专题4.4 与整式有关的规律探索【八大题型】（解析版）

专题4.4与整式有关的规律探索【八大题型】

【人教版2024】

【题型1单项式中的规律探索】...............................................................................................................................1

【题型2多项式中的规律探索】...............................................................................................................................3

【题型3图形中的规律探索】...................................................................................................................................5

【题型4表格中的规律探索】...................................................................................................................................8

【题型5等式中的规律探索】.................................................................................................................................10

【题型6程序图中的规律探索】.............................................................................................................................13

【题型7新定义中的规律探索】.............................................................................................................................17

【题型8动态中的规律探索】.................................................................................................................................20

【题型1单项式中的规律探索】

为奇数

【例1】（23-24七年级·北京海淀·期中）由于（﹣1）n＝，所以我们通常把（﹣1）n称为符

为偶数

−1�

号系数．1�

（1）观察下列单项式：﹣，…按此规律，第5个单项式是，第n个单项式是．

1223344

3�,15�,−35�,63�

（2）的值为；

�+���−�

2+−12

（3）你根据（2）写出一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子．

【答案】（），；（）或；（）（﹣）．

1�2ba31+1n

5�−�

2

−994�−1

【分析】（1）观察发现，奇数项为负，偶数项为正，系数的分子与项数相同，系数的分母的规律是4n2﹣1，

字母x的指数与项数相同，据此可解；

（2）分n为奇数和n为偶数两种情况来计算即可；

（3）取指数为n的项的底数与不含n的项互为相反数，则不难得出答案．

【详解】（1）观察下列单项式：，…按此规律，第5个单项式是，第n个单项式

12233445

−3�,15�,−35�,63�−99

是

�

�(−�)

2

4�−1

第1页共23页.

故答案为：，．

�

5�(−�)

2

−994�−1

（2）n为奇数时，，

�+���−��+��−�

2+−12=2−2=�

n为偶数时，.

�+���−��+��−�

2+−12=2+2=�

故答案为：b或a．

（3）可以这样写一个当n为偶数时值为2，当n为奇数时值为0的式子：

1+（﹣1）n．

故答案为：1+（﹣1）n．

【点睛】此题考查单项式规律的探究，观察并发现数字间的规律是解题的关键.

【变式】（七年级云南红河期末）按一定规律排列的单项式：，则第个

1-123-24··46810

2����

单项式是（）．�,−3,5,−7,9,⋯⋯�

．．．．

A2�B2�C2�D�

�+1��+1�����

【答案】(B−1)2�+1(−1)2�−1(−1)2�+1(−1)2�−1

【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．

分别从系数、字母的指数两方面找出规律求解．

【详解】解：；

2×1

21+1�

∵�=(−1)2×1−1

；

42×2

�2+1�

−3=(−1)2×2−1

；

62×3

�3+1�

5=(−1)2×3−1

；

82×4

�4+1�

−7=(−1)2×4−1

102×5

�5+1�

，=(−1)

92×5−1

…第个单项式为：．

2�

�+1�

故∴选�：．(−1)2�−1

B

【变式1-2】（2024·云南临沧·模拟预测）按一定规律排列的数：，，，，……，则这列数的第n

1357

个数是（）2−510−17

A．B．

2�+12�−1

�+122

(−1)��+1

第2页共23页.

C．D．

2�−12�−1

�2�+12

(−1)�+1(−1)�+1

【答案】D

【分析】本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答．

【详解】解：分子1，3，5，的规律为，

分母2，5，10，的规律7为...，2�−1

2

符号的规律为17...，�+1

�+1

故第个数为(−1)，

2�−1

�+12

�(−1)�+1

故选：D．

【变式1-3】（23-24七年级·云南昭通·期末）观察下列关于m，n的单项式的特点：，，，

12222323

2��3��4��

，，……，按此规律，第n个单项式是（）

424525

5��6��

A．B．C．D．

�2�����−12��−1��

�+1���+1��������

【答案】A

【分析】本题考查单项式规律问题，根据题意可知，的次数是，的次数是按自然数变化，系数为．

�

�2��+1

【详解】解：关于m，n的单项式的特点：，，，，，……，

12222323424525

2��3��4��5��6��

按此规律，第个单项式是

�2�

��+1��

故选：A．

【题型2多项式中的规律探索】

【例2】（23-24七年级·云南昭通·期末）按一定规律排列的多项式：，，，，

234

，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（−�+）2��+4�−�+6��+8�

56

−�A+．10��+12�B．

����

C．−1�+��D．−1�+2��

�+1����

【答案】B−1�+2��−1�+−1��

【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．

从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可．

【详解】解：按一定规律排列的多项式：，

11

，−�+2�=−1⋅�+2×1×�

222

�+4�=−1⋅�+2×2�

第3页共23页.

