专题17 坐标与图形的变换-轴对称 带解析

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题17坐标与图形的变换—轴对称考试时间：120分钟试卷满分：100分评卷人得分一、选择题(共10题，每题2分，共20分)1．(本题2分)（2023秋·北京海淀·八年级校考阶段练习）如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为（

）A．3 B． C． D．2【答案】A【思路点拨】连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值为的长．【规范解答】解：如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点．，，，，，，∴，∴，，最小时，的值最小，当时，的值最小，此时，∴，∴的最小值为3，的周长的最小值为3，故选：A．【考点评析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质,含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型．2．(本题2分)（2023秋·广东广州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（

）．A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】过B点作轴于点C，则，即，写出B点坐标，最后求出关于x轴的对称点的坐标．【规范解答】解：如图，过B点作轴于点C∵∴∵平分，∴又∵∴∴即:解得：∴∴关于x轴的对称点是故选C【考点评析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．(本题2分)（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在轴、轴的正半轴上，点D在OA上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【思路点拨】要求和的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．【规范解答】解：连接，交于，则就是和的最小值，∵再直角中，，，，∴，∴，∴和的最小值是，故选：B．【考点评析】本题考查了最短路径问题，涉及了正方形的性质、轴对称、勾股定理等知识，解题关键是对这些知识的理解与综合应用．4．(本题2分)（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点在上，将沿直线翻折，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】设，由折叠性质得到，，利用勾股定理计算出，则，在Rt中利用勾股定理得到，然后解方程求出即可得到点的坐标．【规范解答】解：根据题意，画出图如图所示：设，由题意可得，，，与关于直线对称，，，在中，，，在中，，，即，解得：，点的坐标是，故选：B．【考点评析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．5．(本题2分)（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，点关于A的对称点为，关于B的对称点为，关于C的对称点为，关于A的对称点为，…，则点的坐标是(

)A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据题意可得前个点的坐标，即可发现规律，个点一组为一个循环，根据，进而可得点的坐标．【规范解答】∵，，，点关于的对称点为，，∴，，解得，所以点；同理：关于点的对称点，所以关于点的对称点，所以，，，，…，发现规律：每6个点一组为一个循环，∴，所以与重合，所以点的坐标是．故选：A．【考点评析】本题考查了坐标与图形的对称找规律，解决本题的关键是掌握中点坐标公式.6．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）如图，面积为3的等腰，，点、点在轴上，且、，规定把“先沿轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，顶点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据等腰三角形的面积和B(1，0)、C(3，0)；可得A(2，3)，然后先求出前几次变换A的坐标，进而可以发现第2021次变换后的三角形在x轴下方，且在第三象限，即可解决问题．【规范解答】解：∵面积为3的等腰△ABC，AB=AC，B(1，0)、C(3，0)，∴点A到x轴的距离为3，横坐标为2，∴A(2，3)，∴第1次变换A的坐标为(-2，2)；第2次变换A的坐标为(2，1)；第3次变换A的坐标为(-2，0)；第4次变换A的坐标为(2，-1)；第5次变换A的坐标为(-2，-2)；∴第2021次变换后的三角形在x轴下方，且第三象限，∴点A的纵坐标为-2021+3=-2018，横坐标为-2，所以，连续经过2021次变换后，△ABC顶点A的坐标为(-2，-2018)．故选：A．【考点评析】本题考查了翻折变换，及点的坐标变化规律，等腰三角形的性质，坐标与图形对称、平移，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．7．(本题2分)（2022秋·北京·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【思路点拨】根据轴对称图形的性质作出点，即可得到满足条件的点的个数．【规范解答】解：满足条件的点有4个．故选：B．【考点评析】本题考查利用轴对称设计图案，坐标与图形变化对称等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．8．(本题2分)（2021秋·福建福州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点，并垂直于x轴．P是直线l上的一点，点和点均不在直线l上．若AP＋BP的最小值恰为AB的长，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【思路点拨】根据AP＋BP的最小值恰为AB的长可知点和点均在直线l的两侧，即可得出，解不等式组即可得到结论．