中考数学一轮考点复习精讲精练专题16 三角形相似【考点精讲】（解析版）

专题16三角形相似比例的基本性质（1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比.（2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.（3）若a∶b=b∶c或SKIPIF1<0,则b叫做a,c的比例中项.（4）比例的基本性质:SKIPIF1<0⇔ad=bc.（5）合比性质:SKIPIF1<0.（6）等比性质:SKIPIF1<0=…=SKIPIF1<0(b+d+…+n≠0)⇒SKIPIF1<0.（7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=SKIPIF1<0AB≈0.618AB，BC=SKIPIF1<0AB，一条线段有2个黄金分割点.（8）平行线分线段成比例定理:①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.相似三角形（1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

（2）似三角形的判定定理①相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似;②相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似;③相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.kj（3）性质:①相似三角形的对应角相等;

②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;

③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.

相似多边形（1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.（2）性质:①相似多边形的对应角相等、对应边成比例.②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.图形的位似（1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比.（2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方.

【考点1】比例的有关概念和性质【例1】（比例的性质）已知a，b，c是非零实数，且SKIPIF1<0，其中a＋b＋c≠0，则k的值为________．【答案】SKIPIF1<0##0.5【分析】先将原式写成整式的形式，然后再求解即可．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当a＋b＋c≠0时，2k=1，即k＝SKIPIF1<0．故填：SKIPIF1<0．【例2】（成比例线段）（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长是（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】过点SKIPIF1<0作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根据题意得SKIPIF1<0，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：过点SKIPIF1<0作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根据题意得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故选：C1．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.1 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故选：D2．（2020成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．SKIPIF1<0【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解析】∵直线l1∥l2∥l3，∴SKIPIF1<0，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴SKIPIF1<0，∴DE=SKIPIF1<0，故选：D．3．如图，直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0被SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所截，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（）A.2 B.3 C.4 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可．【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3，

∴SKIPIF1<0.

∵AB=5，BC=6，EF=4，

∴SKIPIF1<0.∴DE=SKIPIF1<0

故选：D．4．已知SKIPIF1<0，那么下列比例式中成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0，根据比例的性质，即可求得答案．【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选B．5．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】先把式子SKIPIF1<0变成SKIPIF1<0，再代值计算即可得出答案．【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案是：SKIPIF1<0【考点2】黄金分割【例3】（2022·湖南衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为SKIPIF1<0的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（

）（结果精确到SKIPIF1<0．参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设雕像的下部高为xm，由黄金分割的定义得SKIPIF1<0求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为xm，则上部长为（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m，∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0，即该雕像的下部设计高度约是1.24m，故选：B．黄金分割的概念和性质：若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=SKIPIF1<0AB≈0.618AB，BC=SKIPIF1<0AB，一条线段有2个黄金分割点.1．（2022·山西）神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（

）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割【答案】D【分析】根据黄金分割的定义即可求解．【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D2．（2021·四川巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足SKIPIF1<0，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对【答案】A【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，则SKIPIF1<0，即可求解．【解析】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜PA，PB＝x，则PA＝20−x，

∴SKIPIF1<0，

∴（20−x）2＝20x，

故选：A．3．（2022·陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做SKIPIF1<0将矩形窗框SKIPIF1<0分为上下两部分，其中E为边SKIPIF1<0的黄金分割点，即SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0为2米，则线段SKIPIF1<0的长为______米．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得SKIPIF1<0，代入数值得出答案．【详解】∵点E是AB的黄金分割点，∴SKIPIF1<0．∵AB=2米，∴SKIPIF1<0米．故答案为：（SKIPIF1<0）．4．已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝_____cm．（结果保留根号）【答案】5SKIPIF1<0﹣5【分析】根据黄金比值是SKIPIF1<0列式计算即可．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝SKIPIF1<0AB＝（5SKIPIF1<0﹣5）cm，故答案为：5SKIPIF1<0﹣5．【考点3】相似图形的判定与性质【例4】（三角形相似的判定）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A. B.C. D.【答案】C【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，C、两三角形对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，故选：C．【例5】（补充条件使三角形相似的性质）如图，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边SKIPIF1<0上一点，添加一个条件后，仍不能使SKIPIF1<0是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．【详解】解：A、当SKIPIF1<0时，再由SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，故此选项不合题意；B、当SKIPIF1<0时，再由SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，故此选项不合题意；C、当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，可得出SKIPIF1<0，故此选项不合题意；D、当SKIPIF1<0时，无法得出SKIPIF1<0，故此选项符合题意．故选：D．【例6】（三角形相似的性质求周长）如图，在SKIPIF1<0△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CDSKIPIF1<0AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（）A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5【答案】A【详解】∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，∴△BCD∽△BAC；①∴∠BCD=∠A=30°，在Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；故选：A【例7】（三角形相似的性质求面积）（2022·广西）已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：C．【例8】（三角形相似的性质求线段长度）（2022·黑龙江哈尔滨）如图，SKIPIF1<0相交于点E，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE的长，即可求得BD的长．【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：C．判定三角形相似的几种思路方法（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是判定三角形相似的一种基本方法，当已知条件中有平行线时可考虑采用此方法.这里，相似的基本图形可分别记为“A”型（如图①）和“X”型（如图②），在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.（2）三边法：三组对应边成比例的两个三角形相似.若已知条件中给出三组边的数量关系时，可考虑证明三边成比例.（3）两边及其夹角法：两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似.若已知条件中给出一对等角时，可考虑找夹边成比例；反之，若已知夹边成比例，可考虑找夹角相等.（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.若已知条件中给出一对等角时，可考虑再找另一对等角.1．如图，已知SKIPIF1<0，添加下列一个条件，不能使SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．【详解】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，若∠B=∠D或∠E=∠C或SKIPIF1<0，则有△ADE∽△ABC．故选：A．2．（2022·四川雅安）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0＝（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先求解SKIPIF1<0再证明SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0【详解】解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0DE∥BC，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故选D3．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点E，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【答案】D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明SKIPIF1<0，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴四边形DCBM为平行四边形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：D．4．如图，AB和CD表示两根直立于地面的柱子，AC和BD表示起固定作用的两根钢筋，AC与BD相交于点M，已知AB=8m，CD=12m，则点M离地面的高度MH为()A.4m B.SKIPIF1<0 C.5m D.SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据已知易得△CMH∽△CAB，△BMH∽△BDC，利用对应边成比例可得比例式，将比例式变形整理，把相关数值代入求解即可.【详解】解：由题意得，AB∥MH∥CD，∴△CMH∽△CAB，△BMH∽△BDC，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴①+②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵AB=8，CD=12，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴MH=SKIPIF1<0，故选：B.5．（2022·广西贺州）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到SKIPIF1<0，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：B．6．如图，已知点D为SKIPIF1<0ABC边AB上一点，AD：AB＝2：3，过点D作BC的平行线交AC于点E，若AE＝6，则EC的长度是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】由在△ABC中，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AC的长，然后AC-AE即可求得答案．【详解】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴SKIPIF1<0，∵AD：AB=2：3，AE=6，∴AC=SKIPIF1<0AE=9,∴EC=AC-AE=9-6=3．故选C．7．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树SKIPIF1<0的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点SKIPIF1<0处，将镜子放在点SKIPIF1<0处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点SKIPIF1<0处，将镜子放在点SKIPIF1<0处时，刚好看到在树的顶端（点SKIPIF1<0在同一条直线上），若测得SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树SKIPIF1<0的高度．【答案】9.6米【分析】设SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0米，根据相似三角形的性质得到SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，进而列出方程，解方程即可得到结论．【详解】解：设SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0米，则SKIPIF1<0米，由题意，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，答：大树SKIPIF1<0的高度为9.6米．【考点4】位似图形【例9】（位似的性质）（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形SKIPIF1<0的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的外接圆的周长为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出SKIPIF1<0，根据位似比求出SKIPIF1<0，周长即可得出；【详解】解：SKIPIF1<0正方形ABCD的面积为4，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所求周长SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．【例10】（位似作图）如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；（2）分别写出A，B两点的对应点A′，B′的坐标．【答案】（1）见详解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.【分析】(1)把B、A的横纵坐标都乘以−2得到B′、A′的坐标，然后描点即可；

(2)分别求出点B、A的横坐标与纵坐标的2倍的相反数即可．【详解】解：(1)如图，△OBꞌAꞌ为所作；

(2)∵SKIPIF1<0∴A，B两点的对应点A′，B′的坐标为A′（-6,2），B′（-4，-2）.如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，图形甲与图形乙是位似图形，SKIPIF1<0是位似中心，位似比为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对应点分别为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（）A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，SKIPIF1<0是位似中心，位似比为SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故答案为：B．2．（2022·重庆）如图，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周长之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9【答案】A【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】解：∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0位似∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的位似比是1:2∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的相似比是1:2∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周长比是1:2故选：A．3．（2020重庆）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）A．5 B．2 C．4 D．2SKIPIF1<0【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．【解析】∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A（1，2），C（3，1），∴D（2，4），F（6，2），∴DF=SKIPIF1<0．故选：D．4．（2022·四川成都）如图，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是以点SKIPIF1<0为位似中心的位似图形．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周长比是_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据位似图形的性质，得到SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0