2019年全国高中数学联赛甘肃省预赛及解析

2019年全国高中数学联赛甘肃省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分一、填空题1.已知实数a≥−2，且A=x−2≤x≤a，B=yy=2x+3,x∈A，C=zz=x22.△ABC的三边分别为a、b、c，点O为△ABC的外心，已知，那么的取值范围是____________.3.已知，则a、b、c的大小关系是____________.4.若方程有实数解，则实数a的取值范围是____________.5.在数列{an}中，，设Sn为数列{an}的前n项和，则的值为____________.6.在复平面内，复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,7.已知函数，若，且，则的最小值是_____.8.椭圆的左,右焦点分别为,,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于,两点,则△的内切圆面积最大值是________.9.已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为____________.10.在平面直角坐标系中定义点Px1,若Cx,y到点A1,3、B6,9的交通距离相等，其中，实数x、y满足0≤x≤10、0≤y≤10，则所有满足条件的点评卷人得分二、解答题11.已知向量，，设函数．（1）若，，求的值；（2）在△中，角，，的对边分别是且满足求的取值范围．12.2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.（1）求该学生进入省队的概率.（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望.13.已知数列an中，a1（1）求数列an（2）证明：对一切n∈N+14.已知三棱锥P－ABC的平面展开图中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P－ABC中：（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M为棱PA上一点且，求二面角P－BC－M的余弦值.15.易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.16.已知函数fx=x-（1）若fx=x-1x-（2）若对于任意k∈-∞,1，直线y=kx+b与曲线y=fx都有唯一公共点，求实数b

参考答案1.1【解析】1.由题意知B=-要使C⊆B，只需集合C中的最大元素在集合B中.故-22≤2a+3,2.【解析】2.延长AO交△ABC的外接圆于D，得到.因为，所以b∈(0，2)，故.故答案为：．3.a<c<b【解析】3.因为a<1，，据此可得：，由对数函数的单调性可得：，所以a<c<b.故答案为：a<c<b．4.[0，2]【解析】4.由题意得，把右边看作点到直线x－y+1=0的距离.由于单位圆上半部分的点，到该直线距离的取值范围是，所以实数a的取值范围是[0，2].故答案为：[0，2]．5.3【解析】5.当n为偶数时，，故.当n奇数时，，故.故.故答案为：3．6.0,4【解析】6.因为|z1|=|因为|z1+从而-7.【解析】7.根据分段函数在两段上都单调,可得,且,所以,然后构造函数,利用导数求得最小值即可.因为函数在上递增,在上也递增,且时,,所以,所以,,所以,即,所以,,令,则,当时,,当时,,所以在上递减,在上递增,所以时,取得最小值.即的最小值是:.故答案为:.8.【解析】8.令直线：，与椭圆方程联立消去得，可设，则，．可知，又，故．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为．故本题应填．9.【解析】9.解法一：设，可解得，从而，当且仅当时取等号.故答案为：．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：，，所以，当且仅当时取等号.故答案为：．10.5【解析】10.由条件得x-1+当y≥9时，x-1+y-3=即x-1+6=当3≤y≤9时，x-1+y-3=即2y-12=x-6当x≤1时，y=8.5，线段长为1.当1≤x≤6时，x+y=9.5，线段长为52当x≥6时，y=3.5，线段长为4.当y≤3时，x-1+3-y=即x-1=6+综上，点C的轨迹构成的线段的长之和为1+5211.（1）；（2）【解析】11.（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数的解析式为，由，求得，可得，求得结果．（2）在中，由条件可得，故，，，由此求得的取值范围．解：（1）函数．∵，∴．又∵，∴，即．（2）在中，由，可得，∴，∴，即，∴，∴，∴，又，∴．12.（1）；（2）分布列详见解析，.【解析】12.试题分析：(1)由题意结合对立事件概率公式可得：该学生进入省队的概率为；(2)由题意可知的可能取值为2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计算可得的数学期望为.试题解析：（1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，则.∴.（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2,3,4,5.，，..故的分布列为：.13.（1）an【解析】13.（1）由已知，对n≥2有1上式两边同除以n并整理得1则k=2即1故1因此，a又当n=1时也成立，故a（2）当k≥2时，有a所以，当n≥2时，有k=1na=1+又当n=1时，a故对一切n∈N+14.（1）见解析（2）【解析】14.（1）如图①，设AC的中点为O，连结.由题意，得，PO=2，.因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.又因为在△POB中，PO=2，OB=2，PB=，，所以PO⊥OB.因为AC∩OB=O，AC，OB⊆平面ABC，所以PO⊥平面ABC.又因为PO⊆平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.（2）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，所以.于是以OC、OB、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则，，，.设平面MBC的法向量为，则由得，令，则，即.设平面PBC的法向量为，由得，令x2=1，则，即..由图可知，二面角P－BC－M的余弦值为.15.（1）（2）是定值，.【解析】15.（1）由题意可知：2b=4，b=2，，双曲线的离心率，则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则a=.所以椭圆的标准方程：.（2）是定值，证明如下：如图，设直线MN的方程为.联立消去y整理得.设，则，.将，代入上式得，即.16.（I）见解析（II）b≥−【解析】16.（1）由题x＞0，f'(x)=1+1x2-1x，由f（x）在x=x1，x2（x由韦达定理得1x1+1x2=1，由基本不等式得x1+x2=x1⋅x（2）由fx=kx+b得k=x-利用反证法可证明证明hx由对任意k∈-∞,1，hx=k只有一个解，得hx为0,+∞上的递增函数，∴h'x=（I）f令