23有理数的乘除法讲义2024-2025学年北师大版七年级数学上册

第5第5讲讲有理数的乘除法通过对本节课的学习，你能够：有理数的乘法法则有理数除法法则（一）倒数求一个有理数的倒数有理数乘法法则的推广有理数除法法则（二）有理数乘法的运算律有理数的乘除混合运算绝对值、相反数、和倒数的综合运算有理数的加、减、乘、除混合运算有理数乘法的实际应用有理数乘除法在实际生活中的应用探究规律题型除法、绝对值、倒数的综合应概述概述适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域北师大版区域课时时长（分钟）120知识点1、有理数的乘法法则8、有理数除法法则（一）2、倒数9、求一个有理数的倒数3、有理数乘法法则的推广10、有理数除法法则（二）4、有理数乘法的运算律11、有理数的乘除混合运算5、绝对值、相反数、和倒数的综合运算12、有理数的加、减、乘、除混合运算6、有理数乘法的实际应用13、有理数乘除法在实际生活中的应用7、探究规律题型14、除法、绝对值、倒数的综合应用教学目标1、理解有理数乘法、除法的意义，掌握有理数乘法法则中积的符号法则和绝对值运算法则，并初步理解有理数乘法、除法法则的合理性．.2、理解互为倒数的意义，并会找一个数的倒数.教学重点1、会按照“先确定符号，后计算绝对值”的方法进行有理数的乘法、除法运算.2、理解互为倒数的意义，并能求倒数.教学难点1、理解互为倒数的意义，并能求倒数.2、准确运算有理数的乘除计算题.

