考研数学：高频考点108题(数学一、二、三)

2023

考研数学系列

高频考点108题

（数学一、二、三通用）

6套卷和4套卷之前的“开胃菜，

不靠押题靠实力

试题部分

高等故学（数学・）试卷分析................................................2

高等教学（数学二）试心分析.................................................।

高等教学《畋学。试裕分析................................................3

高腕的点1函故的性痂.....................................................7

席幡考点2极限的定义和性限..............................................9

而银号点3函故极限什奇................................................10

高帕也点।已m极限.确定参数等........................................is

裔频芍点5数列极限.....................................................15

南耀考点6函故的连续性。间断点........................................18

离耀华点7导故的定义..................................................20

高蟆考点8导数计算.相关变化率........................................23

高械功点.9微分中侑定理和泰勒公式.....................................26

高强擘点10导数的应用..................................................30

高钝号点11枳分il节....................................................33

席根■点12枳分变限函数及原函数.......................................36

高糅号点13积分等式、不等式............................................39

高稳号点II定积分点1..................................................................................................高

府频号点13%元函数《»分学的秘念........................................15

四栋考点16女介函数,总函数的偏导故.仝微分计算.......................17

四帔考点17含偏牛数等式.................................................19

高蝴与点18多元闲数慨值与锻值..........................................50

高频考点19多元函数微分学几何应用、方向导数、梯度、散度和旋度（仅数学一

要求）.......................................................53

高频考点20微分方程及其应用............................................56

高频考点21二重积分.....................................................59

高频考点22空间解析几何（仅数学一要求）.................................62

高频考点23经济数学（仅数学三要求）.....................................64

高频考点24无穷级数（仅数芋一、三要求）.................................66

高频考点25三重积分，曲线积分、曲面积分《仅数学一要束）................69

线性代数试卷分析.........................................................75

高频考点26行列式计算..................................................76

高频考点27矩阵的计算..................................................78

高频考点28矩阵方程”....................................................80

高频考点29初等矩阵.....................................................81

高频考点30矩阵的秩.....................................................83

高频考点31向量相关性..................................................85

高频考点32含参数线性方程组............................................89

高频考点33抽象线性方程组及两个方程组公共解、同解....................90

高频考点34相似矩阵.....................................................93

高频考点35实对称矩阵相似..............................................96

高频考点36二次型的标准形和规范形.....................................98

高频考点37二次型正定及正负惯性指数.................................100

慨率论与数理统计试卷分析（仅数学一、三要束）...........................102

高频考点38概率公式有关计算..........................................103

高频考点39随机变址的分布函数、微率密度的性质......................107

高蟆考点40常用分布有关概率计算.....................................108

高频考点41一维随机变量的函数的分布.................................111

高频考点42二维随机变丫）的分布及（X,丫）函数的分布...........113

高频考点43分布巳知.求数字特征.....................................117

2

高频考点44分布未知,求数字特征.....................................120

高频考点45/,，，F分布及参数估计...................................122

解析部分

高耀考点1答案及解析...................................................127

跖频考点2答案及解析...................................................127

高频考点3答案及解析...................................................128

高频考点4答案及解析...................................................130

高频考点5答案及解析...................................................132

高频考点6答案及解析...................................................138

高频考点7答案及解析...................................................140

高频考点8答案及解析...................................................142

高频考点9答案及解析...................................................144

高频考点10答案及解析...................................................148

高频考点】】答案及解析...................................................151

高频考点12答案及解析...................................................154