，

333

−�+6�=−1⋅�+2×3，�

444

…�，+8�=−1⋅�+2×4�

则第n个多项式是，

��

故选B．−1�+2��

【变式2-1】（2024七年级·全国·专题练习）观察下列多项式：，，，，…，

234

按此规律，则可得到第2023个多项式是．2�−�4�+�8�−�16�+�

【答案】

20232023

【分析】把2已知�−的�多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．

【详解】解：多项式的第一项依次是，，，，，

�

第二项依次是，，2�，4�8�16�…2�

23��

则可以得到第−20�23�个多−项�式…是−1�．

20232023

故答案为：．2�−�

20232023

【点睛】本题2考查�了−多�项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的

规律是解决这类问题的关键．

【变式2-2】（23-24七年级·云南昆明·期末）一组按规律排列的多项式：，，，，……，

233547

其中第10个式子的次数是（）�+��−��+��−�

A．10B．17C．19D．21

【答案】C

【分析】通过已知多项式找出规律，判定出第10个多项式，然后根据多项式次数的定义即可得出结论．

【详解】解：第1个多项式为：=；

11+12×1−1

第2个多项式为=�+��+−；1�

2322+12×2−1

第3个多项式为�−�=�+−1�；

3533+12×3−1

第4个多项式为�+�=�+−1�；

4744+12×4−1

故第10个式子为�−��+−1�，其次数为19

1010+12×10−11019

故选C．�+−1�=�−�

【点睛】此题考查的是探索规律题和求多项式的次数，找出多项式指数的变化规律和掌握多项式次数的定义

是解决此题的关键．

【变式2-3】（23-24七年级·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则：

234

�−3�+5�−7�+⋯

第4页共23页.

（1）它的第5项是；

（2）当时，多项式前100项的和为．

【答案】�=1

5

【分析】本题考9查�多项式−中1的00规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为

�−1

．��−1⋅2�−

�

（11�）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可；

�−1�

（2）当时，得到和为：�−1⋅2�−1�，进行计算即可．

【详解】�解=：1（1）由题意，可1知−：3多+项5−式7按+照⋯的+升19幂7排−列19，9第项为，

�−1�

∴它的第5项是；��−1⋅2�−1�

455

故答案为：；−1⋅9�=9�

5

（2）当9�时，多项式前100项的和为

�=1

1−3+5−7+⋯+197−199

=1+5+9+⋯+197−3+7+11⋯+199

5050

=×1+197−×3+199

22

50

=×1+197−3−199

2

50

=×−4

2．

=故−答1案00为：

−100

【题型3图形中的规律探索】

【例3】（2024七年级·重庆·专题练习）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，

第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第

10个图形中●的个数为（）

A．50B．53C．64D．76

【答案】D

第5页共23页.

【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律．

根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得．

2

【详解】解：因为图①中点的个数为(�+1)−，(1+2+3+…+�−1)

2

图②中点的个数为，4=2−0

2

图③中点的个数为8=3−1，

2

图④中点的个数为13=4−(1+2)，

2

19=5−(1+2+3)

.图..,n中点的个数为，

2

所以图10中点的个(�数+为1)−(1+2+3+…+�−1)，

2

故选：D．11−(1+2+3+…+9)=121−45=76

【变式3-1】（23-24七年级·新疆伊犁·期中）如图，在一组有规律的图案中，第个图案由个基础图形组

成，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，则第1是正整数4)个图案由

个基础图2形组成．7310�(�

【答案】

【分析】本(3题�+考1查)了图形类规律探究；先写出前三个图案中基础图案的个数，并得出后一个图案比前一个图

案多个基础图案，从而得出第个图案中基础图案的表达式．

【详解3】解：观察可知，第个图�案由个基础图形组成，

第个图案由个基础图形1组成，4，4=3+1

第2个图案由7个基础图形组成，7=3×2+1，

，31010=3×3+1

…第个图案中基础图形有：，

故答�案为：．3�+1

【变式3-2】（(32�0+241·)重庆南岸·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为

燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、、癸烷

（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化学式为，乙烷…的化学

式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按…照)此规律，十二烷的化�学�式4为（）

�2�6�3�8…

第6页共23页.

