专题13 几何问题（二元一次方程组的应用） 带解析

2022-2023学年华师大版七年级数学下册精选压轴题培优卷专题13几何问题（二元一次方程组的应用）试卷满分：100分考试时间：120分钟阅卷人一、选择题(共10题；每题2分，共20分)得分1．（2分）（2022七下·顺平期末）《九章算术》中的“方程”一章中讲述了算筹图，如图1、图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来为3x+2y=114x+3y=26A．2x+3y=233x+4y=32 B．C．11x+3y=233x+4y=32 D．【答案】B【规范解答】解：由题意可得，图2所示的算筹图我们可以表述为：2x+3y=233x+4y=37故答案为：B．

【思路点拨】根据题干中的定义直接列出方程组2x+3y=233x+4y=372．（2分）（2022七下·无为期末）如图是由7个形状、大小都相同的小长方形和一块正方形无缝隙拼合而成，则图中阴影部分的面积为（）A．15 B．30 C．36 D．40【答案】C【规范解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，则小正方形的边长为2y，依题意得：，解得：，∴图中阴影部分的面积为（2y）2=（2×3）2=36．故答案为：C．【思路点拨】根据题意先求出，再求解即可。3．（2分）（2022七下·廉江期末）已知有若干片相同的拼图，其形状如图1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为23cm，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为56cm，如图3所示，则图1中的拼图长度为（）A．5.5cm B．5.6cm C．5.75cm D．6.5cm【答案】D【规范解答】解：设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm，半圆的半径长为ycm，根据题意列方程组得4x+y=23①10x+y=56②②-①得，解得，把代入①得，所以x=5.∴x+y=5.5+1=6.5cm．故答案为：6.5．

【思路点拨】设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm，半圆的半径长为ycm，根据题意列方程组，得出x的值，再代入得出x、y的值，即可得解。4．（2分）（2022七下·井研期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，BC＝11cm．则阴影部分图形的总面积为（）A．18cm2 B．21cm3 C．24cm2 D．27cm2【答案】D【规范解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，

∵AB=7cm，BC=11cm，

∴x+y=7①，x+3y=11②，

由②-①得：2y=4，

∴y=2，

∴x=5，

∴阴影部分面积=11×7-5×5×2=27cm2.

故答案为：D.

【思路点拨】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图形可得x+y=7①，x+3y=11②，联立方程组解得x和y的值，再由阴影部分面积=长方形ABCD面积-5个小长方形的面积，代入数据计算即可求解.5．（2分）（2022七下·宁津期末）在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于x，y的方程组2x+3y=27x+4y=19A．2x+8y=123x+2y=23， B．2y+3x=12C．2x+3y=123x+2y=23， D．2x+8y=27【答案】A【规范解答】根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：2x+8y=123x+2y=23故答案为：A【思路点拨】根据题意求出2x+8y=123x+2y=236．（2分）（2022七下·拱墅期末）如图，某个足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮可看作正五边形，白皮可以看作正六边形，黑，白皮块的数目比为，设白皮有块，黑皮有块，则下列正确的是（）A．3x=yx+y=32 B．6x=yx+y=32 C．3x=5yx+y=32【答案】C【规范解答】解：设白皮有块，黑皮有块∵黑皮可看作正五边形，白皮可以看作正六边形，∴黑皮块数：白皮块数=3：5，根据等量关系列方程组得：3x=5yx+y=32故答案为：C.【思路点拨】设白皮有x块，黑皮有y块，由题意可得黑皮块数：白皮块数=3：5，则3x=5y，根据共有32块可得x+y=32，联立可得方程组.7．（2分）（2022七下·攀枝花期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【规范解答】解：设每个长方形的长为xmm，宽为ymm，由题意，得，解得：，9×15=135（mm2）.故答案为：A.【思路点拨】设每个长方形的长为xmm，宽为ymm，根据图1可得3x=5y，根据图2可得2y-x=3，联立求出x、y，接下来根据矩形的面积公式进行计算.8．（2分）（2022七下·余姚期中）有两个正方形，，将，并列放置后构造新的长方形得到图甲，将，并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形的面积为（）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【规范解答】解：设正方形A的边为x，正方形B的边为y，

∴图甲中阴影部分的长为（x-y），宽为y；图乙中大正方形边长为（x+y），

∵图甲中的阴影部分面积为10，图乙中阴影部分的面积为32，

∴（x-y）·y=10，（x+y）²=x²+y²+32，

∴xy-y²=10①，2xy=32②，

由①和②，得y²=6.

