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分块矩阵及其应用目录1分块矩阵的研究意义和发展历史 [8]探究线性变换的矩阵在什么条件下会一个准是对角矩阵；线性变换的矩阵是准对角矩阵时，又会有怎样的结论？定理7.1是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换，是线性空间V的一组基.在一组基下的矩阵是准对角型矩阵，则这个线性空间可以分解成的不变子空间的直和，且上的线性变换在基下的矩阵是A1，上的线性变换在基下的矩阵是A2，…，上的线性变换在基下的矩阵是As.反之也成立，即若线性空间可以分解为其上线性变换的不变子空间的直和，则在某组基下的矩阵是准对角矩阵.证明线性空间V是数域P上的n维线性空间，是线性空间V上的一个线性变换，，且W是的不变子空间，取是W的一组基，将其扩充为V的一组基.(其中*代表某元素，A1是s×s阶矩阵，A2是n-s×n-s阶矩阵，A3是s×n-s阶阵.）且由于W是的不变子空间，所以在基下的矩阵是A1.反之，,A1是s×s矩阵，则是的不变子空间.若（其中*元素从第i行到第j行，从第i列到第j列.）则是的不变子空间.若（其中A1是k1阶方阵，A2是k2阶方阵，…，As是ks阶方阵.）则且都是的不变子空间.例7.1若，则都是的不变子空间，且，且是上的线性变换，特别地是上的数乘变换.例7.2是数域P上n维线性空间V上的一个线性变换，，其中且，是的不变子空间.将扩充为V的一组基，则，其中0为n-1维列向量，A2为n-1×n-1阶方阵.例7.3已知是线性空间V上的线性变换，是V的一组基，若则即是的不变子空间，也是的不变子空间，且.7.2相似于准对角矩阵的矩阵的n次方的求法若矩阵A与准对角矩阵B相似，即存在矩阵X，使得成立，所以，这样，计算An的问题就转化为计算Bn的问题，而矩阵B是准对角矩阵，Bn比An便于计算得多.例7.4已知矩阵，计算An.存在矩阵，，，使得记，其中，则，则参考文献沈雷,孙振凯,马庆文.分块矩阵在线性代数中的应用[J].山东农业工程学院学报,2020,37(12):35-37.吴定.从分块矩阵的乘法谈矩阵的分块[J].贵州商专学报,1992,(04):12-17.廖中行.初等变换在分块矩阵乘法中的应用[J].四川教育学院学报,2002,(05):61-68.鲁礼勇.分块矩阵的初等变换及其应用[J].河西学院学报,2004,(02):4-7.陈文华.分块矩阵的初等变换及其应用[J].大理学院学报,2009,8(08):7-11.李守金,郭秀刚,牟树杰.分块矩阵的初等变换在行列式中的应用[J].中国教育技术装备,2009,(11):91.王从徐.分块矩阵在行列式及逆矩阵计算中的应用研究[J].吉林化工学院学报,2020,37(05):65-69.北京大学数学系前代数小组.高等代数

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