高频考点13答案及解析...................................................155

高频考点14答案及解析...................................................160

高频考点15答案及解析...................................................164

高频考点16答案及解析..................................................165

高频考点】7答案及解析..................................................167

高嫌考点18答案及解析..................................................169

高频考点19答案及解析..................................................173

高频考点20答案及解析...................................................175

高频考点21答案及解析...................................................178

高频考点22答案及解析...................................................183

高频考点23答案及解析...................................................184

3

高频考点24答案及解析...................................................185

高频考点25答案及解析...................................................190

高频考点26答案及解析..................................................201

高频考点27答案及解析..................................................202

高频考点28答案及解析..................................................203

高频考点29答案及解析..................................................204

高频考点30答案及解析..................................................205

高频考点31答案及解析...................................................207

高频考点32答案及解析..................................................210

高频考点33答案及解析..................................................211

高频考点34答案及解析..................................................213

高频考点35答案及解析..................................................216

高频考点36答案及解析..................................................219

育频考点37答案及解析..................................................221

高频考点38答案及解析..................................................223

高频考点39答案及解析..................................................224

高频考点40答案及解析...................................................225

高频考点41答案及解析..................................................226

高频考点42答案及解析..................................................227

高频考点43答案及解析...................................................237

高频考点44答案及解析...................................................239

高频考点45答案及解析..................................................244

4

试题部分

李林考研数学系列

高频考点108题

高等数学（数学•）试卷分析

夹遍准则_______正项级数J

"~单聘为界准则（I而B数交错级数

【定枳分的定义任意项级数

「罗尔足理收敛半径、收敛域

闻吸散求和函敷一

I拉格朗日中假定值

［一赛物公式展开为部级数二ZZ

»as

傅里叶柘的敢展开为傅里叶圾效

级数收效定理

L___换元法

r分部枳分法

匚职分变限的数求导•

面角坐标.吸坐标

枳分等式.不等式证明二重分区小»■

定枳分的应用职分

综合肱

总合函数、附的数

i_先一后二

【极值与最值西角坐标

先二后一

含偏导数尊式

三小技面坐标

方向导数与悌度

枳分球面坐除

几何应用

：TM«分方程三地枳分的应用

物理应用

可陵阶的高阶微分方程

常系数线性殿分方程-计口

第一类曲线、魅面枳分

变■!!换解方畏应用

微分方程的应用

格林公式、斯代克斯

公式

第二类曲线、二一一

曲面枳分1税分与路径无关

-JR斯公式

高等数学（数学一）

试卷分析

I判别敛散性

已知敛散性，确定系数

切线、法平面

切平面二法线

求故限

求导数

宜合函数.参数方程.

总的数、反的被

〃阶导教

—八一4g・・■“1山—▼

江：根把去年届首4题•疗研施学（收/一）高孑我学郃分我I道大Q.8述小屯.

3

李林考研数学系列

高频考点108题

高等数学（数学1）试卷分析

授元法

分©R分去

常分变m豆K求号

史分等式,不等式证的

定根分的应用

夹调这则一给况分方程

重商由界芯则可建於的“阶记分方程

定根分的定义黛系敛陵号口分方根

证明葩数不等式变91H换解方程

讨论m数的性冬g分方程的应用

讨论方程实穆的个数皇合曲敢、总的故

,承尔定现眼僖与愚由

拉格蚪日中伯沅理含*导数的R式

柯西中他定理缘合步

奏物公式

Rft±e.0生标

煤台跄分区域枳分

律台抬

列别致敬性

己知父敝：！,确定系效

利用件数是义家吸取

利用号敷定义求，

凝合函数,参敛方程.

由总教.反曲数

"阶易就

几何而用

律理应用

津1根探士•年最新年通・军研我学41学二）由于秋学部分，支5道大15.12道小题.

4

高等数学（数学三）

试卷分析

高等数学（数学D试卷分析

一吩微分方程

常系效线性微分方程

单调有界准则几何应用

定枳分的定义',微分方程的应用

数学运口

复合函数、隐的数

证明的败不等式吸俩与最值

讨论函数的性态含偏导数的等式1

讨论方程实报的个数综合脱j

・用坐侨，极坐标

分区域枳分J

罗尔定理1L1

拉格朗日中值定理J缘合脍]

泰勃公式正项圾效

康合■数项圾数交错则

!任意顶级数1

换元法收敛半径、

收续域

分部枳分法

WffiK求和的数

枳分变限函数来导

的敢展开为

枳分等式.不等式证明裙级数

定枳分的几何应用（面成本、需求、价格、收

枳.体枳、函数平均伯）益、利洞、弹性

5

李林考研数学系列

高频考点108题

判别敛敝性—一

已知效股性，确定参数

复合函数、隐而数、反函数

I.”阶导数

江：抠托去年我新A11.号峭北》《数学三）弗于歌学部分考查I道大通,8道小题.

6

高频考点1

函数的性质

高频考点I函数的性质

考点知识清单

（!）可咛雨攻是奇（偏）函数->/（.，）足偶（奇）雨数.

F（x）一「/⑺d/—（有）函数.

⑵连续淅散八/）是小助函数>Hf>。⑺也是耨函故（ys是

;•

—・■，）不,定是价函故）.

（3）.vr/《.，）关于直线.，</时称«/（</4-r）«J（ur）.

（I）y-/（，）关于点（u.O）对你匚；/（〃4-.r）一，（4一.，）.

一»J划一

（1）可导雨数l（.r）W7为周期=>/z（.r>以「为周期.

（2）连级函收/（u）以/为周叨•则/；<.”（/⑺山不足以T为周期.

（1）函数/（，）在二“小卜.连续=>/<，）住〃・〃」上有界.

（2>函数八.，）作《0勿内逢续•Hlim/（,>・Innf（jr）均〃6>/（.r>在（《.加内在养

（《〃・〃）为无穷区何时也成立）.

（3）林南故/'«」）-一。仅间（“•〃》内仃界刈"，）住一内内行界.

