专题2.4 有理数的乘方【十大题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题2.4有理数的乘方【十大题型】

【人教版2024】

【题型1乘方运算的符号规律】............................................................................................................................1

【题型2乘方的逆运算（简算）】........................................................................................................................2

【题型3乘方中的程序流程图问题】....................................................................................................................2

【题型4乘方中的整除问题】................................................................................................................................4

【题型5乘方中的进制问题】................................................................................................................................4

【题型6乘方中的末尾数字问题】........................................................................................................................5

【题型7乘方中的规律探究】................................................................................................................................6

【题型8算“24”点】............................................................................................................................................6

【题型9乘方的实际应用】....................................................................................................................................7

【题型10乘方中的新定义问题】............................................................................................................................8

知识点：有理数的乘方

1.有理数的乘方

a×a×a×××××a

一般地，n个相同的乘数a相乘，即1442443，记作an，读作“a的n次方”；

n个

在an中，a叫做底数，n叫做指数；当an看作a的n次方的结果时，读作a的n次幂。

求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”；

2）正数的任何次幂都是正数；3）0的任何正整数次幂都是0。

注意：除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。

【题型1乘方运算的符号规律】

【例1】（23-24七年级·安徽合肥·期中）下列各组数中，数值相等的一组是（）

A．32和23B．（﹣2）3和﹣23

C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣2×32

【变式1-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：(−2)3=−8，−23=−8；(−3)3

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=−27，−33=−27；(−4)3=−64，−43=−64．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母푎表

示的式子：①当푎<0时，푎3=(−푎)3；②当푎>0时，−푎3=(−푎)3．其中表示的规律正确的是（）

A．①B．②C．①、②都正确D．①、②都不正确

【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）已知4个数：（﹣1）2018，|﹣2|，﹣（﹣1.5），﹣32，其中

正数的个数有（）

A．1B．2C．3D．4

【变式1-3】（23-24七年级·山东枣庄·期中）下列各式：①푎2=(−푎)2；②푎3=(−푎)3；③−푎2=|−푎2|；

④푎3=|푎3|．一定成立的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

【题型2乘方的逆运算（简算）】

【例2】（23-24七年级·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式：

①(3×5)2与32×52；

②[(−2)×3]2与(−2)2×32；

（2）根据以上计算结果想开去：(푎푏)3等于什么?（直接写出结果）

（3）猜想与验证：当푛为正整数时，(푎푏)푛等于什么?请你利用乘方的意义说明理由．

（4）利用上述结论，求(−4)2022×0.252023的值．

【变式2-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如果푥5=−32，푦3=8那么푥푦=．

【变式2-2】（23-24七年级·福建厦门·期中）若126×38=푝，则126×36的值可以表示为（）

11

．푝．푝−9．푝−6．푝

A6BCD9

33

1

【变式2-3】（七年级广东东莞期中）2=36,2=2×2=4×9=36，由此你能算出36×

23-24··6(2×3)2322

=（）

．．．1．十分麻烦

A6B8C8D

【题型3乘方中的程序流程图问题】

【例3】（23-24七年级·河南驻马店·期中）小可同学设计了几张如图写有不同运算的卡片A，B，C，D，小

可选择一个有理数，让她的同桌小佳选择A，B，C，D的顺序，进行一次列式计算．

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(1)当小可选择了4，小佳选择了퐴→퐶→퐵→퐷的顺序，列出算式并计算结果；

(2)当小可选择了−2，小佳选择了퐷→퐶→（______）→（______）的顺序，若列式计算的结果刚好为−3，请

通过计算判断小佳选择的顺序．

【变式3-1】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）根据下面的数值转换器，列出关于x，y的代数式，并求

2

1

出当输入的x与y满足+=0时的值．

|푥+1|푦−2

【变式3-2】（23-24七年级·北京·期末）按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是20，而结果

不大于100时，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，请求出最后输出的结果．

【变式3-3】（23-24七年级·北京东城·期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序．

(1)当输入푎=−5,푏=−3吋，求输出푀的值为多少？

(2)若푎=−3,푀的值大于4，直接写出一个符合条件的푏的值．

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【题型4乘方中的整除问题】

【例4】（23-24七年级·江苏扬州·期中）(−8)2024+(−8)2023能被下列哪个数整除？（）

A．3B．5C．7D．9

【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）试说明257+513能被30整除．

【变式4-2】（23-24七年级·湖南怀化·期末）20232−2023一定能被（）整除

A．2020B．2022C．2024D．2025

【变式4-3】（23-24七年级·四川成都·期中）当自然数푛的个位数分别为0，1，2，…，9时，푛2,푛3,푛4的个位

数如表所示：

푛个位数0123456789

푛2个位数0149656941

푛3个位数0187456329

푛4个位数0161656161

······

在10，11，12，13这四个数中，当푛=时，和数2001푛+2002푛+2003푛+2004푛能被5整除．

【题型5乘方中的进制问题】

【例5】（23-24七年级·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，

对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留

空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出

来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为．

【变式5-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上

打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位渔夫从右往左打结，满五进一，用来记录捕到的鱼的数量．由