A．B．C．D．

【答案】�C12�24�12�25�12�26�12�28

【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而

可以写出十二烷的化学式．����

【详解】由图可得，

甲烷的化学式中的有1个，有（个，

乙烷的化学式中的�有2个，�有2+2×1=4（个)，

丙烷的化学式中的�有3个，�有2+2×2=6（个)，

，��2+2×3=8)

…十二烷的化学式中的有12个，有（个，

∴即十二烷的化学式为�，�2+2×12=26)

故选：C．�12�26

【变式3-3】（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代

创立的一门新的数学学科．分形是把整体以某种方式分成几个部分．按照如图甲所示的分形规律（1个白圈

分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈），可得如图乙所示的一个树形图，则第7行

中黑圈数量为（）

A．364B．365C．366D．367

【答案】B

【分析】根据图形的变化规律归纳出第行中黑圈的数量为即可得出结论．

�−1

3+1

【详解】解：由题知，第一行的黑圈数量�为1，2

第二行的黑圈数量为2，

第7页共23页.

第三行的黑圈数量为5，

第四行的黑圈数量为14，

，

…给…每行的黑圈数量乘2，

则数量分别是2，4，10，，

即，，，28……，

012

第3行+中1黑3圈+的1数量3的+21倍为……，

�−1

∴第�行中黑圈的数量为，3+1

�−1

3+1

∴�2

第行中黑圈数量为，

76

3+1

故∴选B2=365

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第行中黑圈的数量为是解题的关键．

�−1

3+1

�2

【题型4表格中的规律探索】

【例4】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）将偶数2、4、6、8、10…按下列规律进行排列，首先将这些数

从“2”开始每隔一数取出，形成第一行数：2、6、10、14…；然后在剩下的数4、8、12、16…中从第一个数

“4”开始每隔一数取出，形成第二行数：4、12、20、28…；那么数表中的416位于（）．

261014…

4122028…

8244056…

164880112…

……………

A．第6行第4列B．第4行第6列C．第5行第7列D．第7行第5列

【答案】C

【分析】根据题意和数据排列发现，，m指横行数，n代表列，代入选项逐项判断即可．

�

【详解】解：m代表横行数，n代表竖2行2数�，−则1有：

最左侧一列数据为，（m取自然数），横行数据为，

��

∴选项A：2，不2符2合�题−意1；

6

2×2×4−1=64×8=512≠416

第8页共23页.

选项B：，不符合题意；

4

选项C：2×2×6−1=16×11=176，≠符41合6题意；

5

选项D：2×2×7−1=32×13=416，不符合题意；

7

∴416是第2五×行2第×七5列−的1数=，128×9=1152≠416

故选：C．

【点睛】本题考查了数字的探究规律，发现规律并运用规律是解答本题的关键．

【变式4-1】（2024七年级·全国·专题练习）如图，萍萍同学将自然数按照一定的规律填写在方格中（图①），

图②是从图①中截取的一部分．根据图①中数的规律，我们可以计算出图②中4个数的和是．

【答案】2025

【分析】本题考查了数字的变化类，根据图①的规律可知，，即可得出结果．

【详解】根据图①的规律可知，�+�=480+533−1=1012

，

�图+②�=中448个0+数5的33和−是1=1012，

∴故答案为：2025．480+533+1012=2025

【变式4-2】（23-24七年级·广东湛江·期末）正整数按如下的规律排列，写出第n行、第列的数字为．

第一列第二列第三列第四列第五列�+1

第一行1251017…

第二行4361118…

第三行9871219…

第四行1615141320…

第五行2524232221…

第9页共23页.

