专题2.3 有理数的乘除法【十大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）

专题2.3有理数的乘除法【十大题型】

【人教版2024】

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】................................................................................................................2

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】........................................................................................................3

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】....................................................................................................5

【题型4有理数乘法的实际应用】........................................................................................................................7

【题型5有理数的混合运算】................................................................................................................................9

【题型6有理数四则运算的实际应用】..............................................................................................................13

【题型7利用倒数法求解有理数的除法】..........................................................................................................16

【题型8化简分数】..............................................................................................................................................18

【题型9与有理数乘除有关的新定义问题】......................................................................................................20

【题型10有理数四则运算中的分类讨论思想的运用】....................................................................................24

知识点1：有理数的乘法

1.有理数的乘法

有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）

两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。

即：ab=ab；ab=ab；a(b)=-ab；；(a)b=-ab；；0c0。

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。

多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积

为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。

多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。

2.有理数乘法运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：abba。

乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。

即：abcabca(bc)。

第1页共26页.

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再

把积相加。即：a(bc)abac。

【题型1利用有理数的乘法辨别符号】

【例1】（23-24七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数

有()

A．1个或3个B．1个或2个C．2个或4个D．3个或4个

【答案】A

【分析】本题考查了多个有理数的乘法运算．熟练掌握多个有理数相乘，奇负偶正是解题的关键．

根据多个有理数相乘，奇负偶正，进行作答即可．

【详解】解：由多个不为0的数相乘，奇数个负数积为负数，偶数个负数积为正数可知，这4个有理数中，

负数有1个或3个，

故选：A．

【变式1-1】（23-24七年级·安徽合肥·阶段练习）若푎−푏<0，푎푏>0，那么这两个数（）

A．都是正数B．都是负数C．一正一负D．符号不能确定

【答案】D

【分析】根据有理数的乘法法则，有理数的减法法则，即可解答．

【详解】解：∵푎푏>0，

∴a，b同号，

若a，b都是负数，存在푎−푏<0，

若a，b都是正数，同样存在푎−푏<0，

∴这两个数符号不能确定，

故选：D．

【点睛】本题考查了有理数的乘法及有理数的加法，掌握有理数的乘法及有理数的减法是解题的关键．

【变式1-2】（23-24七年级·重庆江津·阶段练习）已知푎>푏>푐，且푎+푏+푐=0，那么乘积푎푐的值一定是

（）

A．正数B．负数C．0D．不能确定

【答案】B

【分析】根据题意，判断出푎、푐的正负，即可求解．

【详解】解：∵푎>푏>푐，且푎+푏+푐=0，

第2页共26页.

∴푎>0，푐<0，即푎与푐异号，

则푎푐的值一定是负数．

故选：B．

【点睛】此题考查了有理数乘法以及加法运算，解题的关键是正确判断出푎、푐的正负．

【变式1-3】（23-24七年级·安徽宣城·期末）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成

立的是（）

A．푎푏>0B．푎+푏>0C．(푎−1)(푏−1)>0D．(푎+1)(푏−1)>0

【答案】B

【分析】先根据数轴确定a，b的取值范围，再逐一判定即可解答．

【详解】解：由数轴可得：−1<푏<0<1<푎，

∴푎푏<0，푎+푏>0，(푎−1)(푏−1)<0，(푎+1)(푏−1)<0，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了数轴，有理数的乘法，解决本题的关键是根据数轴确定a，b的取值范围．

【题型2利用有理数乘法运算律进行巧算】

13243520212023

【例2】（七年级全国假期作业）计算：(−1×2)×(−×)×(−×)×(−×)×…×(−×

23-24··22334420222022

20222024

)×(−×)．

20232023

2024

【答案】−

2023

【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的运算法则是

解题的关键．

【详解】解：原式=−×13×24×35×…×20212023×20222024

(1×2)2×23×34×42022×20222023×2023

1324352021202320222024

=−1×2×××××××…××××，

2233442022202220232023

2024

=−．

2023

57

【变式2-1】（七年级全国课后作业）计算15×，最简便的方法是（）

23-24··716

5727110757

A．×B．×C．×D．×

15+71616−71671610+5716

【答案】B

第3页共26页.

【分析】根据有理数乘法运算法则逐项验证即可得到答案．

577

【详解】解：15×最简便的计算方法是2×，

71616−716

故选：B．

【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则是解决问题的关键．

【变式2-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）用简便方法计算：

(1)(−7.5)×(+25)×(−0.04)；

1

(2)×1.25×．

−420(−8)

【答案】(1)7.5

1

40

(2)2

【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律．

（1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算；

（2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可．

【详解】（1）解：(−7.5)×(+25)×(−0.04)

=7.5×(25×0.04)

=7.5×1

=7.5；

1

（2）解：×1.25×

−420(−8)

1

=4×(1.25×8)

20

1

=4+×10

20

1

=40+

2

1

=40．

2

【变式2-3】（23-24七年级·江苏盐城·阶段练习）用简便方法计算：

17

19×；

(1)18(−9)

(2)0.618×97+3×0.618．

1

【答案】−179

(1)2

第4页共26页.

