专题11 全等三角形的应用 带解析

2022-2023学年北师大七年级数学下册精选压轴题培优卷专题11全等三角形的应用一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•锦江区期末）如图，成都某公园有一个假山林立的池塘．A、B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽AB，小明想出了这样一个办法：先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再过点D作BF的垂线DE，交AC的延长线于E．线段ED的长即为A、B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA）．故选：B．2．（2分）（2021秋•绵竹市期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．3．（2分）（2022春•沙坪坝区校级期末）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS证明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），故选：B．4．（2分）（2022春•大田县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA解：在△MBC和△ABC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA），∴判定△MBC≌△ABC的理由是ASA，故选：C．5．（2分）（2022秋•荣昌区期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去解：A、带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；B、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；C、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；D、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；故选：A．6．（2分）（2021秋•临海市期末）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是（）A．HL B．ASA C．AAS D．SSS解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故选：A．7．（2分）（2021秋•淇县期末）如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA解：在△ABC和△MBC中，∴△MBC≌△ABC（ASA），故选：D．8．（2分）（2022春•锦江区校级期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明△SAB≌△DCB的依据的是（）A．SAS或SSS B．AAS或SSS C．ASA或AAS D．ASA或SAS解：在△ABS与△CBD中，，∴△ABS≌△CBD（ASA）；或∵AS∥CD，∴∠S＝∠D．在△ABS与△CBD中，，∴△ABS≌△CBD（AAS）；综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．故选：C．9．（2分）（2022春•碑林区校级期末）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，在△DCE和△ABC中，，∴△DCE≌△ABC（SAS）．故选：B．10．（2分）（2021秋•思明区校级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•天河区校级期末）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，现在BF上取两点C、D，使CD＝CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，若ED＝90米，则AB的长是90米．解：∵AB⊥BD，ED⊥AB，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝90．故答案为：90．12．（2分）（2022秋•东阿县校级期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若∠CBA＝32°，则∠EFD＝58°．解：∵两个滑梯的长度相同，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（HL），∴∠EFD＝∠BCA，∵∠CBA＝32°，∴∠BCA＝90°﹣32°＝58°，∴∠EFD＝58°．故答案为：58°．13．（2分）（2022春•徐汇区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第2块．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．14．（2分）（2022秋•海淀区校级期中）如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为17m．解：∵先从B处出发与AB成90°角方向，∴∠ABC＝90°，∵BC＝50m，CD＝50m，∠EDC＝90°∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE，∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE＝17∴AB＝17．故答案为：17m15．（2分）（2021春•会宁县期末）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．解：在△OCF与△ODG中，，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40cm，∴小明离地面的高度是50+40＝90（cm），故答案为：90．16．（2分）（2018春•贵阳期末）如图，小颖要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，她在池塘外AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点E与A、C在一条直线上，则量出的DE长就是A、B的距离．她的依据是全等三角形的对应边相等．解：在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴DE＝AB，她的依据是：全等三角形的对应边相等．故答案为：全等三角形的对应边相等．17．（2分）（2022春•辽阳期末）如图，小强站在河边的A点处，在河的对面（小强的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当小强看到电线塔、树在一条直线时（即电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线上），他一共走了90步．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为25米．解：所画示意图如下：由题意知：AC＝DC＝20步，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小刚共走了90步，其中AD走了40步，∴走完DE用了50步，一步大约50厘米，即DE＝50×0.5米＝25米，答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为25米，故答案为：25．18．（2分）（2022•铁岭三模）如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为30cm．解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，∴DE＝DC+CE＝30（cm），答：两堵木墙之间的距离为30cm．故答案为：30．19．（2分）（2021春•通城县期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，晓明同学在探究筝形的性质时，得到如下结论：①△ABD≌△CBD；②AO＝CO＝AC；③AC⊥BD；其中，正确的结论有3个．解：在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），故①正确；∴∠ADB＝∠CDB，在△AOD与△COD中，，∴△AOD≌△COD（SAS），∴∠AOD＝∠COD＝90°，AO＝OC＝AC，∴AC⊥DB，故②③正确．故答案是：3．20．（2分）（2020春•皇姑区期末）如图，要在湖两岸A，B两点之间修建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A、B两点间的距离，于是小明想出来这样一种做法：在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，这时测得DE＝50米，则AB＝50米．解：根据题意可知∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD∴△ABC≌△EDC（ASA）∴AB＝DE＝50米．故答案为：50三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•蒲城县期末）如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作AC⊥BD于C，点A到地面的距离AE＝1.5m（AE＝CD），当他从A处摆动到A′处时，A′B＝AB，若A′B⊥AB，作A′F⊥BD，垂足为F．求A′到BD的距离A′F．解：∵A′B⊥AB，作A′F⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS），∴A'F＝BC，∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1m，22．（6分）（2022春•六盘水期末）数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），在数学老师带领下他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；②沿河岸直走10m有一棵树C，继续前行10m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为4.5m．（1）河流的宽度为4.5m；（2）请你说明他们做法的正确性．（1）解：河流的宽度为4.5m，故答案为：4.5；（2）证明：如图，由作法知：AB⊥BD，ED⊥BD，BC＝DC＝10m，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴AB＝ED＝4.5m，即他们的做法是正确的．23．（6分）（2022春•神木市期末）小明想知道一堵墙上点A到地面的高度AO，AO⊥OD，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO，标记此时直杆的底端点D；第三步：测量OD的长度，即为点A到地面的高度AO．请说明小明这样测量的理由．解：OD．理由如下：因为AO⊥OD，所以∠AOB＝90°，在△AOB和△DOC中，，所以△AOB≌△DOC（AAS），所以OA＝OD，所以测量OD的长就是点A到地面的高度AO．故答案为：OD．24．（8分）（2022春•福田区期末）如图，小胖用10块高度都是4cm的相同长方体积木，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以把吴老师的一个大等腰直角三角板ABC放进去（∠ACB＝90°，AC＝BC），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB．（2）吴老师看到这个模型很感兴趣，问小胖能否求出这个大等腰直角三角板ABC的面积呢？小胖百思不得其解，请你来帮他解决．（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）由（1）知，△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝12cm，在Rt△CEB中，BE＝28cm，∴CB＝＝2cm又△ABC为等腰直角三角板，∴S△ABC＝××2＝464cm2．25．（8分）（2022春•蓝田县期末）某中学七年级同学到野外开展数学综合实践活动，在营地看到一个池塘，同学们想知道池塘两端（A、B为池塘的两端）的距离．有一位同学设计了如下测量方案：先在平地上取一个可直接到达A、B的点E，连接AE、BE，分别延长AE至点D，延长BE至点C，使得ED＝AE，EC＝BE，若测出CD的长为18m，求这个池塘两端AB的长，并说明理由．解：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（SAS）；∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）．∵CD＝18m，∴AB＝18m，答：池塘两端的距离是18米．26．（8分）（2022春•绥德县期末）如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M为BC中点，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，，∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．27．（8分）（2021秋•新泰市期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？（2）请说明方案可行的理由．解：（1）甲同学的方案可行；（2）甲同学方案：在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同学方案：在△ABD和△CBD中