2021-2022学年山西省运城市教育发展联盟高二(上)月考数学试卷(10月份)(解析版)

2021-2022学年山西省运城市教育发展联盟高二（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．经过，B（3，1）两点的直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．已知向量，，且，则实数x等于（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣13．若圆C：x2+y2+（m﹣2）x+（m﹣2）y+m2﹣3m+2＝0过坐标原点，则实数m的值为（）A．1 B．2 C．2或1 D．﹣2或﹣14．“a＝2”是“直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知△ABC的顶点C的坐标为（1，1），AC所在直线的方向向量为（1，2），AC边上的中线所在的直线方程为x+y﹣1＝0，则A点的坐标为（）A． B． C． D．6．已知a，b为两条异面直线，在直线a上取点A1，E，在直线b上取点A，F，使AA1⊥a，且AA1⊥b（称AA1为异面直线a，b的公垂线）．已知A1E＝2，AF＝3，EF＝5，，则异面直线a，b所成的角为（）A． B． C． D．7．过点P（2，3）作直线l分别交x轴正半轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当2|OA|+3|OB|取最小值时，直线l的方程为（）A．x+y﹣3＝0 B．x+2y﹣3＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x+y﹣5＝08．设平面点集D包含于R，若按照某对应法则f，使得D中每一点P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作z＝f（x，y），若二元函数f（x，y）＝，其中﹣1≤x≤2，﹣4≤y≤0，则二元函数f（x，y）的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．过点A（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y＝0 B．2x﹣3y＝0 C．x+y＝5 D．x﹣y＝﹣110．已知圆心为C的圆x2+y2﹣4x+6y+11＝0与点A（0，﹣5），则（）A．圆C的半径为2 B．点A在圆C外 C．点A与圆C上任一点距离的最大值为 D．点A与圆C上任一点距离的最小值为11．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．则下列说法正确的是（）A． B．平面OBB1的法向量 C．A1C⊥平面OBB1 D．点A到平面OBB1的距离为12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点（包含线段的端点），点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．当时，点A，P，D1，B1四点共面 B．异面直线AB1与MN的距离为 C．三棱锥P﹣DMN的体积为定值 D．不存在点P，使得AP⊥DM三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．空间直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1，3），（﹣1，3，2），则|AB|＝．14．已知直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为：2x﹣3y＝0，则点（2，﹣1）到直线l2的距离为．15．已知直线l1：（1+m）x+（1﹣4m）y﹣6﹣m＝0过定点P，直线l2过点Q（2，﹣1），且l1，l2分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是．16．在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，ABEF为矩形，且BE＝3AB＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当取最小值时，活动弹子M到直线BF的距离为．四、解答题（共6小题，满分52分）17．在三棱锥A﹣BCD中，E是BC的中点，F在AD上，且AF＝2FD，，，，（1）试用，，表示向量；（2）若底面BCD是等腰直角三角形，且BD＝BC＝AB＝3，∠ABD＝ABC＝60°，求EF的长．18．已知点P（1，4）与直线l：x+y﹣1＝0．（1）若直线l1过点P，且与直线l垂直，求直线l1的方程；（2）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点Q（3，2），求反射光线所在的直线方程．