【规范解答】解：由题意可知，点和点在直线l的两侧，∵，∴A点在直线l的左侧，点B在直线l的右侧，∴，解得，故选：B．【考点评析】此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，能够理解题意得出点和点在直线l的两侧，是解题的关键．9．(本题2分)（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，OA平分，于点C，且，已知A点y到轴的距离是3，那A点关于y轴对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】根据点A到y轴的距离是3，得到点A横坐标为-3；根据角的平分线的性质定理，得到点A到x轴的距离为2，即点A的纵坐标为2，即可确定A点的坐标，然后根据y轴对称的特点确定坐标即可．【规范解答】解：∵点A到y轴的距离是3，∴点A横坐标为-3，过点A作，垂足为E，如下图，∵OA平分，即，又∵，AC=2，∴AE=AC=2，∴点A的纵坐标为2，∴点A的坐标为（-3，2），∴点A关于y轴对称的点的坐标为（3，2）．故选：C．【考点评析】本题主要考查了角的平分线的性质、点到直线的距离以及点的轴对称坐标等知识，正确确定点的坐标，熟练掌握对称点坐标的特点是解题的关键．10．(本题2分)（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【思路点拨】根据轴对称的性质可求得答案．【规范解答】解：作A关于直线对称点C，∴，∵，∴C的坐标为；连接并延长，交直线于P点，此时，取得最大值，∴．故选D．【考点评析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，轴对称−最短路线问题，正确的作出辅助线是解决本题的关键．评卷人得分二、填空题(共10题，每题2分，共20分)11．(本题2分)（2022秋·广东东莞·八年级东莞市石碣袁崇焕中学校考期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标__________．【答案】【思路点拨】如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D，根据轴对称的性质可得当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合，利用三角形面积之间的关系求出点P的坐标即可．【规范解答】解：如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D，∴，，∴，∴当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【考点评析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，确定当三点共线时，最小，即最小是解题的关键．12．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点的对称点A′坐标为，点为图象上的一点，则点M在图象上的对称点坐标为________．【答案】【思路点拨】先求出对称轴的表达式，设点M在图象上的对称点坐标为，根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案．【规范解答】解：∵点的对称点坐标为，∴对称轴为：，设点M在图象上的对称点坐标为，∴3，，∴，∴点M在图象上的对称点坐标为．故答案为：．【考点评析】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键．13．(本题2分)（2023秋·辽宁鞍山·八年级校考阶段练习）在的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，已知三个顶点的坐标分别为，，．如果要使与全等，那么符合条件的点D有______个．【答案】【思路点拨】要使与全等，可知两个三角形的公共边为，运用对称即可求出所需的点的个数．【规范解答】如下图所示，有三种情况满足与全等，，故答案为：．【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，写出直角坐标系中的点坐标，熟练掌握关于对称作图中点的坐标特征并能灵活运用是本题解题的关键．14．(本题2分)（2023秋·山西大同·八年级大同市第二中学校校考期末）若点与点关于x轴对称，则__________．【答案】13【思路点拨】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程即可．【规范解答】解：∵点与点关于x轴对称，∴，解得：，∴，故答案为：13．【考点评析】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．15．(本题2分)（2022秋·山东济南·八年级统考期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将关于x轴做轴对称从而得到．若点经过“0101……01”共2022次变换后得到点，则点的坐标为__________．【答案】【思路点拨】根据平移以及轴对称的性质解决问题即可．【规范解答】解：点按序列“01”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将作2次变换，可得，，,,综上可得，点的横坐标为，纵坐标以四次一个循环，∴的横坐标为，纵坐标为，为，∴点的坐标为，故答案为：.【考点评析】本题考查了坐标的变化规律，平移以及轴对称变化，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．(本题2分)（2023春·全国·八年级专题练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将关于x轴做轴对称从而得到．若点经过“0101……01”共2022次变换后得到点，则点的坐标为__________．【答案】【思路点拨】根据平移以及轴对称的性质解决问题即可．【规范解答】解：点按序列“01”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将作2次变换，可得，，,,综上可得，点的横坐标为，纵坐标以四次一个循环，∴的横坐标为，纵坐标为，为，∴点的坐标为，故答案为：.