2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市丰台区第十二中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本大题共12小题，共60分。1.在四面体PABC中，PB−AB−CA=A.PC B.AP C.AB D.AC2.圆C:x2+2x+y2−1=0A.(1,0) B.(−1,0) C.(2,0) D.(−2,0)3.设P是椭圆x25+y23A.22 B.23 C.4.设直线l的方向向量为a，两个不同的平面α,β的法向量分别为n,m，则下列说法中错误的是(

)A.若n⊥m，则α⊥β B.若n//m，则α//β

C.若a//n，则l⊥α5.若直线l与椭圆x26+y23=1交于点A，B，线段AB的中点为A.12 B.−12 C.26.已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=1,−3，记P的轨迹为E，则(

)A.E是一个半径为5的圆 B.E是一条与l相交的直线

C.E上的点到l的距离均为5 D.7.已知空间向量a,b,c满足a+b+A.12 B.22 C.8.设点F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y22=1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线CA.y=±3x B.y=±339.由直线y=x+1上的点向圆(x−3)2+(y+2)A.17 B.32 C.10.已知直线l1:mx−y=0m∈R过定点A，直线l2:x+my+4−2m=0过定点B,l1与l2A.10 B.25 C.511.如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，从F2发出的光线经过图2中的A，A.52 B.173 C.12.如图，已知菱形ABCD的边长为2，且∠A=60∘,E,F分别为棱AB,DC中点.将▵BCF和▵ADE分别沿BF,DE折叠，若满足AC//平面DEBF，则线段AC的取值范围为(

)

A.[3,23) B.[1,2二、填空题：本大题共6小题，共30分。13.已知直线l的一个方向向量为−1,3，则直线l的斜率为

．14.已知双曲线C的一个焦点F1(2,0)，渐近线为y=±3x，则C15.已知a=(1,2,2),b=(3,1,−1),c=(−1,3,n)，且a,b16.若方程x2m+2+y24−m=1表示的曲线为双曲线，则实数m的取值范围是

17.在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA，VB，VC两两垂直，VA=VB=VC=1(单位：dm)，小明同学计划通过侧面VAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线VB和AC，则该截面面积(单位：dm2)的最大值是

．

18.椭圆E:x24+y23=1，左焦点是F，过F的直线与椭圆交于A,B两点(不同于长轴的端点)①直线PA与直线PB的斜率的和为0；②△PAF与▵PBF的面积之比为|PA|③点A到直线x=−4的距离等于12|AF|；④三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.已知空间向量a=x,4,1，b=−2,y,−1，c=3,−2,z(1)求向量a，b，c的坐标;(2)求a+c与b20.如图，在四棱锥P−OABC中，PO⊥平面OABC，AB//OC，AC=5，OP=OC=2，OA=AB=1，E为PC中点，F在棱PB上(1)求证：平面OPC⊥平面OPA；(2)求B到平面OAE的距离；(3)F在平面OAE内，求线段PF的长．21.已知圆C的半径为3，圆心C在射线y=−2xx≥0上，直线x+y−1=0被圆C截得的弦长为3(1)求圆C方程;(2)过点P(2,0)的直线l与圆C交于M、N两点，且▵OMN的面积是6(O为坐标原点)，求直线l的方程．22.已知椭圆E:x2a2+y2b(1)求椭圆E的方程和离心率；(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆于C,D两点，设直线CD,BC,BD的斜率分别为k,k1,k2，若23.已知集合A中至少有三个元素，如果∃x,y,z∈A，同时满足①x<y<z；②x+y>z;③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn={1,2,3,⋯,2n}(n∈N∗,n≥4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于(1)若集合A1={2,4,6,8},A2={1,2,3,5}(2)若集合B={3,4,a}具有性质P，证明：集合B是集合S4(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn的“期待子集”．

参考答案1.A

2.B

3.C

4.D

5.B

6.C

7.D

8.D

9.A

10.C

11.B

12.A

13.−3

14.x215.5

16.−∞,−2∪4,+∞

17.218.①②④

19.(1)因为a=x,4,1，b=所以x−2=4y=所以a=2,4,1，因为c=3,−2,z，所以−2×3+−4×−2所以z=2，所以c=(2)a+c所以a+c⋅b+设a+c与b+所以cosθ=所以a+c与b+

20.(1)因为PO⊥平面OABC，OC⊂平面OABC，所以PO⊥OC，因为OC=2，OA=1，AC=所以OC2+O又PO∩OA=O，PO⊂平面OPA，OA⊂平面OPA，所以OC⊥平面OPA，又OC⊂平面OPC，所以平面OPC⊥平面OPA；(2)因为PO⊥平面OABC，OA⊥OC，所以以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B1,1,0，EOA=1,0,0，OE=设平面OAE的法向量为n=所以n⋅OA=x=0n⋅OE=y+z=0，令y=1所以B到平面OAE的距离d=n(3)设PF=λP0,0,2，OP=0,0,2所以OF=因为平面OAE的法向量为n=0,1,−1，F在平面所以n⊥OF，所以n⋅OF=0所以PF=23所以线段PF的长为2

21.解：(Ⅰ)设圆心C(a,−2a)(a≥0)，则圆的方程为(x−a)2∴32=2∴圆的方程为(x−2)(Ⅱ)①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=2，原点到直线的距离为d=2，令x=2代入圆方程得y=−1或−7，∴|EF|=6，∴S△OMN=12②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，圆心C(2,−4)到直线l的距离d=4|MN|=2原点O到直线l的距离d=|2k|整理，得25k2+9=0综上所述，所求的直线的方程为x=2．

22.(1)由题可知，{所以椭圆E的方程为x24+(2)由(1)可知B0,1

设直线CD:x=my+1,Cx联立x24+显然Δ>0，得y1易知k=1所以k=2m因为k1+k所以k=3．

23.(1)集合A1={2,4,6,8}具有性质取x=4,y=6,z=8，满足x<y<z，x+y=10>8=z，x+y+z=18是偶数，因此集合A1={2,4,6,8}具有性质集合A2={1,2,3,5}不具有性质若取x=1,y=3,z=5，x+y+z=9为奇数，不满足条件③；若取x=1,y=2,z=3或x=1,y=2,z=5或x=2,y=3,z=5，均有x+y≤z，不满足条件②，所以A2={1,2,3,5}不具有性质(2)由3+4+a是偶数，得实数a是奇数，当a<3<4时，由a+3>4，得1<a<3，即a=2，因为2+3+4=9不是偶数，所以a=2不合题意．当3<4<a时，由3+4>a，得4<a<7，即a=5，或a=6，因为3+4+5=12是偶数，3+4+6=13不是偶数，所以a=6不合题意．所以集合B={3,4,5}，令a+b=3,b+c=4,c+a=5，解得a=2,b=1,c=3，显然a,b,c∈S4={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以集合B(3)先证充分性：当集合M是集合Sn的“期待子集”时，存在三个互不相同的a,b,c使得a+b,b+c,c+a均属于M，不妨设a<b<c，令x=a+b，y=a+c，z=b+c，则x<y<z，即满足条件①，因为x+y−z=(a+b)+(a+c)−(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即满足条件②，因为x+y+z=2(a+b+c)，所以x+y+z为偶数，即满足条件③，所以当集合M是集合Sn的“期待子集”时，集合M具有性质P.再证必要性：当集合M具有性质P，则M中存在x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，令a=x+y+