∴正方形B的面积为6.

故答案为：C.

【思路点拨】设正方形A的边为x，正方形B的边为y，根据图甲中的阴影部分面积为10，图乙中阴影部分的面积为32，列出关系式（x-y）·y=10，（x+y）²=x²+y²+32，整理得xy-y²=10①，2xy=32②，由①和②等量代换可得y²=6，即可求出正方形B的面积.9．（2分）（2021七下·桥西期末）将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度（）A．70 B．55 C．40 D．30【答案】A【规范解答】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，则有，，得，解得，，故答案为：A．

【思路点拨】设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图象列出二元一次方程组求解即可。10．（2分）（2020七下·沂水期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（）A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2【答案】A【规范解答】解：由中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形∴其边长为3cm设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：，∴．故答案为：A．【思路点拨】先求出其边长为3cm，再得到，最后计算求解即可。阅卷人二、填空题(共10题；共20分)得分11．（2分）（2022八上·青岛期末）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点，则点A的坐标是．【答案】（-3，9）【规范解答】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，依题意，得：2x=10x+y=7解得：，∴x-y=3，x+2y=9，∴点A的坐标为（-3，6）．故答案为：（-3，9）．

【思路点拨】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据题意列出方程组2x=10x+y=712．（2分）（2022七下·黄山期末）某学校的劳动实践基地有一块长为20m、宽为16m的长方形空地，学校准备在这块空地上沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同小长方形菜地分别种上辣椒、茄子、土豆，其示意图如图所示，则每个小长方形菜地的面积是．【答案】32【规范解答】解：三个小长方形完全相同，设长为x，宽为y，根据题意：，解方程组得：，小长方形的面积为．故答案为：32．【思路点拨】根据题意先求出，再求解即可。13．（2分）（2022七下·上虞期末）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形”请你写出这些长方形的长和宽．【答案】10mm和6mm【规范解答】解：设这些长方形的长为，宽为，依题意得：，解得：，这些长方形的长和宽为10mm和6mm.故答案为：10mm和6mm.【思路点拨】设这些长方形的长为xmm，宽为ymm，根据长与宽的关系可得3x=5y、x+2=2y，联立求解即可.14．（2分）（2022七下·浦北期末）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的小长方形，则图中阴影部分面积为．【答案】44cm2【规范解答】解：设长方形的长为x，宽为y，

由题意得：，

解得：，

则长方形的宽=6+2y=10，

∴阴影部分的面积=14×10-6×2×8=44.

故答案为：44cm2.

【思路点拨】设长方形的长为x，宽为y，根据线段之间的关系建立关于x、y的二元一次方程组求解，然后根据面积的和差关系求阴影部分的面积即可.15．（2分）（2022七下·宁津期末）如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知点，则点A的坐标是．【答案】（-3，9）【规范解答】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，依题意，得：2x=10x+y=7解得：，∴x-y=3，x+2y=9，∴点A的坐标为（-3，6）．故答案为：（-3，9）．【思路点拨】先求出2x=10x+y=716．（2分）（2022七下·乐清期末）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为S甲，S丙，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为276cm2，则乙的面积为cm2．【答案】4【规范解答】解：设正方形ABCD的边长为2x，正方形EFGH的边长为2y，