图可知，他一共捕到的鱼的数量为（）

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A．34B．194C．1234D．6154

210

【变式5-2】（23-24七年级·全国·竞赛）二进制数(101)2可用十进制表示为1×2+0×2+1×2=5，同

210

样地，三进制数(102)3可用十进制表示为1×3+0×3+2×3=11．现有二进制数푎=(11101)2、三进

制数푏=(1010)3，那么푎、푏的大小关系是（）．

A．푎<푏B．푏<푎C．푎=푏D．不能确定

【变式5-3】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）我们常用的十进制数，如2639=2×103+6×102+3×101

+9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右

到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513=2×73+5×72+1×71+3），用来记录孩子自出生后

的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）

A．1326天B．510天C．336天D．84天

【题型6乘方中的末尾数字问题】

【例6】（23-24七年级·山东德州·阶段练习）观察下列算式：

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,38=6561⋯

根据上述算式中的规律，你认为32012的末位数字是．

【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）푎为任意整数，则下列四组数字都不可能是푎2的末位数字的应

是（）

A．3，4，9，0B．2，3，7，8C．4，5，6，7D．1，5，6，9

【变式6-2】（23-24七年级·福建漳州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128，28=256，…，根据上述算式中的规律，你认为22023的末位数字是（）

A．2B．4C．8D．6

【变式6-3】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）若푎=25，푏=−3，试确定푎2011+푏2012的末位数字

是．

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【题型7乘方中的规律探究】

1

【例7】（七年级山东潍坊期中）如图，把面积为的正方形进行分割，观察其规律，可得算式+

23-24··12

23478

11111

+++…++再加上（）后，结果就是．

222221

1111

A．B．C．D．

25262728

【变式7-1】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期末）观察数列：﹣2，4，﹣8，16，……；第7个数为．

【变式7-2】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）任意大于1的正整数푚的三次幂均可“分裂”成푚个连续奇数

的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…按此规律，若푚3分裂后，其中有一个

奇数是117，则푚的值是

【变式7-3】（23-24七年级·浙江温州·期中）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

26=64，27=128,28=256……通过观察，用所发现的规律确定218的个位数字是．

【题型8算“24”点】

3

【例8】（23-24七年级·浙江杭州·期末）（1）在玩“24点”游戏时，“3、3、7、7”列式并计算为：7×

3+7

=7×3+3=24是依据运算律_____；

（2）小明抽到以下4张牌：

请你帮他写出运算结果为24的一个算式：______．

（3）如果♥、♦表示正，♠、♣表示负，请你用（2）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的一个算式：

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______．

【变式8-1】（23-24七年级·山东威海·期末）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的

四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行有理数混合运算，使其结果等于24．现

有四个有理数1,2,2,3，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式，使其结果等于24．

【变式8-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成

下列各题：

(1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是．

(2)从中取出2张卡片，使这2张卡片数字相除商最小，最小值是．

(3)从中取出除0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使结果为24，（注：

每个数字只能用一次，如：23×[1−（−2）]），请另写出两种符合要求的运算式子．

【变式8-3】（23-24七年级·山东淄博·期末）小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去

掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得

运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式．

【题型9乘方的实际应用】

【例9】（23-24七年级·吉林长春·期中）细菌是靠分裂进行生殖的，也就是1个细菌分裂成2个细菌，分裂

完的细菌长大以后又能进行分裂．例如，图中所示为某种细菌分裂的电镜照片，显示这种细菌每20分钟就

能分裂一次．1个这种细菌经过3个小时可以分裂成个细菌．

【变式9-1】（23-24七年级·全国·随堂练习）拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏

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紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．

(1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？

(2)若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每

一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）

【变式9-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可

以得到4层，对折3次时可以得到8层，继续对折下去（最多折7次）．

(1)你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？

(2)如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．

【变式9-3】（23-24七年级·江苏镇江·期末）已知第一个正方体纸盒的棱长为6cm，第二个正方体纸盒的体

积比第一个正方体纸盒的体积大127cm3．

(1)求第二个正方体纸盒的棱长；

(2)第二个正方体纸盒的表面积比第一个正方体纸盒的表面积多多少？

【题型10乘方中的新定义问题】

【例10】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）若任意数푎、푏有这样运算规律：1⊗2=22−1×2，

3⊗4=42−3×4．

(1)则−2⊗3=__________；−3⊗(−5)=_________；

(2)根据上述题，试用字母푎、푏表示其规律；

(3)若[푥]表示不大于푥的最大整数，如：[−2.2]=−3，[5.8]=5，则求：[−휋]⊗[4.1]．

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【变式10-1】（23-24七年级·江苏常州·期中）我们根据乘方运算，得出了一种新的运算，如下表是两种运

算对应关系的一组实例：

乘方运算21=222=423=8…31=332=932=27…

新运算log22=1log24=2log28=3…log33=1log39=2log327=3…

根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③1og464=3．其中正确的

是