专题11.9 三角形章末重难点突破（学生版）2022年八年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题11.9三角形章末重难点突破【人教版】【考点1三角形的三边关系】【例1】（2021春•沙坪坝区校级期末）一个三角形两边长分别为3，7，若它的周长是小于16的整数，则第三边的长为（）A．1 B．3 C．5 D．7【变式1-1】（2021春•九江期末）小明现有两根4cm、9cm的木棒，他想以这两根木棒为边钉一个三角形木框，现从5cm，7cm，9cm，11cm，13cm，17cm的木棒中选择第三根（木棒不能折断），则小明有三种选择方案．【变式1-2】（2021春•西城区校级期中）长度为20厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为，能构成三角形的截法共有种．（只考虑三段木棍的长度）【变式1-3】（2021春•嵩县期末）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC与2BD的大小关系，并说明理由．【考点2三角形的稳定性】【例2】（2021春•长春期末）下列图形中，具有稳定性的是（）A． B． C． D．【变式2-1】（2021春•道里区期末）工程师设计屋顶时通常把钢架屋顶设计成三角形，这样做应用的数学原理是．【变式2-2】（2021春•洛江区期末）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，至少要再钉2根木条．【变式2-3】（2021秋•岳池县期末）如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．【考点3三角形中三线的应用】【例3】（2021春•迁安市期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边CB上的中线和高，AE＝6cm，S△ABD＝12cm2，则BC的长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式3-1】（2021春•贵阳期末）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为60，BD＝5，则△BDE的BD边上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-2】（2021春•宽城区期末）如图，△ABC的面积为30，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．（1）求△BDE的面积．（2）若EF＝5，求CD的长．【变式3-3】（2021春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠A＝∠BCD，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交CD、CA于点F、E．（1）求∠ACB的度数；（2）说明：∠CEF＝∠CFE．（3）若AC＝3CE、AB＝4BD，△ABC、△CEF、△BDF的面积分别表示为S△ABC、S△CEF、S△BDF，且S△ABC＝36，则S△CEF﹣S△BDF＝（仅填结果）．【考点4三角形内角和定理的应用】【例4】（2021春•道里区期末）如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，BD，CE相交于点F，∠A＝60°，∠ABD＝20°，∠ACE＝35°，则∠EFD的度数是（）A．115° B．120° C．135° D．105°【变式4-1】（2021春•高州市期末）如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N，将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后，再将纸片沿着BA′对折一次，使得点C落在BN上的C′处，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，则原三角形的∠C的度数为（）A．87° B．84° C．75° D．72°【变式4-2】（2021春•兴隆县期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，点P为BC上任意一点，可以与C重合但不与点B重合，AD平分∠BAP，BD平分∠ABP．（1）当点P与C重合时，求∠ADB的度数；（2）当AP⊥BC时，直接写出∠ADB的度数；（3）直接写出∠ADB的取值范围．【变式4-3】（2021春•铁西区期末）在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，点P是边AB上的一个动点，（1）如图，若∠ACB＝90°，①当∠DPE＝75°时，求∠ADP+∠BEP的度数；②当∠DPE＝60°时，则∠ADP+∠BEP＝°；（2）若∠ACB＝m，当∠DPE＝n时，请直接用含m，n的式子表示∠ADP+∠BEP的度数．【考点5直角三角形性质的应用】【例5】如图，AB⊥BC，BC⊥CD，AC⊥BD，垂足为P，如果∠A＝α，那么∠ABP和∠PCD分别等于多少？【变式5-1】如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD与∠DHE的度数．【变式5-2】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【变式5-3】（2021春•兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；（2）求证：∠CEF＝∠CFE．【考点6三角形外角性质的应用】【例6】（2021春•淮阳区期末）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【变式6-1】（2021春•曲周县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝48°，点I是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．（1）∠BIC＝．（2）若点E是内角∠ABC、外角∠ACD的平分线的交点，则∠BEC与∠BAC的数量关系为；（3）在（2）的条件下，当∠ACB＝时，CE∥AB．【变式6-2】（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．【变式6-3】（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．【考点7多边形的内角与外角综合】【例7】（2021春•溧阳市期末）若多边形的每个内角都相等，且它的每一个外角是它的邻补角的15A．十边形 B．十二边形 C．十五边形 D．十六边形【变式7-1】（2021春•宝丰县期末）如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数为（）A．144° B．126° C．120° D．108°【变式7-2】（2020秋•东川区期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°，求（1）这个多边形的边数；（2）该多边形共有多少条对角线．【变式7-3】（2020秋•大武口区期末）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：正多边形边数3456…n∠α的度数…（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数；（3）是否存在正n边形使得∠α＝21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．【考点8角度计算探究题】【例8】（2021春•迁安市期末）嘉琪在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠A＝40°，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．（1）请直接写出∠BOC＝．【变式思考】（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．【变式8-1】（2021春•桥西区期末）请认真思考，完成下面的探究过程．已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°，∠C＝40°．【解决问题】如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；【变式探究】如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，则∠DFE＝10°；【拓展延伸】如图2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，试用x，y表示∠DFE的度数，并说明理由．【变式8-2】（2020春•福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．【变式8-3】（2020春•江都区期中）【知识回顾】：如图①，在△ABC中，根据三角形内角和定理，我们知道∠A+∠B+∠C＝180°．如图②，在△ABC中，点D为BC延长线上一点，则∠ACD为△ABC的一个外角．请写出∠ACD与∠A、∠B的关系，直接填空：∠ACD＝．【初步运用】：如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝70°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝°．（直接写出答案）