判断函数单真性的两伸方法:

（1）定义法：函数〃」）的定义域为/・V，…6/.II.T<x.<|/（.I.）<

李林考研数学系列

高频考点108题

fkjrx/（.n）>/<x>>.剜称l（jr）在/上单调增加（状少）.

（2）用导数：函数八，）的定义域为/・，（/•/'（，）0（/（1><0）5：

单科增加（减少）.

母题对点集训

।讨论函数/《.，）一|<1"「sin(co*/)<1/的奇偶性.

(1-I)sin^rf0・

判别/(T)--TRi上/》住（•十）内拈fi（I界.

。・

设/《,，）似一・——）内连改・11八］）关广点《〃・0）对称•汁注

i-「/"）山（a.c为不为岑的府故》.

U）设可廿函收/（X）住（・十・）内是奇南IA・.V/（<>的图杉关JH线/R2

时称•证明是以8为周期的同期函故.并求八⑻的旗.

8

高频考点2

极限的定义和性质

高频考点2极限的定义和性质

用考点深度透析

1.近十年尊介1次

2•小段与代・如|2015年第（l）*hI分・Z分概取的定义“I

2OH年不＜1＞也＜；分）

3•，单独％化.如1017*/《[9）图（1。分.勺在做取的件崎＞i

2n13年刊（19）8（10分）

他网的定义如匕由达市点内河•正・踵制假瞅的定义地XJ".他来的性项匕公与住保

号性册中性.〃界性

考点知识清单

——一/S住点,处地杏“定义无关,

1im/J）一,\L・广谓广）＜a与任意绐定的正数£仃英'

--a不唯r

极果的

Iim/（.r）一八LlN”潘J）・

定义

不等式I«.-u|＜＜刻画「。•与〃的七班接近*

lim%=〃「£Vik”.、与任点给定的正敢.公关・丘不唯.1

—[N与前面的外限项无英・

唯•件;

保，性，

守界件，

保#件.

■•♦・•6•6

毋强对点集训

卜列结论中侨i夬的是（）.

••

A.iiliniN-“/什•则与w充分大时•力I

••4

B.i2lima-a:。•则竹n充分大时・仃%•u

n

9

李林考研数学系列

高频考点108题

(二设limu“七仙blim儿•划甘〃充分大时•力'人

・•・•

IX设M-u..V(ti-1.2.••,).^flinura.W]V/uwV

a・・

/(，)Ini•K1/.h(.r)r(.r>1)./充分大时.if<

A./(/)(.r)<h(r)H・X(r)<A(.r></(x)

(./“/)«#(.r1/(.，)"J)</(.i)<h(j)

高频考点3函数极限计算

，■・，的»«

考点深度透析

♦达，■计，

।•闲散保田的计算是学讯热点•耳扉。试中大也。小型柘公遇打号代,施收在中等或

中等以下

2.ILFh华布会单独?6・ta,2021<t^（17）£4（10分）I

2019年笫（9>0（4分）|2018年第（9）凶（4分h

2017年通（15）■（10^>li2O16年弟”三）尊（105>>等

状区主要从I、定式微以计。.京川到济必达法明.四个雨受”瞅.等价无力小代换,泰

物公W.〃再化等方法♦范”性是关龙

10

高频考点3

函数极限计算

考点知识清单

1・——R的i逢kil*iA

洛必达法则南川干什刀术定式.瓜分广•分母同时妨卜”或看号「•无穷，

洛必达法则多次使用洛必达法则时•加•次使用前头检化是介是；()型未定式.

若不是则存止使川.

伊川写价无穷小代换求极限时♦代换变址必织OF0：

等价无力小代换乘.除运。时4w川等价无宪小代换・加孜运n时不腌用等价无穷

I小代换♦但可以嚓AA阶无穷小.

泰勒公式：利川泰勒公式求极限,关键是利用定展开式要做开到泰儿俱.

麻包。1t

两个旅要极限-'

“下(I・z>•=lim(Ij

钉理化.过址桦换.

出现型时.与忠提取公囚式•进行等价少修：

提取公囚式

函致微限式中出现折数函数.M雨数时・％虑使用淡力•法.

'0,,

")L神A正式分工..

㈠・1•-,.

:鹏：洛必达法则.③价无穷小代换、泰勒公式、网个

也要极限等，

三凡济必达法则.分广分母同除以儿力大最高阶仲，

8一・RL通分•提取公内式：

(2)何种人定式的处时力法《

o•归化为:.F•再求微限：

0.■:最匕要的〃法史利川公式〃=o一但等变

形进行转化•结合其他为出再计并:

i科川公式〃，•进行等价转化.»成曲t

币:饕极限的形式进行求M.