…

【答案】

【分析】本��题+考1查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．

根据题意找到规律求解即可．

【详解】第1行、第2列的数字为

第2行、第3列的数字为2，=1×2

第3行、第4列的数字为6=2×3

…12=3×4

第n行、第列的数字为

故答案为：�+1．��+1

【变式4-3】�（�20+241·湖南·二模）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．

根据此规律确定a的值为，b的值为，x的值为．

【答案】91069

【分析】本题考查了数字类规律探究，可得规律，，即可求解；找出规律是解题的关键．

【详解】解：根据题意得6�=60�=6�+�

，

6解�得=：60，

�=10

∴�=�−1

=10．−1

=9

∴�=6�+�．

=60+9=69

【题型5等式中的规律探索】

【例5】（23-24七年级·安徽安庆·期末）观察以下等式．

第1个等式：．

22

第2个等式：1×2×3×4+1=1+3×1+1．

22

2×3×4×5+1=2+3×2+1

第10页共23页.

第3个等式：．

22

第4个等式：3×4×5×6+1=3+3×3+1．

22

按照以上规律，4×解5决×下6列×问7+题1．=4+3×4+1

(1)写出第5个等式：______．

(2)写出你猜想的第n个等式．（用含n的式子表示）

【答案】(1)

22

(2)5×6×7×8+1=5+3×5+1

22

��+1�+2�+3+1=�+3�+1

【分析】此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

（1）观察一系列等式，归纳总结得到第5个等式即可；

（2）观察一系列等式，归纳总结得到第n个等式，用字母表示出所得的规律即可．

【详解】（1）解：通过观察前面式子可得：

第5个等式：，

22

故答案为：5×6×7×8+1=5+3×5+1；

22

（2）通过观察5×前6面×式7子×可8+得1：=5+3×5+1

第n个等式：．

22

【变式5-1】（�23�-2+4七1年�级+·2河北�唐+山3·+单1元=测试�）+观3�察+下1列算式：，，

22

，…，这列算式的规律可表表示为：1×3+1=22×4+1=3

2

【3答×案5+】1=4

2

【分析】本��题+考2查+数1字=类规�律+1探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．

根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．

【详解】解：∵；

2

；1×3+1=2

2

2×4+1=3；

2

…3×…5+1=4

∴，

2

故答��案+为2：+1=�+1．

2

【变式5-2】�（�23+-224七+年1级=·四�川+1达州·期末）从开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：

2

第11页共23页.

加数的个数连续偶数的和

��

12=1×2

22+4=6=2×3

32+4+6=12=3×4

2+4+6+8=20

4

=4×5

2+4+6+8+10=30

5

=5×6

(1)如果时，那么的值为；

(2)由表中�=的8规律猜想：�用含的代数式表示的公式为；

(3)由上题的规律计算���=2+的4值+．6（+要8有+计⋯算+过2�程=）

【答案】(1)；300+302+304+⋯+2022+2024

(2)7；2

(3)��+1．

1002806

【分析】（）根据表中数据可得，个连续偶数相加时，其和为与的积，据此即可求解；

（）由（1）发现的规律可得答案；���+1

（2）将原1式变形，再利用以上规律解之即可求解；

本3题考查了数字的变化规律，根据题意得出个连续偶数相加时，其和为与的积是解题的关键．

【详解】（1）解：由题意得，时，�，��+1

故答案为：；�=8�=8×9=72

（2）解：根据72表中的规律猜想：用含的代数式表示的公式为，

故答案为：；���=2+4+6+8+⋯+2�=��+1

（3）解：由规��律+可1得，，＝，

∴原式2+4+6+⋯+298=1．49×1502+4+6+⋯+2022+20241012×1013

【变式5=-31】0（122×02140·安13徽−六14安9·×模1拟50预=测1）00观2察80下6列等式：

第1个等式：；

11

−1+2=−1×2

第12页共23页.

第2个等式：；

1111

−2+3=−2×3

第3个等式：；．

1111

−3+4=−3×4⋯

…．

(1)请写出第5个等式：______；

(2)写出第个等式：______；（用含n的式子表示，n为正整数）

�

(3)根据你发现的规律计算：．

1111111

−1×2+−2×3+−3×4+⋯+−2023×2024

【答案】(1)

1111

−5+6=−5×6

(2)

1111

−�+�+1=−�×�+1

(3)

2023

−2024

【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的四则混合运算，掌握数字类规律是解题的关键．

（1）根据规律计算即可求解；

（2）根据规律即可求解；

（3）先将乘法化为加法，再加减即可求解；

【详解】（1）解：第5个等式：，

1111

−5+6=−5×6

故答案为：；

1111

−5+6=−5×6

（2）解：第n个等式：，

1111

−�+�+1=−�×�+1

故答案为：；

1111

−�+�+1=−�×�+1

（3）解：原式．

1111111

=−1+2+−2+3+−3+4+⋯+−2023+2024

．

1111111

=−1+2+−2+3+−3+4+⋯−2023+2024

1

=−1+

2024

2023

=−

【题型20624程序图中的规律探索】

【例6】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，

第13页共23页.

