《概率论与数理统计学习指导及习题解析》课件第6章

第6章数理统计的基本概念第一节知识梳理

第二节重点解析

第三节典型例题

第四节习题全解第一节知识梳理

第二节重点解析

1.总体与样本

1)总体及其分布

定义1：总体又称母体，指一个统计问题所研究的对象的全体。

定义2：总体X中的每个数值按一定比率分布的规律称为总体分布。

2)样本与抽样

定义1：样本又称子样，指按某一方式从统计总体中抽

取的部分个体，样本中的每个个体又称为样品。一个样本中所含样品的个数称为样本容量。抽取样本的过程称为抽样。抽取样本的方式称为抽样方法。

定义2：设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，若X1，

X2,…，Xn相互独立，且每个样品Xi(i=1，2，…，n)都与总体X

有相同的概率分布，则称X1，X2，…，Xn为总体X的一个简单随机样本，简称样本。

3)经验分布函数

定义：设总体X的分布函数F(x)是未知的，且x1,x2，…，xn为X的一个样本值。对任意实数x，样本值中不超过x的数据的频数记为m(x)，若Fn(x)=m(x)/n，则称Fn(x)为经验分布函数。

2.统计量及其分布

1)统计量的概念

定义：设X1，

X2,…，Xn是来自总体X的一个样本，

且g(X1，X2，…，Xn)是X1，X2，…，Xn的一个函数,若

g(X1，

X2，…，Xn)中不含任何未知参数，则称g(X1，X2，…，Xn)为统计量。一些常用的统计量如下：

（1）样本均值：（2）样本方差:（3）样本标准差:（4）样本k阶原点矩:（5）样本k阶中心矩:

2)三种重要分布

定义1：设X1，X2,…，Xn是n个相互独立的标准正态随

机变量，则它们的平方和χ2=X21+X22+…+X2n称做自由度为

n的χ2变量，其概率分布称做自由度为n的χ2分布，记为

χ2~χ2(n)。定义2：设X~N(0，1)，Y~χ2(n)，且X和Y相互独立，则称做自由度为n的t变量，其概率分布称做自由度为n的t分布，记为t~t(n)。定义3：设X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，且X与Y相互独立，则称做自由度为(n1，n2)的F变量，其概率分布称做自由度为(n1，n2)的F分布，记为F~F(n1，n2)。其中n1和n2分别称为F(n1，n2)分布的第一自由度和第二自由度。

3)分位点

定义：设X是一连续型随机变量，其密度函数为f(x)。对于给定的正数α(0<α<1)，称满足

的点xα为X的上侧α分位点。

4）抽样分布

定理1：设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的一个样本，X是样本均值，则X~N（μ，σ2/n)。

定理2：设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)

的一个样本，X与S2分别是样本均值和样本方差，则

（1）；

（2）X与S2相互独立。~定理3：设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)

的一个样本，X与S2分别是样本均值和样本方差，则。~定理4：设X1，X2，…，Xn与Y1，Y2，…，Yn分别是来自正态总体N(μ1，σ21)与N(μ2，σ22)的样本，且二者相互独立。再设X

与Y分别是这两个样本的样本均值，S21与S22分别是这两个样本的样本方差，则（1）当σ21=σ22=σ2时，其中（2）~，

第三节典型例题

【例6.1】设X~N(1，22)，X1，…，X100是来自X的样本，X为样本均值，已知Y=a(X+b)2~χ2(1)，试求a和b。解因为故

a=25，b=－1

【例6.2】设X1和X2是来自正态总体N(μ，σ2)的容量为n的两样本(X11，X12，…，X1n)和(X21，X22，…，X2n)的样本均值，试确定n，使得这两个样本均值之差超过σ的概率大约为0.01。

解因为则所以由，查标准正态表知

于是

n=14

【例6.3】设随机变量X和Y相互独立都服从N(0，16)，而X1，…，X16和Y1，…，Y16分别来自总体X和Y的样本，则统计量服从什么分布？解由于而由t分布的定义有~

【例6.5】设X1，X2，…，X10是来自总体X~N(μ，42)的简单随机样本，已知P{S2>a}=0.1，求a。

解本题涉及样本方差的概率问题，且是已知概率值，求上侧分位数的值。已知，本题中n=10，σ2=42,

故~由已知9S2／42~χ2(9)，且根据上侧分位数定义，应有查χ2分布表，得即解得第四节习题全解

6.1设总体X服从两点分布b(1，p)，即P{X=1}=p，P{X=0}=1－p，其中p是未知参数，X1，X2，…，X5是来自

总体X的一个样本。

（1）写出X1，X2，…，X5的联合概率分布；

（2）指出X21+X23、max{X1，X2，…，X5}、(X－p)2、A2+2p中哪些是统计量，哪些不是，为什么？解（1）总体X服从b(1，p)，其分布律可写为

P{X=x}=px(1－p)1－x

（x=0，1）

样本X1，X2，…，X5相互独立，且与总体X具有相同分布，所以X1，X2，…，X5的联合分布律为其中：xi=0，1；i=1，2，…，5。

6.2从一大批40W的灯泡中随机抽取10只进行寿命试验，得到数据如下（单位：h）：

1050，1100，1080，1120，1200，1250，

1040，1130，1300，1200

求其样本均值x与样本方差s2。解

6.3设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，若E(X)=μ，D(X)=σ2，试证明：

（1）；

（2）。，证明（1）由于X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X具有相同分布,所以故（2）因为所以

6.5从正态总体N(52，6.32)中随机抽取一个容量为36

的样本，求样本均值X落在50.8与53.8之间的概率。

解因为X~N(52，6.32/362)，所以

6.6从总体N(3.4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在区间(1.4，5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应为多大？

解因为X~N(3.4，62/n)，所以由得

而

Φ(1.96)=0.975

所以，即n≥34.5744,故n至少应取35。

6.7设X1，X2，…，X10是总体N(0，0.22)的一个样本，求。

解因为

Xi~N(0，0.22)(i=1，