《机械系统动力学》课件第三章 机械系统运动微分方程的求解2

3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-1欧拉法对于常微分方程的定解问题，形如3-2-1所谓数值解法,就是寻求解

在一系列离散节点

上的近似值

。相邻两个节点的间距

称为步长，一般在计算时常取步长为定值,这时节点为3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-1欧拉法初值问题3-2-1的数值解法的求解过程为：给出用已知信息

计算

的递推公式，从初始条件出发，顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。即所谓“步进式”算法。欧拉法以节点的差商代替导数值，构成的递推公式为：即欧拉（Euler）公式：3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-1欧拉法从图3-2-1（b）可以看出，由于欧拉法是以差商代替导数，其误差较大。为了提高计算精度，一种办法是减小步长，但会导致累计误差增大，当步长减小到一定程度后，计算精度提高受限。另一种办法是改进算法，如改进的欧拉法、Runge-Kutta法等。改进的欧拉法以

和

两个节点的差商的平均值来代替导数，由于

值为待求值，故计算

结点的差商采用预测，其迭代公式可以证明，欧拉法具有1阶精度，而改进的欧拉法具有2阶精度3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-1欧拉法对于具有关于时间2阶导数的单自由度机械系统运动微分方程，形如可令

将上式转化成1阶常微分方程组其欧拉法的迭代公式为3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-1欧拉法改进的欧拉法的迭代公式为：3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-2Newmark-法Newmark-

法是线性加速度法之一。对于具有关于时间2阶导数的单自由度机械系统运动微分方程式，其

的Talar展开式：上式中取前三项，若认为加速度在区间[

,

]为线性变化，则有

代入上式3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-2Newmark-法线性加速度法的迭代公式大致具有3阶精度，将上式的最后一项中

用

代替，即为Newmark-

法。其迭代公式为式中

为调节公式特征的参数，一般取值范围为

3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-2Newmark-法对于多自由度振动系统运动微分方程：时刻有关系式

整理移项：代入式Newmark-法迭代公式3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-3Runge-Kutta法Runge-Kutta法是求解常微分方程应用最多的方法之一。对于微分方程的定解问题，欧拉法求解，其截断误差

故具有1阶精度，改进欧拉法，由于预测了

结点的差商并用

两个节点的差商的平均值来代替导数，可望达到2阶精度。实际上，在区间[

]的等价积分形式为

一般来说，接点数越多，计算越准确通过增加积分求积的结点数提高计算精度，故将右端的积分表示为3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-3Runge-Kutta法仿照欧拉法的迭代公式，写成

式中

均为待定常数，r阶Runge-Kutta法其中

称增量函数，可表示为3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-3Runge-Kutta法工程中应用最多的是4阶Runge-Kutta法，其迭代公式为

3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法3-2-3Runge-Kutta法对于单自由度振动系统运动微分方程式，Runge-Kutta法的迭代公式为

3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法许多机械系统动力学问题的求解，需要联合运用公式推导和数值计算的方法，才能得到问题的解答，我们不妨称之为半解析数值法。如上一章讨论的偏置曲柄滑块机构动力学问题，其运动微分方程：

3-3-1一、等效力矩是等效构件转角的函数时，即

对上式积分：3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法由

例3-3-1：对于3-2-1所示的偏置曲柄滑块机构，若已知

，

。1)试计算该曲柄滑块机构的等效转动惯量

及其导数

随曲柄转角

的变化规律。2)若

由表3-3-1给定,初始条件：

,求

与

t

之间的关系。3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法表3-3-1等效力矩与曲柄转角关系

3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法解：1）等效转动惯量

及其导数

的计算

运动学分析计算假设曲柄作匀速转动由上式第2式：式中：

称

曲柄连杆比连杆的传动角速度比3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法解：1）等效转动惯量

及其导数

的计算

运动学分析计算滑块C速度连杆BC质心C2对应的传动速比及其导数3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法解：1）等效转动惯量

及其导数

的计算

等效转动惯量的计算公式等效转动惯量

的导数3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法解：2）求

与

t之间的关系

用Matlab编写的计算程序见附录1图3-3-4连杆角速度比和角加速度比的变化规律图3-3-5连杆质心速度比和加速度比的变化规律3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法解：2）求

与

t之间的关系

图3-3-6滑块质心速度比和加速度比的变化规律图3-3-7等效转动惯量的变化规律3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法解：2）求

与

t之间的关系

图3-3-8等效转动惯量的导数的变化规律图3-3-9等效力矩与时间的关系3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法

图3-3-10曲柄角速度与时间的关系3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法

由于,根据力矩形式的运动微分方程二、等效力矩是等效构件和角速度的函数对于具有非定传动比的机构，其等效力矩一般与等效构件转角有关。若其发动机或工作机的机械特性与机械的运动速度有关，如以电动机为动力源的机械，则其等效力矩就是等效构件的转角和角速度的函数即

。工程中大量常见的机械系统都属于这种情况。利用：3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法

二、等效力矩是等效构件和角速度的函数移项有：利用：用数值法求解3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法

二、等效力矩是等效构件和角速度的函数Euler法的迭代公式为：Runge-Kutta法的迭代公式为：式中：

3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数值法

二、等效力矩是等效构件和角速度的函数例3-3-2：对于例3-3-1所示的曲柄连杆机构，若作用在曲柄上的驱动力矩为

，作用在滑块C上的工作阻力

，其中

为曲柄的实际角速度，

为滑块的速度。曲柄AB的初始条件仍为：

，其它参数同例3-3-