∴BM=y，BL=x，正方形乙的边长为x-y；

∴MN=BE=QL=x-y，HQ=MT-ML=y-（x-y）=2y-x；

∵桌面被所有纸片覆盖区域的面积为276cm2，，

∴4x2+4y2−2y（x−y）=276x−y2y−xyx−y=35

整理得2x2−xy+3y2=138x=7517．（2分）（2022七下·柯桥月考）在长方形ABCD中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是cm【答案】44【规范解答】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，依题意得x−2y+y=6x+3y=14解之得，∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，∴=14×10-6×2×8=44().故答案为：44.【思路点拨】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，结合图形可得x-2y+y=6、x+3y=14，联立求出x、y的值，然后根据S阴影=S四边形ABCD-6S小长方形，据此计算.18．（2分）（2021八上·奉贤期中）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度．【答案】22.5【规范解答】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．【思路点拨】先求出，再求出，最后作答即可。19．（2分）（2020七下·锡山期末）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°.若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为.【答案】15°，120°，22.5°【规范解答】解：当点P在点B右侧时：∵，而45°，∠ABC，①∠A=，∠ABC==45°，由得：，∴∠APB=；②∠APB=，∠ABC=＝45°，同理得：∠APB=；③∠APB=，∠A=，得：，解得：，不合题意；④∠APB=，∠A=，同理，不合题意；当点P在点B左侧时：⑤∠APB=，∠A=，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，得：，解得：，即∠APB=；⑥∠APB=，∠A=，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，得：，解得：，即∠APB=；综上，∠APB的所有可能的度数为或或.

故答案为：或或.【思路点拨】根据“准直角三角形”的定义，分当点P在点B右侧时及当点P在点B左侧时两类讨论即可解决问题.20．（2分）（2020八上·海伦期末）有两个正方形，现将放在的内部得图甲，将并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形的边长之和为．【答案】5【规范解答】解：设正方形A，B的边长分别为a，b．由图甲得：，由图乙得：，化简得，∴，∵a+b>0，∴a+b=5，故答案为：5．【思路点拨】设正方形A，B的边长分别为a，b，根据图形构建方程组即可解决问题．阅卷人三、解答题(共8题；共60分)得分21．（5分）（2023八上·榆林期末）某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？【答案】解：设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组：解得：答：小长方形的长为10米，宽为4米.【思路点拨】此题的等量关系为：2×小长方形的长=5×小长方形的宽；大长方形的周长为76，再设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.22．（5分）（2022七下·大同月考）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中提供的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是多少厘米？【答案】解：设凳子的高度是xcm，凳子面的高度是ycm，由题意得：x+3y=29x+5y=35解得，所以10张凳子整齐的叠放在一起时的高度是20+10×3=50（cm）．答：当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时，总高度是50厘米．【思路点拨】设凳子的高度是xcm，凳子面的高度是ycm，根据题意列出方程组x+3y=29x+5y=3523．（9分）（2022七下·阳江期末）小王家购买了一套经济适用房，他家准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题：（1）（4分）写出用含、的代数式表示地面总面积；（2）（5分）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m2地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？【答案】（1）解：地面总面积为：6x＋2y＋3×4+2×3=（6x＋2y＋18）2；（2）解：由题意，得解之，得∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×＋18＝45（2）．∵铺12地砖的平均费用为80元∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）．【思路点拨】（1）根据题中图形表示出地面总面积即可；

（2）根据客厅面积比卫生间面积多21平方米，且地面总面积是卫生间面积的15倍，列出方程组，求出方程组的解得出x、y的值，代入计算即可得出答案。24．（8分）（2022七下·杭州期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花.（1）（4分）如图1，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长.（2）（4分）如图2，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和.①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求和满足的关系式（不含a，b）.【答案】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，

依题意有：x+2y=602x+y=45解得x=10y=25故小长方形的相邻两边长是10，25；（2）解：①∵1个小长方形的周长为，1个大长方形的周长为，：.故1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；②依题意有：，化简得.故和满足的关系式为.【思路点拨】（1）根据大长方形的长为60m可得x+2y=60；根据大长方形的宽为45m可得2x+y=45，联立求解即可；