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB＝2BC＝2，PC＝3，PA＝2，E为PD的中点．（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．20．已知圆C经过（﹣1，3），（5，3），（2，0）三点．（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程．21．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠BMC＝90°，MB＝MC，AD＝DC，，E为AB中点，ME＝1．（1）求点D到平面AMB的距离；（2）点P为棱AM上一点，求CP与平面AMB所成角最大时，的值．22．如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，OB＝BC＝2，现将梯形ABCD沿OB折成P﹣OB﹣D为直二面角的四棱锥P﹣OBCD，如图乙所示，在该四棱锥中，CD⊥PC，异面直线PB与CD所成的角为60°．（1）若点F是棱PD的中点，求证：CF∥平面POB；（2）在棱PB上是否存在一点E，使得平面BEO与平面OCE所成锐二面角的正弦值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．经过，B（3，1）两点的直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【分析】由两点坐标写出直线AB的斜率，再由k＝tanα得解．解：直线AB的斜率k＝＝﹣，由k＝tanα＝﹣知，倾斜角α＝．故选：D．2．已知向量，，且，则实数x等于（）A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量，，且，∴＝3+2x+1＝0，解得实数x＝﹣2．故选：C．3．若圆C：x2+y2+（m﹣2）x+（m﹣2）y+m2﹣3m+2＝0过坐标原点，则实数m的值为（）A．1 B．2 C．2或1 D．﹣2或﹣1【分析】将坐标原点代入方程，求出m的值，然后分别判断是否符合题意即可．解：圆C：x2+y2+（m﹣2）x+（m﹣2）y+m2﹣3m+2＝0过坐标原点，则m2﹣3m+2＝0，解得m＝2或m＝1，当m＝2时，原方程为x2+y2＝0，它是一个点，不是圆；当m＝1时，原方程为x2+y2﹣x﹣y＝0，它是以为圆心，为半径的圆．所以实数m的值为1．故选：A．4．“a＝2”是“直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行求出a的值，结合充分必要条件的定义即可．解：若直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行，则，解得：a＝2，故“a＝2”是“直线l1：ax﹣y+a＝0与直线l2：2x+（a﹣3）y+3a﹣1＝0平行”的充要条件，故选：C．5．已知△ABC的顶点C的坐标为（1，1），AC所在直线的方向向量为（1，2），AC边上的中线所在的直线方程为x+y﹣1＝0，则A点的坐标为（）A． B． C． D．【分析】求出直线AC为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，联立方程组，得线段AB的中点坐标为（，），由此利用中点坐标公式能求出A点坐标．解：∵△ABC的顶点C的坐标为（1，1），AC所在直线的方向向量为（1，2），∴直线AC为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，∵AC边上的中线所在的直线方程为x+y﹣1＝0，联立方程组，得x＝，y＝，∴线段AB的中点坐标为（，），设A（a，b），则，解得a＝，b＝﹣，∴A（，﹣）．故选：A．6．已知a，b为两条异面直线，在直线a上取点A1，E，在直线b上取点A，F，使AA1⊥a，且AA1⊥b（称AA1为异面直线a，b的公垂线）．已知A1E＝2，AF＝3，EF＝5，，则异面直线a，b所成的角为（）A． B． C． D．【分析】设两条异面直线a，b所成的角为θ（0＜θ≤），由已知利用向量列式求解．解：如图，设两条异面直线a，b所成的角为θ（0＜θ≤），∵AA1⊥a，AA1⊥b，A1E＝2，AF＝3，EF＝5，，∴，则＝∴±2×2×3cosθ，得cosθ＝（舍去）或cos，则．故选：B．7．过点P（2，3）作直线l分别交x轴正半轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．当2|OA|+3|OB|取最小值时，直线l的方程为（）A．x+y﹣3＝0 B．x+2y﹣3＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x+y﹣5＝0【分析】设直线AB的方程进而求出A，B的坐标，求出2|OA|+3|OB|的代数式，由均值不等式求出其最小值时的斜率，进而可得直线AB的方程．