李林考研数学系列

高频考点108题

母题对点集训

pl(2-MntY2'山

计并俄IWIimH---

e

y/2COSJ'1~

)计算低限lim

高频考点4

己知极限，确定参数等

高频考点4已知极限,确定参数等

冽考点深度透析

1.儿r布耶号试都会涉及此号也♦府以无力小的比较形式出现

2.・一为中期•原•如3202］好第<171Udi）分以2020年事（15》分“

2019年第（1）的3分）i2M8->.（*分-20151|第（15）HC10分）等

已川林果•他定£数是。试热点.■j响效微取的讣算作力法1:HI网・解密时升&步集介

理,计方准编

tw.八2IM"

小号点知识清单

一知南数（数列）极来求您出.也是极限的汁。•可利川等价无力小代换及性质、求极

限的liiktti合已知条件进行求诉.

府川的结论：

1

<I）（Jtillini\［一“<。为常数）・IJ）什•则lim/J）0：

<2）Lltolim为常数）I一。•则liryj）。0.

.-NMU帆It•1％一个V41时ftfit的■».

《I）通过未知假以崂数去提C1知极限的极网南数形代•然后川极限的限用运立法则

求出极限，

（2）通过已知极限的极限函数去凌人知极眼函也形式,然后用极果的四则迄不法则

CTWWi

（3）通过函数极眼与无为小的关系,从已知极累中解出未知的梢故部分•然后把去达

式带人到不知的极限函数中•求出极限，

（n利用泰物公式求解.

——■〃—：♦•・一♦，工小的:■

13

李林考研数学系列

高频考点108题

个母题对点集训

■II设常数</>0.filim-(〃'ti~~)»/K。•求/>></的俵.

••••

金设小）是连续南牧上,当一。时J”

।八八市是关「•，的

n阶无穷小•求n.

设lim"，『红/，=”.」.，的值.

..3"if—1

4)ii，,jx•”•)■・，(/)一/,uin(Ifi>Arsin.<ljg(.r)x-lanx是手价无

穷小•东“・〃的fl't.

In-I十

/(.r)

⑸⑵iFF.…I•求limTV

r•《In)sz)xani

八求曲线.v；ln<l­<）的全部渐近线.

高频考点5

数列极限

高频考点5数列极限

।・近卜什多次涉及的推也之一

2.常1m卜形式,化・Sh

2020年笫“力分•用等价无力小痛定叁故〃

2019年第”8）Mdu分・M定的分表示故”+

20|<»中福”91^（10分•定枳分的而供十数网级限八

2018年第（2D捌（IU分.。&中.必有界定理id叫故啊愀或〃住•并求值h

2017^（16）BU0分・>依定怏分的定又求“相式"微果八

2M6年第”9）题（I。分•数列代取+级数壮明我股性八

ZQ12耶第（2D超（1。分•零或定好+公列微融）等

科川定松分定义求微取为一双而现世.小刈行界定理或,1微数或与零点定理馀合班行

/代・£Z讯中的中立.I.也I试小中I!4仆色的鹿H・建议W学济工"8抑

trrwjir中盯左题”进行蟒习

升ip-）U，-淮-M的一,上

（1）变址连续化即利川海涅定理求数列微限：

厮次累：；：：•函数/限“…人・K科校

aix*M

川把〃关函数极限的计多件啦找化为数列极限讨论，

设叫海涅定川的北他川途

可以讪叫函也极限不。住.

适用情形:〃项“和式”的ft列ftRb无法进行变M连续化，

।――的不等式制i•得到不等式A：u..

使用明重『，•，的做限。”io；

力求雨故人.，，的林口NQ极累为，，八

③得到结论Jima.-u.

•••

女〃•。•则lim而=1；

常用的网外结论

liinv^i1.

15

李林考研数学系列

高频考点108题

适用梢物与递推关系，一，"）行大的问题:

[①证明数列有界,单3Ah

使用步骤。假设数的极限为八•通过递推式两端求极限

■立关于A的方程.进而求出极限一

作店法：.1O）：

证明单谢（

作的^1*工>!（<I）.

（3）单曲仆界准则

证明单调“界数学打纳法，

常用的方法拉格间II中侑定理，

’W27s（“•（”••）：

证明有

然常用

6,.A-Vjv<£in.，<x<.r-（H：

的不M|n（I|,）v,（，»

eI>.r（.r>0）.

适用怙形：无穷8和式”的数列做限.

m定积分定文火极〃法，将所求数列微米朴化成定祗分的定义形式,即

IM却卜+宁）11,（,hU

n

金I母题对点集训

lUl.m

n

L求板口Him*X4〃彳/）（〃一二IT.

•・L〃

i'.t</.=|.r"vI-"cl.，・ZL=|>in7d/（/i1.2.-L

.<F**

<1>求假眼lim*s

（II）1仅数学一,三要求）计则：级数»I）-；收敛.并求JC和.

高频考点5