【考点评析】本题考查了坐标的变化规律，平移以及轴对称变化，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．(本题2分)（2022秋·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴的负半轴上且，点P与点O关于直线对称，在y轴上找到一点，使的值最小，则这个最小值为_______．【答案】6【规范解答】作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，连接，则：，∴当三点共线时，的值最小，∵，，∴，∴，∵点P与点O关于直线对称，∴，交于点D，过点作轴，交轴于点，则：，，∴，∴，∵点和点关于轴对称，∴，∴，∴．∴的最小值为：6；故答案为：6．【考点评析】本题考查坐标系下的轴对称，以及含角的直角三角形．熟练掌握轴对称的性质，以及利用轴对称法解决线段和最小问题，是解题的关键．18．(本题2分)（2022秋·河北承德·八年级统考期末）如图，点A在y轴上，是等腰三角形，，点B关于y轴的对称点的坐标为，则点A的坐标为__________．【答案】（0，6）【思路点拨】过B作BC⊥AO于C，由点B关于y轴的对称点的坐标为得出点B的坐标，依据等腰三角形的性质即可得到AC=OC=3，最后求得点A的坐标．【规范解答】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，∵点B关于y轴的对称点的坐标为，∴B，∵AB=OB，BC⊥AO，∴AC=OC=3，∴点A的坐标为（0，6），故答案为：（0，6）．【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．19．(本题2分)（2022·全国·八年级假期作业）如图，菱形的边在轴上，顶点坐标为，顶点坐标为，点在轴上，线段轴，且点坐标为，若菱形沿轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是________．【答案】13+【思路点拨】由题意可知AD、EF是定值，要使四边形周长的最小，AE＋DF的和应是最小的，运用“将军饮马”模型，根据点E关于AD的对称点为O，过点A作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形周长的最小值．【规范解答】∵点坐标为，点坐标为，∴OC＝4，OD＝3，∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四边形是菱形，∴AD＝CD＝5，∵坐标为，点在轴上，线段轴，∴EF＝8，连接OA，过点A作AF1∥DF交EF于点F1，则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，∵点E，O关于AD对称，∴OA=AE，当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四边形周长的最小值：AD＋EF＋AE＋DF＝AD＋EF＋OF1＝5＋8＋＝13+．【考点评析】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．20．(本题2分)（2022秋·湖北武汉·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，3）在y轴上，连接AB，∠ABO＝60°，过y轴上一点P（0，m）作直线l⊥AB，OB关于直线l的对称线段为O1B1，若线段O1B1和过A点且垂直于x轴的直线a有公共点，则m的取值范围是____________．【答案】-6≤m≤-3【思路点拨】利用分类讨论的思想计算出临界点，进而求出m的取值范围.【规范解答】解：①当点B1与点A重合时∵直线l垂直平分AB∴PA=PB∵∠ABO＝60°∴△PAB是等边三角形∴PB=AB∵∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，OB=3∴∠OAB＝30°∴AB=2OB=6∴PB=AB=6∴OP=3∴m=-3②当点O1落在直线a上时同理可证△OO1P为等边三角形∵AB∥OO1，OB∥AO1∴四边形ABOO1是平行四边形∴OO1=AB=6∴OP=OO1=6∴m=-6∴m的取值范围是-6≤m≤-3故答案为：-6≤m≤-3【考点评析】本题考查了坐标与图形的变化-对称，解答本题的关键是结合图形，分情况讨论.评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且，，．(1)将向右平移5个单位长度得到，与关于x轴对称，请画出，并写出顶点，，的坐标；(2)请在y轴上画出一点P，使得的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】(1)图见解析，点，，的坐标分别为，，(2)见解析【思路点拨】（1）先根据平移作出，再利用轴对称作出，最后写出各顶点坐标即可；（2）先作出E点关于y轴的对称点，再连接交y轴于点P，即可．【规范解答】（1）如图所示，即为所求作：点，，的坐标分别为，，．（2）如图所示，作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求点．【考点评析】本题考查了平面直角坐标系中的图形的平移和轴对称以及最短路径问题，解题关键是理解题意，牢记平移的点的坐标规律和轴对称的点的坐标规律．22．(本题6分)（2022秋·内蒙古赤峰·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．(1)请画出与关于x轴对称的；(2)在y轴上找一点P，使最小．(3)若点是内部的一个点，求点Q关于x轴对称的点的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【思路点拨】（1）先分别画出点关于轴的对称点，再顺次连接点即可得；（2）点关于轴对称点的坐标为，连接交轴于点，则点为所求；（3）根据关于轴的对称的点的坐标变换规律：横坐标相同、纵坐标互为相反数即可得．【规范解答】（1）解：如图，即为所作．（2）解：如图，点关于轴对称点的坐标为，连接交轴于点，则点为所求．（3）解：关于轴的对称的点的坐标变换规律：横坐标相同、纵坐标互为相反数，则点关于轴对称的点的坐标为．