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文档简介

第7章参数估计第一节知识梳理

第二节重点解析

第三节典型例题

第四节习题全解

第一节知识梳理

第二节重点解析

1.点估计及其求法

1)点估计的概念

定义:设总体X的分布中含有未知参数θ,且X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,x1,x2,…,xn

是相应的一个样本值。若构造一个适当的统计量

(X1,X2,…,Xn),用其观测值(x1,

x2,…,xn)作为θ的近似值,则称(X1,X2,…,Xn)是θ的一个估计量,并称(x1,x2,…,xn)是θ的一个估计值。θ的估计量与估计值统称估计,并都简记为。

2)矩估计法

定义:设总体X的分布中仅含有l个未知参数θ1,θ2,…,θl,且X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样

本。若X的前l阶原点矩ak=E(Xk)(k=1,2,…,l)存在,则ak=E(Xk)(k=1,2,…,l)均为未知参数θ1,θ2,…,θl

的函数,记

ak=E(Xk)=ak(θ1,θ2,…,

θl)(k=1,2,…,l)根据矩估计法的基本思想,以样本的前l阶原点矩Ak(k=1,2,…,l)分别作为总体前l阶原点矩ak(k=1,2,…,l)的估计量,建立方程组这是一个包含未知参数θ1,θ2,…,

θl的联立方程组,称为矩方程组。

从矩方程组中可以解出θ1,θ2,…,θl。如果矩方程组有唯一的一组解

3)最大似然估计法

(1)离散型总体情形。设离散型总体X的分布律为P{X=x}=p(x;θ1,…,θl),x=x(1),x(2),…,其中

θ1,θ2,…,θl是未知参数。如果取得样本值x1,x2,…,xn,那么出现此样本值的概率为

显然上式是未知参数θ1,θ2,…,θl的函数,称之为似然函数。根据最大似然原理,既然已取得样本值x1,x2,…,xn,就可认为当时确定总体成分的未知参数θ1,θ2,…,θl的取值,应使样本值x1,x2,…,xn出现的概率L为最

大。于是,可选择θ1,θ2,…,θl的适当值1,2,…,

l,使(2)连续型总体情形。设连续型总体X的密度函数为

f(x;θ1,…,θl),其中θ1,θ2,…,θl是未知参数。若X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,

x1,x2,…,xn

是已取得的一个样本值,则n维随机点(X1,X2,…,Xn)落在包含定点(x1,x2,…,xn)的一个n维小立方体

Ω:x1≤t1<x1+dx1,x2≤t2<x2+dx2,…,xn≤tn<xn+dxn上的概率其中dx1,dx2,…,dxn都是固定的量。显然上式是θ1,θ2,…,θl的函数。

3.区间估计

1)置信区间的概念

定义:设总体X的分布中含有未知参数θ,且X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本。若对事先给定的α(0<α<1),存在两个统计量θ和θ,使得

P{θ<θ<θ}=1-α,则称区间(θ,θ)是θ的置信度为

1-α的置信区间,θ与θ分别称为置信下限与置信上限,

1-α称为置信度或置信概率

2)单个正态总体均值与方差的区间估计

(1)当总体方差σ2已知时,均值μ的置信度为1-α的置信区间为(2)当总体方差σ2未知时,均值μ的置信度为1-α的置信区间为(3)方差σ2的置信度为1-α的置信区间为(4)标准差σ的置信度为1-α的置信区间为

3)两个正态总体均值差与方差比的区间估计

(1)两个正态总体均值差μ1-μ2的置信区间:

①当σ21和σ22均已知时,μ1-μ2的置信度为1-α的置信区间为②当σ21=σ22=σ2为未知时,μ1-μ2的置信度为1-α的置信区间为(2)两个正态总体方差比σ21/σ22的置信区间:方差比σ21/σ22的置信度为1-α的置信区间为

4)单侧置信区间

定义:设总体X的分布中含有未知参数θ,且X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本。对事先给定的α(0<α<1),若存在一个统计量θ,满足P{θ>θ}=1-α,则称随机区间(θ,+∞)是θ的置信度为1-α的单侧置信区间,θ称为置信度为1-α的单侧置信下限;若存在一个统计量θ,满足P{θ<θ}=1-α,也称随机区间(-∞,θ)是θ的置信度为

1-α的单侧置信区间,而θ称为置信度为1-α的单侧置信上限。第三节典型例题

【例7.1】设总体X服从对数正态分布,且密度函数为

求:

(1)μ、σ2的矩估计;

