专题06 一次函数中的最值问题及方案设计问题（解析版）

专题06一次函数中的最值问题及方案设计问题考点：做一件事情，有时有不同的方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的．解决这些问题时，先要弄清题意，根据题意构建恰当的方程模型，求出所求未知数的取值范围，然后再结合实际问题确定最佳方案．题型一合理决策问题1．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元．设商场投入资金x元，请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多．【答案】解：设如果商场本月初出售，下月初可获利y1元，则y1＝10%x＋(1＋10%)x·10%＝0.1x＋0.11x＝0.21x.设如果商场下月初出售，可获利y2元，则y2＝25%x－8000＝0.25x－8000.当y1＝y2时，0.21x＝0.25x－8000，解得x＝200000.所以若商场投入资金为20万元，两种出售方式获利相同；若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多；若商场投入资金多于20万元，下月初出售获利较多．题型二选择方案问题2．某教育行政部门计划今年暑假组织教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你认为选择哪家宾馆更实惠些？【答案】解：设总人数是x人，甲、乙宾馆的收费分别为y甲，y乙．当x≤35时，选择两家宾馆是一样的；当35<x≤45时，选择甲宾馆比较实惠；当x>45时，y甲＝35×120＋0.9×120×(x－35)，即y甲＝108x＋420，y乙＝45×120＋0.8×120×(x－45)＝96x＋1080.当y甲＝y乙时，可得x＝55；当y甲>y乙时，可得x>55；当y甲<y乙时，可得x<55.综上可得，当x≤35或x＝55时，选择两家宾馆是一样的；当35<x<55时，选择甲宾馆比较实惠；当x>55时，选择乙宾馆比较实惠．题型三最佳效益问题3．甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%；乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x件时，甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元．(1)分别求出y1，y2与x之间的关系式．(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为多少件？(3)当所买商品为5件时，应选择哪个商场更优惠？请说明理由．【答案】解：(1)当x＝1时，y1＝3000；当x＞1时，y1＝3000＋3000(x－1)×(1－30%)＝2100x＋900.所以y1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000（x＝1），,2100x＋900（x＞1且x为整数）；))y2＝3000x(1－25%)＝2250x(x为正整数)．(2)当甲、乙两个商场的收费相同时，2100x＋900＝2250x，解得x＝6.故甲、乙两个商场的收费相同时，所买商品为6件．(3)乙商场．理由：当x＝5时，y1＝2100x＋900＝2100×5＋900＝11400，y2＝2250x＝2250×5＝11250，因为11400＞11250，所以当所买商品为5件时，应选择乙商场更优惠．题型四给出表达式(或图象)解决实际问题4．某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数表达式；(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；(3)请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．(第4题)【答案】解：(1)银卡：y＝10x＋150；普通票：y＝20x.(2)把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150.所以A(0，150)．由20x＝10x＋150，可得x＝15，代入y＝20x，得y＝300.所以B(15，300)．把y＝600代入y＝10x＋150，得x＝45.所以C(45，600)．(3)当0<x<15时，选择购买普通票更合算(注：若写成0≤x＜15，也正确)；当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15<x<45时，选择购买银卡更合算；当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x>45时，选择购买金卡更合算．题型五只给语言叙述或图表情境解决实际问题5．为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在河堤坡面种植白杨树，现有甲、乙两家林场可提供相同质量的白杨树苗，其具体销售方案如下：甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元不超过2000棵时4元超过1000棵的部分3.8元超过2000棵的部分3.6元设购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲元、y乙元．(1)若需要购买1500棵白杨树苗，则都在甲林场购买所需费用为________元，都在乙林场购买所需费用为________元；(2)分别求出y甲，y乙与x之间的函数表达式；(3)如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？【答案】解：(1)5900；6000(2)当0≤x≤1000时，y甲＝4x；当x>1000时，y甲＝4000＋3.8(x－1000)＝3.8x＋200.所以y甲＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x（0≤x≤1000且x为整数），,3.8x＋200（x>1000且x为整数）.))当0≤x≤2000时，y乙＝4x；当x>2000时，y乙＝8000＋3.6(x－2000)＝3.6x＋800.所以y乙＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x（0≤x≤2000且x为整数），,3.6x＋800（x>2000且x为整数）.))(3)由题意，得：当0≤x≤1000时，两家林场白杨树苗单价一样，所以到两家林场购买所需费用一样．当1000<x≤2000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，所以当1000<x≤2000时，到甲林场购买合算．当x>2000时，y甲＝3.8x＋200，y乙＝3.6x＋800，当y甲＝y乙时，3．8x＋200＝3.6x＋800，解得x＝3000，所以当x＝3000时，到两家林场购买所需费用一样；当y甲<y乙时，3．8x＋200＜3.6x＋800，解得x<3000，所以当2000<x<300