解：由题意可得直线AB的方程为y﹣3＝k（x﹣2），k＜0，令y＝0可得x＝﹣，令x＝0，可得y＝3﹣2k，所以A（﹣，0），B（0，3﹣2k），所以可得2|OA|+3|OB|＝2（﹣）+3（3﹣2k）＝（﹣）+（﹣6k）+9，因为k＜0，所以﹣＞0，﹣6k＞0，由均值不等式可得（﹣）+（﹣6k）+9≥2+9＝21，当且仅当（﹣）＝（﹣6k），即k＝﹣1，取等号，所以这时直线AB的方程为：x+y﹣5＝0，故选：D．8．设平面点集D包含于R，若按照某对应法则f，使得D中每一点P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数，且称D为f的定义域，P对应的值z为f在点P的函数值，记作z＝f（x，y），若二元函数f（x，y）＝，其中﹣1≤x≤2，﹣4≤y≤0，则二元函数f（x，y）的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先将问题转化为动点P到定点O（0，0），A（﹣1，0），Q（0，﹣2），C（2，﹣4）距离的和，再利用数形结合思想求解即可．解：∵﹣1≤x≤2，﹣4≤y≤0，∴P（x，y）在由直线围成的矩形区域内（含边界），如图，则二元函数f（x，y）表示动点P到定点O（0，0），A（﹣1，0），Q（0，﹣2），C（2，﹣4）距离的和，在矩形ABCD边界及内部任取点P，连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有PO+PQ≥OQ，当且仅当点P在线段OQ上取等号，PA+PC≥AC，当且仅当点P在线段AC上取等号，于是f（x，y）＝PO+PQ+PA+PC≥OQ+AC＝2+＝7，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取等号，显然直线AC：y＝﹣x﹣与y轴的交点为（0，﹣）在线段OQ上，即当P（0，﹣）时，，f（x，y）的最小值为7，故选：C．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）9．过点A（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A．3x﹣2y＝0 B．2x﹣3y＝0 C．x+y＝5 D．x﹣y＝﹣1【分析】当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（2，3），（0，0），由此能求出直线方程为；当横截距a≠0时，纵截距b＝a，设直线方程为，把A（2，3）代入能求出直线方程．解：当横截距a＝0时，纵截距b＝0，此时直线过点（2，3），（0，0），直线方程为：，整理得3x﹣2y＝0，当横截距a≠0时，纵截距b＝a，设直线方程为，把A（2，3）代入得，解得a＝5，∴直线方程为＝1，整理得x+y＝5．故选：AC．10．已知圆心为C的圆x2+y2﹣4x+6y+11＝0与点A（0，﹣5），则（）A．圆C的半径为2 B．点A在圆C外 C．点A与圆C上任一点距离的最大值为 D．点A与圆C上任一点距离的最小值为【分析】圆的方程配方求得半径可判断A，把点A的坐标代入圆方程左边计算代数式的值可判断B，求出圆上的点到定点A的距离的最值可判断CD，解：由圆x2+y2﹣4x+6y+11＝0得（x﹣2）2+（y+3）2＝2，知半径为，故A错误；把点A（0，﹣5）代入圆的方程x2+y2﹣4x+6y+11＝0的左边代数式有02+（﹣5）2﹣4×0+6×（﹣5）+11＝6＞0，所以点A在圆C外，故B正确；圆心C到A的距离为＝＝2，，所以圆C上任一点到A的距离的最大值为2+＝3，最小距离为2﹣＝；故CD正确；故选：BCD．11．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．则下列说法正确的是（）A． B．平面OBB1的法向量 C．A1C⊥平面OBB1 D．点A到平面OBB1的距离为【分析】根据已知条件及给定的几何图形写出点A，B，C，A1的坐标，再对各个选项逐一分析计算并判断作答．解：依题意，ABCD是正方形，AC⊥BD，AC与BD的交点O为原点，，在给定的空间直角坐标系中，B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），而，则点B1（1，1，1），，A不正确；，，设平面OBB1的法向量，则，令y＝1，得，B正确；，即A1C⊥平面OBB1，C正确；因，则点A到平面OBB1的距离，D正确．故选：BCD．12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点（包含线段的端点），点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．当时，点A，P，D1，B1四点共面 B．异面直线AB1与MN的距离为 C．三棱锥P﹣DMN的体积为定值 D．