辽宁省鞍山市2024-2025学年高三上册12月联考数学教学质量检测试卷（含解析）

辽宁省鞍山市2024-2025学年高三上学期12月联考数学教学质量检测试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（

）A． B． C． D．2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（

）个奇数A．1012 B．1348 C．1350 D．13524．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（

）

A． B． C． D．5．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（

）A． B． C． D．7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．0,1二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．存在，使得10．在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（

）A．平面B．C．异面直线，所成的角为D．与平面所成角的余弦值为11．随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是.13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为.14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足，求证：．16.（本小题15分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.18.（本小题17分）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明.辽宁省鞍山市2024-2025学年高三上学期12月联考数学教学质量检测试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【详解】，故．故选：D．2．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】因为，且，所以.故选：A3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（

）个奇数A．1012 B．1348 C．1350 D．1352【正确答案】C【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C4．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（

）

A． B． C． D．【正确答案】B【详解】在中，为的中点，为的中点，则，所以，.故选：B5．已知，，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【详解】由已知得，比较和的大小，其中，因为，所以，又因为在0,+∞单调递增，所以，即；比较和的大小，其中，即，因为在0,+∞上单调递增，所以，即；比较，的大小，因为，，所以，即，故选.6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.(1)4次均不下雨，概率为：；(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；概率为：；(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为：；(5)4次均下雨，概率为：；两天都不淋雨的概率为：，所以至少有一天淋雨的概率为.故选：D.7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【详解】由可知圆心为，半径，由题意，所以当时，取最小值，由点到直线的距离公式可得，此时，过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，由于与关于直线对称，，与关于直线对称，因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，所以的最小值为.故选：C

8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．0,1【正确答案】B【详解】因为得，即所以点在的角平分线上，设的中点为

因为，所以点在线段上，不妨设，所以易知所以因为所以因为所以故选：B二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A．若且，则B．若且，则C．若且，则D．存在，使得【正确答案】AB【详解】解：对于A，因为，所以，所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确；对于B，因为，所以，即与是相同的，所以，即B正确；对于C，因为，所以，所以，即C错误；对于D，由于，而，故，即D错误．故选：AB．10．在菱形中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（

）A．平面B．C．异面直线，所成的角为D．与平面所成角的余弦值为【正确答案】AC【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.对于A，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A正确.对于B，因为，，所以，所以DP，EC不垂直，故B错误.对于C，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C正确.对于D，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D错误.故选：AC.11．随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【正确答案】CD【详解】由已知，，因为，所以，所以，所以，故错误；因为，故错误；，故正确；，又，，，所以，故正确.故选.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是.【正确答案】【详解】因为数列是递增数列，当时，，可得，当时，，即，解得，又，所以，解得或.综上，实数的取值范围是.故答案为.13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为.【正确答案】【详解】，故，因为在区间0,1上的值域为，且，故必有，如图所示，则故故14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是．【正确答案】【详解】，，所以，由题意可得，所以，又因为，所以，则.故；.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足，求证：．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）在，中，，令，可得，∴．（2），①当时，，②可得，∴，∴是公差为的等差数列，∴，∴．（3）证明：由（2）可得，∴，∴．16.（本小题15分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.【正确答案】(1)(2)，最小值为【详解】（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因为，所以，所以，因为，所以；（2）因为，由（1）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因为，所以，当时，取得最小值，此时，即，所以当时，的面积取到最小值，最小值为.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)(3).【详解】（1）取的中点，连结，由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，则，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为n=x,y,z则，即，取，则，设平面的一个法向量为，由，取，得，所以，因为，故平面与平面所成角的正弦值为.（3）点是内一动点且，则点在以为直径的圆上，当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时，，设直线与直线所成角为，所以，所以直线与直线所成角得余弦值为.18.（本小题17分）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.【正确答案】(1)(2)（i）或；（ii）证明见解析【详解】（1）由题意可知，，因为，所以.因为，，得，又因为在双曲线上，则，所以.所以双曲线C的方程为.（2）（i）由题意知直线l的方程为，，.联立，化简得，因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，即满足：4m2所以或.（ii），，则，直线的方程为，直线的方程为.联立直线与