则第2023次输出的结果是（）

A．B．C．D．

【答案】2C0202515

【分析】本题考查了程序流程图以及有理数的运算，根据题中已知条件进行计算，找到输出数据的变化规律

即可得到结果，解题的关键根据输出的结果找出规律．

【详解】解：当时，，

1

�=1255�=25

当时，，

1

�=255�=5

当时，，

1

当�=5时，5�=1，

当�=1时，�+4=，5

1

当�=5时，5�=1，

当�=1时，�+4=，5

1

�=55�=1

…

由此可知，从第2次输出开始，输出结果按“5、1”的顺序循环出现的，

∴，

即输20出2的3−结1果为÷21，=1011

故选：C．

【变式6-1】（23-24七年级·浙江金华·期中）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下

表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出

结果为，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有个．

输入12345678…

输出a24310516826…

24��7��2618��29��47��

3�11��

第14页共23页.

【答案】/674

13424213

【分析】通过观7察6�表格�发7现6�从第�三个输出项起的每一项的系数都是前两项的系数之和，每个字母的指数是前

两项相同字母的指数之和，输入的数为时，输出项的系数与次数均为奇数，再由，即

可求解．3�+12022=3×674

【详解】解：∵根据表格中输出项的规律：从第三个输出项起的每一项的系数都是前两项的系数之和，每个

字母的指数是前两项相同字母的指数之和，

∴当输入9时，输出结果为：，

1342

输入1时，输出项的系数与次数76均�为�奇数，

输入4时，输出项的系数与次数均为奇数，

输入7时，输出项的系数与次数均为奇数，

……

输入的数为时，输出项的系数与次数均为奇数，

∵3�+1，

∴2从0212开=3始×一6直74输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个，

故答案为：，674．

1342

【点睛】本题7考6�查数�字的变化规律，能够通过所给信息，发现输入数与输出数之间的规律是解题的关键．

【变式6-2】（23-24七年级·陕西西安·期中）[新视角规律探究题]按如图所示的程序进行计算，如果第一次

输入x的值是，则第次计算后输出的结果为．

−32024

【答案】

【分析】本−8题主要考查了数字的变化类规律、代数式求值等知识点，仔细计算、观察出即从第2次开始，以

、、为一个循环组循环出现是解题的关键．

−先5通过−计8算−、3观察出从第2次开始，以、、为一个循环组出现，再结合，再利

用规律即可解答．−5−8−32024÷3=674⋯2

【详解】解：第1次输出的结果为：；

3×−3−1−9−1

2=2=−5

第15页共23页.

第2次输出的结果为：；

3×−5−1−15−1

2=2=−8

第3次输出的结果为：；

−8+2

2=−3

第4次输出的结果为：；

3×−3−1−9−1

2=2=−5

第5次输出的结果为：；

3×−5−1−15−1

2=2=−8

第6次输出的结果为：

−8+2

2=−3

…，

则从第1次输出开始，以、、为一个循环组循环出现，

∵，−5−8−3

∴2第022402÷43次=输6出74的⋯结2果为．

故答案为：．−8

【变式6-3】（−823-24七年级·河南信阳·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，

想一想：为什么会有这个规律？

(1)填写表内空格：

输入0…

−3−2−1

输出答案91

(2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____．

(3)请验证你发现的规律．

【答案】(1)见解析

(2)

2

(3)�见解析

【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

第16页共23页.

（1）把输入行的数分别代入程序中计算即可得到结果；

（2）根据程序得出一般性规律，写出即可；

（3）由题中给出的式子我们可得出．

12122

36×−�+3�+2�=3−6�+3�+6�=�

【详解】（1）解：填表如下：

输入0…

−3−2−1

输出答案9410…

（2）解：输入数据x，则输出的答案是．

2

�

（3）解：

21

−6�+�+2�×3×3

12

=−6�+3�+6�

3．

【题=型�²7新定义中的规律探索】

【例7】（23-24七年级·福建厦门·期末）定义数组的变换：依次排列的一