（2）①根据矩形的性质结合图形可得1个小长方形的周长为2(x+y)，根据大长方形的长与宽与小长方形的长与宽的关系，用含x、y的式子表示出大长方形的长与宽，进而根据长方形周长的计算方法表示出大长方形的周长，然后求比值即可；

②根据矩形的面积公式结合种植鲜花的面积是整块草坪面积的，列出方程，化简即可得到x与y满足的关系式.25．（9分）（2022七下·虞城期末）如图，某工厂与、两地有公路、铁路相连.这家工厂近期从地购买一批原料运回工厂，制成的产品再全部运到地.已知公路的运价为2元（吨千米），铁路的运价为1.5元（吨千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元.（1）（4分）求从地购买的原料和运到地的产品各多少吨？（2）（5分）如果购买这批原料的价格为每吨1千元，且这家工厂希望这批产品全部售出后获得不低于20万元的利润（利润销售额原料费运输费），那么每吨产品的最低售价应定为多少元（结果取整数）？【答案】（1）解：设从地购买的原料为吨和运到地的产品为吨，由题意可得，，解得，答：从地购买的原料为600吨和运到地的产品为400吨；（2）解：设每吨产品的售价为元，由题意可得，，解得，为整数，的最小值是2638，答：每吨产品的最低售价应定2638元.【思路点拨】（1）设从A地购买的原料为a吨和运到B地的产品为b吨，根据共支出公路运费48000元可得2a×20+2b×30=48000；根据铁路运费207000元可得1.5a×150+1.5b×120=207000，联立求解即可；

（2）设每吨产品的售价为x元，根据运到B地的产品的吨数×售价-购买的原料的吨数×每吨的钱数-公路运费-铁路运费=利润可得关于x的不等式，求出x的范围，然后结合x为整数进行解答.26．（7分）（2022七下·袁州月考）用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面．（1）（1分）填空：用含a，b，h的代数式表示以下面积：甲的面积为；乙的面积为；丙的面积为．（2）（4分）当h=20时，若甲的面积比丙的面积大200cm2，乙的面积为1400cm2，求a和b的值；【答案】（1）（ab+ah）平方厘米；（ah+bh）平方厘米；（ab+bh）平方厘米（2）解：由题意可得：ab+20a−(ab+20b)=200∴a−b=10解得a=40b=30【规范解答】（1）解：由图可得：甲的面积：平方厘米；乙的面积：平方厘米；丙的面积：平方厘米；故答案为：平方厘米；平方厘米；平方厘米．【思路点拨】（1）结合图象，利用矩形的面积计算方法求出表达式即可；

（2）根据题意列出方程组ab+20a−(ab+20b)=20020a+20b=140027．（7分）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产.他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材（不计损耗），如图1.（单位：cm）（1）（3分）列出方程（组），求出图1中a与b的值；（2）（4分）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒.①两种裁法共生产A型板材▲张，B型板材▲张.②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？并直接写出此时做成的横式无盖礼品盒的个数.【答案】（1）解：由题意得，解得即a与b的值分别为60，40.（2）解：①64；38；②不能在做成若干个两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完，理由如下：设竖式无盖礼品盒做x个，横式无盖礼品盒做y个，则A型板材需要（4x+3y）张，B型板材需要（x+2y）张，则，解得∵x，y是自然数，∴不能恰好把①中的A型板材和B型板材用完.∵x+y=∴最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共20个，此时做成的横式无盖礼品盒为16个或17个或18个.【规范解答】（2）①由裁法一生产A型板材为2×30=60（张），裁法二生产A型板材为1×4=4（张），∴两种裁法共生产A型板材为60+4=64（张）。由图示裁法一生产B型板材为1×30=30（张），裁法二生产B型板材为2×4=8（张），∴两种裁法共生产B型板材为30+8=38（张）故答案为：64，38.【思路点拨】(1)观察图形，利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解即可；(2)①根据