【考点评析】本题考查了画轴对称图形、轴对称的性质、点坐标的轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．23．(本题8分)（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）如图，的顶点分别为，，．(1)在图中作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标；(2)在y轴上找一点P，使得最小（画出图形，找到点P的位置）．【答案】(1)图见解析，；(2)见解析．【思路点拨】（1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，，，再首尾顺次连接即可得到；（2）连接交y轴于点P，则点P即为所求作【规范解答】（1）如图，即为所求，点的坐标为，（2）如图，点P即为所作．【考点评析】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．24．(本题8分)（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点A、分别在轴、轴的正半轴上，连接、，．(1)则点的坐标为________．(2)①点为线段上一点，连接，用含的式子表示为________．②在①的条件下，作点关于直线的对称点，连接、和，交轴于点，若，的面积为30，求点A的坐标．【答案】(1)(2)①；②【思路点拨】（1）根据三角形面积及等高得出，即可确定点的坐标；（2）①根据（1）及点的坐标得出，，再由高相等求解即可；②连接，延长线交于点，作点关于轴的对称点，连接，由轴对称的性质得出，及各角之间的关系得出，再由全等三角形的判定和性质及面积相等求解即可．【规范解答】（1）解：∵，，∴，，∴，∴的坐标为，故答案为：；（2）①由（1）得，∵，∴，，∴；故答案为:；②连接，延长线交于点∵点与点关于对称∴垂直平分，∴，∴，∵，设，，作点关于轴的对称点，连接，∴，，∴，，∴，∵，∴∴，∵的面积为30，∴，∴∴．【考点评析】题目主要考查坐标与图形，列代数式及轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．25．(本题8分)（2023春·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，平面直角坐标系、两点分别在x、y轴上，P为射线上的一动点，点O关于直线的对称点为．(1)当的面积为15时，求点P坐标；(2)当为等腰三角形时，求点P坐标；(3)若点O关于直线的对称点为点D，当为直角三角形时，请求出点P坐标．【答案】(1)点的坐标为或；(2)点的坐标为或或；(3)点的坐标为或或或．【思路点拨】（1）设，易知，，根据，列式子求解即可；（2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，进行讨论即可；（3）根据轴对称性质可得：，由为直角三角形，可分类讨论：或或，利用勾股定理和全等三角形性质即可求得点的坐标．【规范解答】（1）解：设，，则，∵，∴，则：，解得：，即：当的面积为15时，点的坐标为或；（2）∵、，即：，，∴①当时，如图，此时，，∴∴点的坐标为；②当时，如图，此时，∵，，∴，∴点的坐标为；③当时，设，则，∴，由勾股定理可得：，即：，解得，∴点的坐标为；综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或；（3）设，∵点关于直线的对称点为，∴∴，，，∴①若，如图，∵，∴、、三点共线，，，∵，即，解得：，∴点的坐标为；当点在负半轴时，此时，，∵，即，解得：，∴点的坐标为；②若，如图，∵∴，∴、为等腰直角三角形，∴∴点的坐标为；当点在负半轴时，同理可得点的坐标为；③若，则，，则点不能出现在过点的垂线上，即此情况不存在．综上，点的坐标为或或或．【考点评析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称变换性质，全等三角形性质，分类讨论数学思想等；分类讨论数学思想应用是解答本题的关键．26．(本题8分)（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图①，在中，，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点B、C重合时，连接．设．(1)的长为______．(2)当是直角三角形时，求的值．(3)当是轴对称图形时，求的面积．(4)如图②，作点关于直线的对称点，连接、，当点A、D、三点共线时，直接写出的值．【答案】(1)3(2)的值为4或(3)面积为或(4)，10【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出，，再由勾股定理求解即可；（2）分两种情况分析：，，分别利用等腰三角形的性质及勾股定理求解即可；（3）根据题意三种情况分析：当时，当时，当时，分别求解即可；（4）分两种情况分析：当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别利用轴对称的性质及勾股定理求解即可．【规范解答】（1）解：，，点为的中点，，，在中，故答案为：3；（2）当时，即点P与点D重合．在中，．当时，在中，，．∵，点D为的中点，∴．∴．在中，，．∴，∴．的值为4或．（3）当时，点P与点C重合，不符合题意．当时，，∴，∴．当时，，∴，在中，，．∴，∴．∴，∴．∴的面积为或．（4）如图所示：当点P在线段上时，∵作点关于直线的对称点，∴，∵，，，∴，，，在中，∴，解得：；当点P在线段延长线上时，∵作点关于直线的对称点，∴，∵，，，∴，，，在中，∴，解得：；综上可得：的值为或10．【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，轴对称的性质，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．27．(本题8分)（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）定义：在任意中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为，那么称此三角形为“倍角互余三角形”．(1)【基础巩固】若是“倍角互余三角形”，，，则________；(2)【尝试应用】如图1，在中，，点为线