中考数学一轮复习考点精讲与巩固练习专题05 方程与不等式概念与相关计算【考点精讲】（原卷版）

专题05专题05方程与不等式概念与相关计算知识导航知识导航知识精讲知识精讲考点1：等式与不等式性质1．等式的基本性质.性质①：若a=b,则a±m=b±m;性质②：若a=b,则am=bm;若a=b,则SKIPIF1<0(d≠0).2．不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.（2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.（3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.【例1】宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（）A．左盘上加2克砝码 B．右盘上加2克砝码 C．左盘上加5克砝码 D．右盘上加5克砝码【例2】（2021·湖南常德市）若SKIPIF1<0，下列不等式不一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法技巧方法技巧1．运用等式的性质的注意事项（1）等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.（3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母.2．运用不等式的性质注意以下要点：（1）“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.（2）不等式的基本性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变;②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变;③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.针对训练针对训练1．（2021·山东临沂市）已知SKIPIF1<0，下列结论：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；④若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列判断错误的是（）A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么acC．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b考点2：一次方程（组）概念与解法1．一元一次方程的有关概念（1）只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax+b=0(a,b为常数,且a≠0).（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根.2．一元一次方程解法的一般步骤:①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.3．二元一次方程组的定义:形如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是4．二元一次方程组的解法:①用代入法解二元一次方程组的一般步骤:a.从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;b.将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;c.解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;d.将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.②用加减法解二元一次方程组的一般步骤:a.方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;b.把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;c.解这个一元一次方程;d.将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.【例3】（2021·浙江温州市）解方程SKIPIF1<0，以下去括号正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例4】（2021·天津）方程组SKIPIF1<0的解是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0方法技巧方法技巧1．解一元一次方程的基本步骤.①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.2．解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法针对训练针对训练1．（2021·广东）二元一次方程组SKIPIF1<0的解为___．2．（2021·重庆）方程SKIPIF1<0的解是__________．考点3：分式方程概念与解法1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.（2）常用方法：①去分母；②换元法.（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.【例5】（2021·广东）方程SKIPIF1<0的解为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【例6】（2021·江苏泰州市）解方程：SKIPIF1<0+1＝SKIPIF1<0．方法技巧方法技巧解分式方程的有关要点（1）解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程，再求解.（2）解分式方程时，方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.（3）分式方程的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.针对训练针对训练1．（2021·湖北黄石市）分式方程的解是______．2．（2021·江苏南通市）解方程SKIPIF1<0．考点4：一元二次方程概念与解法1．一元二次方程（1）概念:只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次,且系数不为0的整式方程,叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.2．一元二次方程的解法（1）基本思路:降次.（2）方法:①直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是SKIPIF1<0;

②配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成SKIPIF1<0的形式,当b2-4ac≥0时,用直接开平方法求解;

③公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为SKIPIF1<0;

④因式分解法:将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解.【例7】（2021·浙江丽水市）用配方法解方程时，配方结果正确的是（）A． B． C． D．【例8】（2021·湖北十堰市）对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为________．方法技巧方法技巧解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤。注意以下要点：（1）解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种；（2）求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重点在于掌握求根公式和因式分解的方法.针对训练针对训练1．（2021·山东枣庄市）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的两个根，则SKIPIF1<0的值为______．考点5：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac.（1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;

（2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;

（3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.【例9】（2021·内蒙古通辽市）关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【例10】（2021·北京）已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．针对训练针对训练1．（2021·河南中考真题）若方程SKIPIF1<0没有实数根，则SKIPIF1<0的值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·湖北黄石市·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．考点6：不等式（组）概念与解法1．解不等式求不等式解集的过程称为解不等式.2．解一元一次不等式的一般步骤①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤未知数的系数化为1.在①至⑤步的变形中,一定要注意不等号的方向是否需要改变.3．一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的定义:一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.（2）一元一次不等式组的解集:组成一元一次不等式组的各个不等式的解的公共部分,称为这个一元一次不等式组的解集.（3）解一元一次不等式组:先求出各个不等式的解,再确定其公共部分,即为原不等式组的解集.（4）借助数轴,熟练掌握以下四种基本不等式组的解集.不等式组(a<b)解集图示口诀SKIPIF1<0x≥b大大取大SKIPIF1<0x≤a小小取小SKIPIF1<0a≤x≤b大小小大中间找SKIPIF1<0无解大大小小解不了【例11】（2021·四川宜宾市）不等式2x﹣1＞1的解集是______．【例12】（2021·四川遂宁市）不等式组SKIPIF1<0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．方法技巧方法技巧（1）在数轴上表示不等式的解集，注意“>”“≥”向右画，“<”“≤”向左画；（2）在表示解集时“≥”“≤”要用实心圆点表示，“>”“<”要用空心圆点表示.（3）取不等式组中各不等式解集的公共部分的规则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.针对训练针对训练1．（2021·重庆中考真题）不等式SKIPIF1<0的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．2．（2021·湖南邵阳市·中考真题）不等式组SKIPIF1<0的整数解的和为（）A．1 B．0 C．-1 D．-23．（2021·江苏扬州市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点SKIPIF1<0在第二象限，则整数m的值为_________．考点7：含参不等式【例13】（2021·四川眉山市）若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0只有3个正整数解，则SKIPIF1<0的取值范围是______．【例14】（2021·重庆）关于x的分式方程SKIPIF1<0的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组SKIPIF1<0有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0针对训练针对训练1．（2021·山东菏泽市·中考真题）如果不等式组SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）已知关于x的不等式组SKIPIF1<0无实数解，则a的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考点8：含参方程