不存在点P，使得AP⊥DM【分析】对于A，借助空间向量判断共面即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间向量求距离即可判断；对于C，证明直线A1C//平面DMN即可判断；对于D，利用空间直角坐标系中向量坐标运算即可判断作答．解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，如图，对于A，因，则＝，共面，且它们有公共点A，点A，P，D1，B1四点共面，A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A1（1，0，1），，设与都垂直的向量，因此，，令y＝1，得，则异面直线AB1与MN的距离，B不正确；对于C，因点M，N分别为线段A1C1，CC1的中点，则A1C//MN，A1C⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，于是得A1C//平面DMN，因此，A1C上任意点P到平面DMN的距离都相等，而点D，M，N都是定点，即△DMN面积是定值，则三棱锥P﹣DMN的体积为定值，C正确；对于D，令，t∈[0，1]，则，而，于是得，当t＝1时，，即，因此当点P与点C重合时，AP⊥DM，D不正确．故选：AC．三、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．空间直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1，3），（﹣1，3，2），则|AB|＝．【分析】根据空间两点间的距离公式进行求解即可．解：点A，B的坐标分别为（2，1，3），（﹣1，3，2），则|AB|＝＝．故答案为：．14．已知直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为：2x﹣3y＝0，则点（2，﹣1）到直线l2的距离为．【分析】先求出l2的方程，然后利用点到直线的距离公式求解即可．解：因为直线l1，l2关于y轴对称，l1的方程为2x﹣3y＝0，所以l2的方程为2（﹣x）﹣3y＝0，即2x+3y＝0，故点（2，﹣1）到直线l2的距离为＝．故答案为：．15．已知直线l1：（1+m）x+（1﹣4m）y﹣6﹣m＝0过定点P，直线l2过点Q（2，﹣1），且l1，l2分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是．【分析】先利用直线求出a，b与m的关系，然后将问题转化为点Q到直线l1的距离，由点到直线的距离公式以及基本不等式求解最值，即可得到答案．解：直线l1：（1+m）x+（1﹣4m）y﹣6﹣m＝0可变形为（1+m）（x﹣5）+（1﹣4m）（y﹣1）＝0，令a＝1+m，b＝1﹣4m，因为l1∥l2，且点Q在直线l2上，则l1，l2之间的距离d等于点Q到直线l1的距离，所以d＝＝＝＝，当且仅当2a＝3b，即m＝时取等号，所以l1，l2之间的距离的最大值为，又直线l1，l2不重合，所以l1，l2之间的距离的取值范围是．故答案为：．16．在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，ABEF为矩形，且BE＝3AB＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子M在正方形对角线AC上移动，当取最小值时，活动弹子M到直线BF的距离为．【分析】根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答．解：因ABCD为正方形，则AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD⋂平面ABEF＝AB，于是得AB⊥平面ABEF，又ABEF为矩形，即BE⊥AB，以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，0，1），E（0，3，0），F（1，3，0），因点N在BF上，且2FN＝BN，则，又M在线段AC上移动，则有，于是得点M（t，0，1﹣t），，，因此，当时，取最小值，此时，点，则，，而，则有，，因此，点M到直线BF的距离，所以活动弹子M到直线BF的距离为．故答案为：．四、解答题（共6小题，满分52分）17．在三棱锥A﹣BCD中，E是BC的中点，F在AD上，且AF＝2FD，，，，（1）试用，，表示向量；（2）若底面BCD是等腰直角三角形，且BD＝BC＝AB＝3，∠ABD＝ABC＝60°，求EF的长．【分析】（1）根据给定条件利用空间向量线性运算直接写出并化简计算即可；（2）利用给定条件借助空间向量的数量积即可计算EF的长．解：（1）依题意，因E是BC的中点，F在AD上，且AF＝2FD，则＝，所以；（2）因BD＝BC＝AB＝3，∠CBD＝90°，∠ABD＝ABC＝60°，即，则，，，由（1）知：，所以EF的长是．18．已知点P（1，4）与直线l：x+y﹣1＝0．