教学过程教学过程一、导入一、导入一、巧妙设疑，复习引入设计说明教材对于两数相乘，特别是异号两数和两个负数相乘的符号法则的设计是非常好的．但是我们在授课时往往忽视了这个探索规律的推理过程，而急于直接告诉学生“同号得正，异号的负”的结论，然后通过大量的练习加以巩固．这样无疑是舍本逐末的．问题1：阅读教材中的引例，并完成“议一议”．学生很容易得出正确答案，因为这两个问题是有实际背景可以解释的，大多数学生可以结合连加来理解因此也就不那么困难．问题2：针对“议一议”的5个题目的结果，思考第二个因数减少1时，积是怎样变化的？对于这个问题很多教师根本不处理，就直接过渡到“你能写出下列结果吗？”，并灌输“负负得正”的符号法则，导致很多学生题目能做对，但不明白其中的道理，只是靠记忆学数学．相反的，在这个问题上我们要给学生充分的时间去“议”，去发现当第二个因数减少1时，积是增大3的．有了这个发现，我们就可以在此基础上，将问题延伸．问题3：如果将第二个因数由0减少为－1呢？积又该怎样变化了？按照前面探索的规律，积要增大3，得到(－3)×(－1)＝3.然后继续问下去：如果将第二个因数由－1减少为－2呢？积又该怎样变化了？如果将第二个因数由－2减少为－3呢？积又该怎样变化了？如果将第二个因数由－3减少为－4呢？积又该怎样变化了？那么，学生会很自然地得出(－3)×(－2)＝6，(－3)×(－3)＝9，(－3)×(－4)＝12，其结果都是依次增大3的．问题4：观察上面几个算式，你能归纳出两个负数相乘时的符号规律吗？此时，两数相乘的符号法则在学生的思维中就顺理成章了．教学说明以上四个问题的设计从易到难地体现了教学目标中“经历探索有理数法则的运算规律的过程”的要求，没有简单粗暴的灌输，完全由学生找规律，推导出积的符号法则，不生硬，而且学生印象深刻，为后面多个不为零的有理数相乘积的符号法则奠定了扎实的基础．二、讲授新课设计说明处理教材例1，初步积累一些乘法计算方法和经验，特别是两个负数相乘积为正的类型．同时巩固对两数相乘乘法法则的理解．1．例题教学(教材例1)(1)、(－4)×5；(2)、(－5)×(－7)；(3)、－38×－83；(4)、(－3)×－13.问题1：通过对第(2)、(3)、(4)题的计算，你加深了对哪种乘法题目的理解？学生回答：对于两个负数相乘积为正的理解．问题2：观察第(3)、(4)题，你有什么发现，可以小组间进行讨论和交流．学生可以通过独立思考、阅读教材或小组交流等不同形式获得答案，从而深化小学中对互为倒数的理解，互为倒数还含有两个负数乘积为1的情况，既可以作为两个负数相乘积为正的一种特例，又巩固了倒数的基本概念．二、知识讲解二、知识讲解知识点1有理数乘法法则知识点1有理数乘法法则1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为02、有理数乘法运算步骤：第一步，确定符号；第二步，确定绝对值知识点2倒数知识点2倒数1、定义：如果两个有理数乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称为这两个数互为倒数2、性质：a·b=1a与b互为倒数知识点知识点3有理数乘法法则的推广1、几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定的（奇负偶正）；2、几个数相乘，有一个因数为0.则积为0；知识点4有理数乘法的运算律知识点4有理数乘法的运算律1、乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）乘法分配律：a×（b+c）=a×b+a×c知识点5有理数除法法则知识点5有理数除法法则1、法则1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0数的数得02、法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数。知识点6有理数的乘除混合运算知识点6有理数的乘除混合运算有理数的除法可以转化为乘法，所以有理数的乘除混合运算可以统一成乘法运算，其步骤为：（1）将所有除法转化为乘法；（2）确定积的符号；（3）运用乘法运算律，简化运算，求出最后结果。三、例题三、例题精析例题1例题11、计算下列各题：（1）； （2） （3）； （4）； （5）.例题例题22、若a+b＞0，ab＜0，则（）A、a、b都是正数B、a、b都是负数C、a、b异号且负数的绝对值大D、a、b异号且正数的绝对值大例题例题33、下列说法正确的是（）A．同号两数相乘，取原来的符号B．一个数与－1相乘，积为该数的相反数C．一个数与0相乘仍得这个数D．两个数相乘，积大于任何一个乘数例题例题44、若ab＜0，a＋b＜0，那么a、b必有（）A．符号相反 B．符号相反且绝对值相等C．符号相反且负数的绝对值大 D．符号相反且正数的绝对值大例题例题55、最大的负整数与最小的正整数的乘积是_________考点二：倒数考点一：用正数、负数表示具有相反意义的量考点二：倒数考点一：用正数、负数表示具有相反意义的量例题1例题11、的倒数为（）.A．B．C．D．例题例题22、﹣3的倒数是（）A．3B．﹣3C．D．例题例题33、如果一个数等于它的倒数，那么这个数一定是（）A、0B、1C、1D、1或1考点三：有理数乘法法则考点三：有理数乘法法则例题1例题11、下列各式的乘积符号为正的是（）A、；B、；C、；D、.例题例题22、若有2020个有理数相乘所得的积为0，那么这2020个数中（）A、最多有一个数为0B、至少有一个数是0C、恰有一个数为0D、均为0例题例题33、绝对值小于的所有数乘积为．例题例题44、计算下列各题：（1）； （2）−129（3）.考点四：有理数乘法的运算考点四：有理数乘法的运算意义的量例题1例题11、这是为了运算简便而使用（）A.乘法交换律B.乘法结合律C.乘法分配律D.乘法结合律和交换律例题例题22、用简便的方法计算下列各题:（1） （2）(+)×48（3）60×60×+60×． （4）991718×9考点五：绝对值、相反数、和倒数的综合运算考点五：绝对值、相反数、和倒数的综合运算例题1例题11、已知，两数在数轴上对应的点如右图所示，下列结论中正确的是（）．(A)（B）（C）（D）例题例题22、如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是，下列式子成立的是（）A、B、a+b＜0C、a+1b−1例题例题33、若|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，则a＋b＝．例题例题44、已知|a|=5,|b|=2,ab<0．求：3a+2b的值．解：∵|a|=5,∴a=_______．∵|b|=2,∴b=_______．∵ab<0,∴当a=_______时，b=_______,当a=_______时，b＝_______．∴3a+2b=_______或3a+2b=_______．∴3a+2b的值为_______．例题例题55、已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是2.求的值.考点六：有理数乘法的实际应用考点六：有理数乘法的实际应用考点六：有理数乘法的实际应用意义的量例题1例题11、某食品加工厂的冷库能使冷藏的食品每小时降温5℃，如果刚进库的牛肉温度是10℃，进库8小时后温度可达℃．2、某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如下表：与标准质量的差值（单位：g）520136袋数143453（1）样品的平均质量比标准质量多还是少？多或少几克？（2）每袋标准质量为450克，则抽样检测的总质量是多少克？考点七：探究规律题型考点七：探究规律题型用意义的量例题1例题11、找规律填上合适的数：2,4，8,16，（），64，……………例题例题22、观察下面的一列数，按其规律在横线上填上适当的数：，（）．例题例题33、观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有★（）个A．63B．57C．68D．60例题例题44、对于自然数a、b、c、d，定义表示运算ac－bd．（1）求的值；（2）已知=2，求bd的值．例题例题55、如图是一数值转换机，若输入的x为5，则输出的结果为.考点八：有理数除法法则（一）考点八：有理数除法法则（一）例题1例题1计算下列各题：（1）； （2）； （3）例题例题22、如果a+b＜0，a＞b，ab＜0，则（）A．a＜0，b＞0

