专题27 特殊三角形【考点精讲】

专题27特殊三角形专题27特殊三角形知识导航知识导航知识精讲知识精讲考点1：等腰三角形的性质与判定1．定义:两边相等的三角形叫做等腰三角形.2．性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两底角相等，即“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线.

3．判定:①有两条边相等的三角形是等腰三角形;②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”.【例1】（2021·江苏扬州市）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【例2】（2021·浙江绍兴市）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．针对训练针对训练1．（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10 B．5 C．4 D．32．（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．3．（2021·湖南）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．（1）求证：；（2）求的度数．考点2：等边三角形的性质与判定1．定义:三边相等的三角形是等边三角形.2．性质:①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°;②“三线合一”;③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.

3．判定:①三条边都相等的三角形是等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

【例3】（2021·广东）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．方法技巧方法技巧（1）等边三角形与全等三角形的结合运用;（2）等边三角形与含30°角的直角三角形的结合运用.针对训练针对训练1．（2021·重庆）在等边中，，，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．图1图2图3（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．2．（2021·江苏连云港市）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．考点3：直角三角形的性质1．性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.2．判定:有一个角是直角的三角形是直角三角形.

【例4】（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为．针对训练针对训练1．（2021·四川乐山市）如图，已知点是菱形的对角线延长线上一点，过点分别作、延长线的垂线，垂足分别为点、．若，，则的值为（）A． B． C．2 D．考点4：勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.【例5】（2021·江苏宿迁市）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（示意图如图，则水深为尺．方法技巧方法技巧（1）已知直角三角形的两边长，求第三边长.（2）已知直角三角形的一边长，求另两边长的关系.（3）用于证明平方关系的问题.针对训练针对训练1．（2021·四川自贡市）如图，，