（1）若直线l1过点P，且与直线l垂直，求直线l1的方程；（2）一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点Q（3，2），求反射光线所在的直线方程．【分析】（1）利用待定系数法结合垂直直线系方程，设出直线l1的方程，将点P的坐标代入求解即可；（2）点P关于直线l的对称点P'（a，b），利用点PP'的中点在直线l上，直线PP'与直线l垂直，列出方程组，求出a，b，即可得到反射光线经过点P'（﹣3，0）和Q（3，2），求解反射光线即可．解：（1）因为直线l1与直线l垂直，所以设直线l1的方程为x﹣y+m＝0，又直线l1过点P（1，4），所以1﹣4+m＝0，解得m＝3，所以直线l1的方程为x﹣y+3＝0；（2）设点P关于直线l的对称点P'（a，b），则，解得a＝﹣3，b＝0，所以P'（﹣3，0），故反射光线经过点P'（﹣3，0）和Q（3，2），所以反射光线所在的直线方程为，即x﹣3y+3＝0．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，AB＝2BC＝2，PC＝3，PA＝2，E为PD的中点．（1）证明：BC⊥平面PAB；（2）求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）先求AC＝，再利用AC2+PA2＝5+4＝9＝32＝PC2得PA⊥AC，进而证PA⊥面ABCD，可得PA⊥BC，可证BC⊥面PAB；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，以及EB的方向向量，可求直线EB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：AB＝2BC＝2，所以得BC＝1，又底面ABCD是矩形，所以AC＝＝，又AC2+PA2＝5+4＝9＝32＝PC2，所以∠PAC＝90°，所以PA⊥AC，又PA⊥AB，AC∩AB＝A，AC、AB⊂面ABCD，所以PA⊥面ABCD，又BC⊂面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB⊂面PAB，AP⊂面PAB，所以BC⊥面PAB；（2）解：由（1）知PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（2，0，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，，1），C（2，1，0）则＝（﹣2，0，2），＝（0，1，0），＝（2，﹣，﹣1），设平面PBC的一个法向量＝（x，y，z），则有，令x＝1，则有y＝0，z＝1，∴平面PBC的一个法向量＝（1，0，1），设直线EB与平面PBC所成角为θ，所以sinθ＝＝＝，所以直线EB与平面PBC所成角的正弦值为．20．已知圆C经过（﹣1，3），（5，3），（2，0）三点．（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点，且点M满足，求点M的轨迹方程．【分析】（1）设出圆C的方程，将给定三点坐标代入列出方程组求解即得；（2）设出点M，A的坐标，利用坐标代换法即可求出点M的轨迹方程．解：（1）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），将三点（﹣1，3），（5，3），（2，0）分别代入得：，即，解得，所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9；（2）设M（x，y），A（xA，yA），则有，，因，于是得，即，又点A在圆C上运动，则，即（3x﹣16﹣2）2+（3y﹣15﹣3）2＝9，整理得：（x﹣6）2+（y﹣6）2＝1，所以点M的轨迹方程为（x﹣6）2+（y﹣6）2＝1，是以（6，6）为圆心，以1为半径的圆．21．如图，在四棱锥M﹣ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝∠BMC＝90°，MB＝MC，AD＝DC，，E为AB中点，ME＝1．（1）求点D到平面AMB的距离；（2）点P为棱AM上一点，求CP与平面AMB所成角最大时，的值．【分析】（1）取BC中点O，连接MO、EO，证明出BC⊥平面MOE，分析出△MOE为等边三角形，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，过O垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点D到平面AMB的距离；（2）设，可得出，设CP与平面AMB所成角为θ，利用空间向量法可得出sinθ关于λ的表达式，利用二次函数的基本性质可求得当sinθ取得最大值时对应的λ的值，即可得出结论．解：（1）取BC中点O，连接MO、EO，∵△ADC为等腰直角三角形，∴，因为，AB//CD，则∠CAB＝∠ACD＝45°，由余弦定理可得，∴AC2+BC2＝AB2，故AC⊥BC，又∵△MC