(2)μ、σ2的最大似然估计。解(1)由已知可算得令即解得(2)似然函数为上式两边取对数,得令解得μ和σ2的最大似然估计分别为

【例7.2】设总体X的密度函数为X1,…,Xn为X的样本,证明X和nX*1都是θ的无偏估计量,并比较它们的有效性

【例7.3】设总体X~U(0,θ),X1,…,Xn为X的样本,证明为θ的无偏估计,并且是相合估计。

证明X的分布函数为从而X*n的分布函数为所以于是因此即为θ的无偏估计。由于故由切比雪夫大数定律,ε>0有

【例7.4】已知总体X服从瑞利分布,其密度函数为

未知参数θ>0,X1,X2,…,Xn为取自该总体的样本。求

θ的矩估计量和最大似然估计量,并说明这两个估计量是不是无偏估计量。解由已知可算得

令,则故,因此θ的矩估计量为又令,则当x1,x2,…,xn>0时,似然函数为取对数由对数似然方程又

【例7.5】已知某种材料的抗压强度X~N(μ,σ2),现随机地抽取10个试件进行抗压试验,测得数据如下:

482,493,457,471,510,446,435,418,394,469(1)求平均抗压强度μ的点估计值;

(2)求平均抗压强度μ的95%的置信区间;(3)若已知σ=30,求平均抗压强度μ的95%的置信

区间;

(4)求σ2的点估计值;

(5)求σ2的95%的置信区间;

(6)求σ的点估计值;

(7)求σ的95%的置信区间。解(1)由已知算得

(2)因为

故参数μ的置信度为0.95的置信区间是~经计算x=457.50,

s=35.22,n=10,又查自由度为9的分位数表得t0.025(9)=2.262,故置信区间为(3)若已知σ=30,则平均抗压强度μ的95%的置信区间为(4)(5)因为,所以σ2的95%的置信区间为~其中,S2的观测值为1240.28。又因为所以(7)由(5)得σ的95%的置信区间为=(24.2237,64.2982)第四节习题全解

7.1对某种混凝土的抗压强度进行抽样试验,得到样本值如下(单位:kg/cm2):

1939,1697,3030,2424,2020,2909,1815,

2020,2310

试求总体均值μ与总体方差σ2的矩估计值,并求样本方差s2。解由矩方程组可得进而得即代入题目所给的样本值可得,,

7.2设总体X的密度函数为

其中θ>0是未知参数,求θ的矩估计。解由已知可算得

7.3设总体X服从泊松分布,其分布律为

试求未知参数λ(λ>0)的矩估计。解由已知可算得由矩方程a1=A1得E(X)=X,即λ=X,所以λ的矩估计为。

7.4设总体X服从对数级数分布,其分布律为其中0<p<1,试求参数p的矩估计。解由已知可算得建立矩方程组即得

7.5设总体X的密度函数为

求参数σ(σ>0)的最大似然估计。解设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,x1,x2,…,xn为其观测值,则似然函数为上式两边取对数,得即由dlnL/dσ=0得所以σ的最大似然估计量为

7.6已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布,其分布参数均未知。在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(单位:h)为

1067,919,1196,785,1126,936,918,

1156,920,948

试用最大似然估计法估计这个星期生产的灯泡中能使用1300h以上的概率。解总体X的密度为设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,x1,x2,…,xn为其观测值,则似然函数为上式两边取对数,得由对数似然方程得解得,所以μ与σ2的最大似然估计量分别为,代入题目所给样本值可得,从而得

7.7设有一大批产品,其次品率p(0<p<1)未知。今从中随意抽取100个,发现有5个次品,试求p的最大似然估计值。解设总体为X,由题目可知X~b(1,p),故X的分布律为

P{X=x}=px(1-p)1-x(x=0,1)

由题目所给数据可得到似然函数为

L=p5(1-p)95上式两边取对数,得

lnL=5lnp+95ln(1-p)

由解得p的最大似然估计值为

7.8设总体X服从几何分布,其分布律为

P{X=x}=p(1-p)x-1

(x=1,2,…)

求参数p(0<p<1)的矩估计和最大似然估计。令1-p=q,则所以似然函数为上式两边取对数,得

7.9设总体X服从二项分布b(N,p),其中N已知而p未知,试求p的矩估计和最大似然估计。

解总体X的分布律为

P{X=x}=CxNpx(1-p)N-x

(x=0,1,2,…,N)设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,x1,x2,…,xn为

其观测值。由已知可算得似然函数为上式两边取对数,得由解得

7.10设总体X具有分布律其中α、β为非负未知参数。若1,2,1,3,1是X的一个样本值,求:(1)α和β的矩估计值;(2)α和β的最大似然估计值。解(1)由分布律的归一性可知α2+2αβ+β2=1,即α+β=1,所以β=1-α,故X的分布律可改写为所以解得所以α的矩估计量为进而得β的矩估计量为

(2)根据题目所给样本观测值可得似然函数为

显然不能取1或0。所以对数似然函数为由进而

7.11设总体X服从双指数分布,其密度函数为

其中0<μ<+∞,0<σ<+∞为未知参数。试求μ与σ的矩估计和最大似然估计。解由已知可算得所以由矩方程得即解得所以μ和σ的矩估计分别为设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,x1,x2,…,

xn为其观测值,则似然函数为由于对数似然函数lnL无驻点,所以直接对L进行讨论:因为L关于μ为单调递增函数,且xi>μ(i=1,2,…,n),即

μ≤min{x1,x2,…,xn}

所以当μ=min{x1,x2,…,xn}时,可使L达到最大(此时

σ为定值),故

7.12设总体X服从均匀分布,其密度函数为

已知X的一个样本值为1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1。试求参数β、均值μ以及方差σ2的矩估计值和最大似然估计值。解总体X服从(0,β)上的均匀分布,其期望为由矩方程a1=A1得E(X)=X,即所以β的矩估计量为设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,x1,x2,…,

xn为其观测值,则似然函数为由于L关于β为单调递减函数,且0<xi<β(i=1,2,…,n),即

β≥max{x1,x2,…,xn}

7.13设总体X的均值μ和方差σ2都存在,X1,X2,…,Xn为X的一个样本,证明:

(1)样本加权平均值

是μ的无偏估计量;

(2)在μ的所有形如X*的无偏估计量中,样本均值X

最有效。证明(1)因为所以X*是μ的无偏估计量。(2)方法一:利用许瓦尔兹不等式进行证明。

许瓦尔兹不等式的形式为因为方法二:利用多元条件极值方法进行证明。由可知,当达到最小时,达到最小,利用求解多元条件极值的拉格朗日乘数法,作辅助函数由解得

7.14设总体X服从正态分布N(μ,σ2),且X1,X2,…,Xn为X的一个样本,试确定常数c,使得为σ2的无偏估计量。解因为

7.17已知铁厂铁水的含碳量(%)在正常情况下服从正态分布,且标准差σ=0.108。现测得5炉铁水,其含碳量分别为4.28、4.40、4.42、4.35、4.37,试求均值μ的置信度为0.95的置信区间。解对于正态分布总体,当总体方差(或标准差)已知时,其均值的1-α置信度的置信区间为

由题目所给样本值可得x=4.364,而n=5,1-α=0.95,

uα/2=u0.025=1.96,σ=0.108,所以

7.18铝的密度测量值是服从正态分布的。若测量16次,算得样本均值x=2.705,样本标准差s=0.029,试求铝的密度置信度为95%的置信区间。

解对于正态分布总体,当总体方差(或标准差)未知时,其均值的1-α置信度的置信区间为。由题目所给数据知

x=2.705,s=0.029,α=0.05,n=16

查表可得

t0.025(15)=2.131

所以置信区间为

7.19从某厂生产的滚珠中随机抽取10个,测得它们的直径(单位:mm)分别为

14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14.8,

15.0,15.1,15.2,14.8

设滚珠的直径服从正态分布N(μ,σ2),对以下两种情况分别求出均值μ的置信度为0.95的置信区间。

(1)已知σ=0.16;

(2)σ未知。解由题目所给样本值可得

x=14.92,s=0.193,n=10,1-α=0.95

查表可得(1)当σ=0.16时,1-α置信度的置信区间为

入题目数据得(2)当σ未知时,1-α置信度的置信区间为

,代入题目数据得

7.21设某种炮弹的初速度服从正态分布,取10发炮弹做试验,得样本标准差s=12.4m/s。求这种炮弹初速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。解正态总体标准差σ的1-α置信度的置信区间为由题目所给数据知

s=12.4,n=10,1-α=0.95查表可得

,代入题目数据可得σ的0.95置信度的置信区间为

7.22测得一批钢件20个样本的屈服点(单位:t/cm2)分别为

4.98,5.11,5.20,5.20,5.11,5.00,

5.61,4.88,5.27,5.38

5.46,5.27,5.23,4.96,5.35,5.15,

5.35,4.77,5.38,5.54

设钢件屈服点服从正态分布,试求其均值μ和标准差σ的置信度为0.95的置信区间。解由于总体方差未知,故μ的1-α置信度的置信区

间为所以μ的0.95置信度的置信区间为x=5.21,s=0.220,n=20,1-α=0.95

σ的1-α置信度的置信区间为

t0.025(19)=2.093所以μ的0.95置信度的置信区间为σ的1-α置信度的置信区间为

查表可得,所以σ的0.95置信度的置信区间为

7.23为了估计磷肥对某农作物增产的作用,现选20块条件大致相同的土地进行试验。10块施磷肥,另外10块不施磷肥,获得产量(单位:kg/hm2)如下:

施磷肥产量:

6200,5700,6500,6000,6300,5800,

5700,6000,6000,5800

不施磷肥产量:

5600,5900,5600,5700,5800,5700,

6000,5500,5700,5500设施磷肥和不施磷肥每公顷的产量都具有正态分布,且方差相同,取置信度为0.95,试对施磷肥平均公顷产量和不施磷肥平均公顷产量之差作区间估计。解根据题目所给数据知所以查表可得

t0.025(18)=2.1009所以μ1-μ2的0.95置信度的置信区间为

7.24从某地区随机抽取男、女各100名,以估计男、女平均高度之差。测量并算得男子高度的平均数为xA=1.71m,标准差为sA=0.035m,女子高度的平均数为xB=1.67m,标准差为sB=0.038m。设该地区男、女的高度分别具有正态总体N(μA,σ2)、N(μB,σ2),试求男、女高度平均数之差μA-μB的9

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