B．|a|＜|b|

C．|a|＞|b|

D．a＜0，b＜0例题例题33、如果两个有理数的商是负数，那么这两个数一定（）A、都是正数B、都是负数C、符号相同D、符号不同考点九：求一个有理数的倒数考点九：求一个有理数的倒数例题1例题11、的倒数是（）A、6B、6C、D、例题例题22、若与互为倒数，则等于（）A.B.C.D.例题例题33、一个数的倒数等于它本身的数是（）A．1B．1C．±1D．±1和0例题例题44、=3的相反数是的倒数是－2例题例题55、的绝对值是；倒数是；相反数是．例题例题66、若的相反数是3，那么的倒数是．考点十：有理数除法法则考点十：有理数除法法则例题1例题11、例题下列各式中计算正确的有（）.（1）（―24）÷（―8）＝―3（2）（＋32）÷（―8）＝―4（3）（―）÷（―）＝1（4）（―）÷（―1.25）＝―3A.1个B.2个C.3个D.4个例题例题22、2×（4）+3÷（5）×考点十一：有理数的乘除混合运算例题例题1、计算：_________．2、－6÷×=．考点十二：有理数的加、减、乘、除混合运算例题1例题11、下列计算正确的是（）A、；B、；C、；D、.例题例题22、已知算式，使计算出来的结果最小，则应在□中填入的运算符号是（）A、＋B、－C、×D、÷例题例题33、根据有理数的运算律，下列等式正确的是（）A、；B、；C、；D、.例题例题44、2例题例题55、请阅读下面的材料：计算：解法一：原式===解法二：原式==解法三：原式的倒数为（==－10，故原式=（1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的．（2）请你用你认为简捷的解法计算：．考点十三：有理数乘除法在实际生活中的应用例题例题1、在一次测量中，小王与小张利用温差来测量山峰的高度，小王在山顶测得温度是－5℃，小张此时在山脚测得的温度是1℃，已知该地区高度每增100米，气温大约降低0．6℃，则这个山峰的高度大约是多少米?考点十四：除法、绝对值、倒数的综合应用例题1例题11、若，则的值是（）A．1B．1C．1或5D．例题例题22、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求的值。例题例题33、有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（）A、B、C、D、例题例题44、若为有理数，且，求的值.例题例题55、如果规定符号“※”的意义是：※=，则3※（3）的值等于.四、课堂运用四、课堂运用基础基础【练习1】1、下列四个运算中，结果最小的是（）A．1+（2）B．1（2）C．1×（2）D．1÷（2）2、下列说法中正确的有（）①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③互为相反数的数相乘，积一定为负；④两个有理数的积的绝对值，等于这两个有理数的绝对值的积．A.1个B.2个C.3个D.4个3、在数－3，－2，4，5中任取三个数相乘，所得的积中最大的是，最小的积是．4、若，且，那么必定有（）A、＞0，＜0；B、＜0，＞0；C、，异号且正数的绝对值较大；D、，异号且负数的绝对值较大.5、如果两个数的和为正数，积是负数，那么这两个数（）A、都是正数；B、一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大；C、都是负数；D、一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大.6、若互为相反数，则（）A、＜0B、＞0C、≤0D、≥07、下列说法正确的是（）A、两个数的积大于每一个因数；B、两个有理数的积的绝对值等于这两个数的绝对值的积；C、两个数的积是0，则这两个数都是0；D、一个数与它的相反数的积是负数.8、计算：（1）；（2）；（3）【练习2】1、a、b、c的符号符合下面哪种情况时，这三个数的乘积必为正数（）A、a、b、c同号B、b为负，a与c同号C、a为负，b与c异号D、c为正，a与b异号2、如果四个有理数的积是负数，那么其中负因数有多少个？（）A．3B．1C．0或2D．1或33、大于小于5的所有整数的积是()A、240B、C、0D、4、若有2021个有理数相乘所得的积为0，那么这2021个数中（）A、最多有一个数为0B、至少有一个数是0C、恰有一个数为0D、均为05、计算下列各题：（1）； （2）.【练习3】1、如果两个有理数在数轴上对应的点在原点的同侧，那么这两个有理数的商（）A、一定为正B、一定为负C、为零D、可能为正，也可能为负2、下列说法正确的是（）A．相反数等于本身的是、0B．绝对值等于本身的数是0。C．倒数等于本身的数是D．0除以任何数都得03、若，则若，则若，则若，则4、两个有理数的商是正数，则（）A、它们的和为正数B、它们的和为负数C、至少有一个为正数D、它们的积为正数5、（1）若且试确定的正负性.（2）根据（1）的解法填空：①若且则②若且则③若且则【练习4】1、计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；巩固巩固【练习1】计算下列各题：（1） （2）（3） （4）2、计算下列各题：（1） （2）3、计算下列各题：（1）；（2）；（3）；（4）；4、计算下列各题：5、学习有理数得乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49×（5），看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：小明：原式=×5==249；小军：原式=（49+）×（5）=49×（5）+×（5）=249；（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？（2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来；（3）用你认为最合适的方法计算：19×（8）拔高拔高【练习1】观察下面的