】解：因为a1＝4，所以a1﹣4×1＝0，因为an+1＝4an﹣12n+4，所以an+1﹣4（n+1）＝4（an﹣4n）．所以an+1所以an＝4n．由ak＝4k＝2024，解得k＝506．故选：B．【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的通项公式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．8．（2024•保定三模）已知数列{an}，则“an-2+an+2=2aA．充分不必烈条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】等差数列的性质；充分条件与必要条件．【专题】分类讨论；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【答案】B【分析】判断充分性：由已知可得an+2﹣an＝an﹣an﹣2，数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列{an}不一定是等差数列；再判断必要性：数列{an}是等差数列，可得2an＝an﹣2+an+2，可得结论．【解答】解：判断充分性：因为an﹣2+an+2＝2an，所以an+2﹣an＝an﹣an﹣2，令n＝2k（k∈N*），则a2k+2﹣a2k＝a2k﹣a2k﹣2＝⋯＝a4﹣a2，所以数列{an}的偶数项成等差数列，令n＝2k﹣1（k∈N*），则a2k+1﹣a2k﹣1＝a2k﹣1﹣a2k﹣3＝⋯＝a3﹣a1，所以数列{an}的奇数项成等差数列，但数列{an}不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3；所以“an-2+an+2=2a再判断必要性：若数列{an}是等差数列，则2a所以2an＝an﹣2+an+2，所以“an-2+an+2=2a综上，“an-2+an+2=2a故选：B．【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了等差数列的定义与应用问题，是中档题．9．（2024•邵阳三模）已知{an}是等比数列，且a1a2a3＝3，a3a4a5＝6，则a9a10a11＝（）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】等比数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】D【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，a1a2a3＝3，a3a4a5＝6，则q6故a9a10a11=a故选：D．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．10．（2024•浑南区校级模拟）已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时有an﹣1an+1＝e2n，则数列{lnan}的前20项和为（）A．190 B．210 C．220 D．420【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；直观想象．【答案】B【分析】利用等比数列通项公式求出an＝en，从而lnan＝lnen＝n，由此能求出数列{lnan}的前20项和．【解答】解：∵等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时有an﹣1an+1＝e2n，∴an﹣1an+1＝（a1qn-1）2＝（an）2＝e∴n≥2时，an＝en，∴a1a3=∴lnan＝lnen＝n，∴数列{lnan}的前20项和为：S＝1+2+3+…+20=202故选：B．【点评】本题考查数列的前20项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

考点卡片1．充分条件与必要条件【知识点的认识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【命题方向】充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．2．等差数列的性质【知识点的认识】等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．【解题方法点拨】例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{an}的通项公式；（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此数列的第136项．这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．3．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解题方法点拨】eg1：设等差数列的前n项和为Sn，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝则S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．求数列{|an|}的前n项的和Tn．解：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【命题方向】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．4．等比数列的性质【知识点的认识】等比数列（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an等比数列的性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或⇔a1【解题方法点拨】例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．5．等比中项及其性质【知识点的认识】等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，an为常数列．在两个数a和b中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项．有G2＝a•b（ab≠0）【解题方法点拨】﹣定义：在等比数列中，对于任意三项an﹣1，an，an+1，有an﹣性质：等比中项的性质可以用来验证数列是否为等比数列，或求解数列的具体项．【命题方向】常见题型包括利用等比中项的性质验证数列是否为等比数列，以及通过中项的性质求解数列中的项．等比数列{an}中，a1=18，q＝2，则a4与a解：设a4与a8的等比中项是x，由等比数列{an}的性质可得x2＝a4•a8=18×23×18∴x＝±4，∴a4与a8的等比中项x＝±4．6．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．（4）单调性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1⇔{an}是递增数列；a1＞00＜q＜1或a1＜7．裂项相消法【知识点的认识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等：（1）裂项相消法：适用于求数列{1anan+1}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即【解题方法点拨】裂项相消法是一种用于求解数列和的技巧，通过将数列项裂解成两个或多个部分进行相消来简化计算．【命题方向】常见题型包括利用裂项相消法计算等差或等比数列的前n项和，结合具体数列进行分析．求和：12解：因为k(k+1)!所以原式=(1故答案为：1-18．数列递推式【知识点的认识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=s在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．【解题方法点拨】数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2s1;;n=1（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f(1)（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=a（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an=a（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．9．等差数列与等比数列的综合【知识点的认识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有as+at＝2ap；（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd