人教八年级数学上册轴对称《最短路径问题》示范教学课件

13.4课程学习最短路径问题人教版八年级数学上册教学目标【教学目标】1.知识与技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力。3.情感态度和价值观体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。【重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。【难点】探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。回顾复习

213路线②最短两点之间，线段最短.回顾复习

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111111垂线段最短新知探究问题1

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？BAlC考点一

将军饮马问题新知探究如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点C，使得CA+CB最小。∙∙ABl解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依据：两点之间，线段最短..C那A、B两点在直线l的同一侧呢？如何确定点C呢？新知探究∙∙ABl你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？新知探究如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的值最小？∙B′容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.∙∙ABlC∙你能证明这个结论吗？新知探究证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.

由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，

则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.

在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，

所以AC+BC<AC′+B′C′.

由点C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故点C的位置符合要求.l∙∙AB∙B′CC′归纳总结最短路径问题

归纳总结最短路径问题：两点之间，线段最短依据利用轴对称实现线段的转移关键需要注意的细节：

区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴利用图形的轴对称性，会简化过程.针对训练

针对训练2.如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？解：如图,作点B关于河边a的对称点B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在的位置为所求的自来水厂的位置.ABaB′P针对训练3.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（

）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD新知探究如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）ABab∙∙MN考点二

造桥选址问题新知探究

这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？

如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ABab∙∙MN新知探究ABMNab（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．问题可转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？新知探究

（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB最小？ABMNabA′新知探究

（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．ABMNabA′你能证明此时AM＋MN＋NB最小吗？新知探究

在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．ABMNabA′M′N′新知探究证明：在△A′N′B中，

∵A′B＜A′N′＋BN′，

∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．

∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．

即AM＋MN＋BN最小．N′ABMNabA′M′归纳总结1.实际问题用数学语言表达.2.利用平移，实现线段的转移.3.把已知问题转化成容易解决的问题.4.用符号语言进行推理和表达.归纳总结

最短路径问题造桥选址问题练习归纳总结化归思想.利用轴对称、平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题.两点之间，线段最短.依据方法思想针对训练

针对训练2.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B针对训练解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即为桥.理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′