(2)61.8

【分析】本题考查有理数乘法的运算律，掌握利用乘法分配律进行计算是解题的关键．

（1）利用乘法分配律计算即可；

（2）利用乘法分配律计算即可．

1111

【详解】（1）解：原式=×=20×−×=−180+=−179；

20−18(−9)(−9)18(−9)22

（2）原式=0.618×(97+3)=0.618×100=61.8．

知识点2：倒数

1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数。

2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）0没有倒数。（3）互为倒数的

两个数的乘积一定是1，即a，b互为倒数，则ab1；反之亦然．

3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。

（1）非零整数可以看作分母为1的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。

【题型3倒数、绝对值、相反数的综合求值】

【例3】（23-24七年级·重庆·期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为．

2

【答案】−

3

【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可．

3

【详解】解：−1.5=−，

∵2

32

−的倒数是−，

∴23

22

−的绝对值是，

∴33

22

的相反数为−，

∴33

2

−1.5的倒数的绝对值的相反数为−，

∴3

2

故答案为−．

3

【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题

的关键．

第5页共26页.

【变式3-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）甲、乙两同学进行数字猜谜游戏，甲说：一个数a的相反数是

它本身，乙说：一个数b的倒数也是它本身，则a-b=

【答案】±1.

【分析】利用相反数和倒数的定义求出a、b，然后相减即可.；

【详解】解：a的相反数是它本身，说明a为0；一个数b的倒数也是它本身，说明b为±1；

那么a-b=a±1=0±1=±1

答案为：±1.

【点睛】本题考查了倒数的定义，相反数的定义，熟记概念并确定出a、b的值是解题的关键.

1

【变式3-2】（七年级四川成都期末）若a，b互为相反数，푎+1的倒数是−，则b的值为．

23-24··4

【答案】5

【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式

计算即可．

1

【详解】a，b互为相反数，푎+1的倒数是−，

∵4

∴푎+푏=0，푎+1=−4，

∴푎=−푏，

∴−푏+1=−4，

解得푏=5，

故答案为：5．

【变式3-3】（23-24七年级·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知푎，푏互为相反数，푐，푑互为倒数，푚的绝对值等于

4，푝是数轴上原点表示的数．

(1)分别直接写出푎+푏，푐푑，푚，푝的值；

푎+푏

푝−푐푑++푚的值是多少？

(2)푐푑

【答案】(1)푎+푏=0，푐푑=1，푚=±4，푃=0；

(2)3或−5

【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，푎，푏互为相反数，得到푎+푏=0，根据푐，푑互为

倒数，得到푐푑=1，根据푚的绝对值等于4，所以푚=±4，푝是数轴上原点表示的数，所以푝=0；

（2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将푎+푏、푐푑、푚、푝代入求解即可得到答案；

第6页共26页.

【详解】（1）解：∵푎，푏互为相反数，

∴푎+푏=0，

∵푐，푑互为倒数，

∴푐푑=1，

∵푚的绝对值等于4，

∴푚=±4，

∵푝是数轴上原点表示的数，

∴푝=0；

（2）解：①当푚=4时，

푎+푏

∴푝−푐푑++푚=0−1+0+4=3，

푐푑

②当푚=−4时，

푎+푏

∴푝−푐푑++푚=0−1+0−4=−5，

푐푑

푎+푏

∴푝−푐푑++푚的值为3或−5．

푐푑

【题型4有理数乘法的实际应用】

【例4】（23-24七年级·广东广州·开学考试）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，

且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有种不

同的着色方法．

【答案】96

【分析】

本题考查了有理数的乘法运算，按照A，B，C，D，E的顺序依次着色，判断各部分可以使用的颜色种树即

可求解．

【详解】解：由题意得：A有四种颜色可以选择，B有三种颜色可以选择，

则C有两种颜色可以选择，D有两种颜色可以选择，E有两种颜色可以选择，

∴这幅图一共有着色方法：4×3×2×2×2=96（种）

第7页共26页.

故答案为：96

【变式4-1】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）某商店将一种取暖器先提价20%，然后宣传打八五折销售，

取暖器的现价（）

A．和原来一样B．比原来降了C．比原来涨了D．无法判断

【答案】C

【分析】假设取暖器原价为100元，则现价为100×(1+20%)×0.85%=102（元），进而可求；

【详解】解：假设取暖器原价为100元，

则现价为100×(1+20%)×0.85%=102（元），

∵100<102，

∴取暖器的现价比原来涨了．

故选：C．

【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用，列出算式并正确计算是解题的关键．

【变式4-2】（23-24·江西吉安·三模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，

也首先记录了“盈不足”等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺．蒲生日自

半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日生长的长度的一半”．根

据题意，第三日蒲生长的长度为尺．

【答案】3

4

【分析】本题主要考查利用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列出算式．

根据蒲的增长规律计算第3天的长度即可．

113

【详解】解：3××=（尺）

224

故答案为：3．

4

【变式4-3】（23-24七年级·山东临沂·期末）某公园门票价格如下表，有28名中学生游公园，则最少应付

费元．（游客只能在公园售票处购票）

购票张数1～29张30～60张60张以上

每张票的价格20元18元16元

【答案】540

第8页共26页.

【分析】本题考查了有理数大小比较的运用，本题只需仔细分析图表即可解决问题．根据公园门票价格规

定，通过计算得出应尽量设计的能够享受优惠的购票方案．

【详解】解：解：28人买28张的话需付28×20=560（元），

买30张的话，付30×18=540（元），

所以最少应付费540元．

故买30张付540元是最少的付费方式．

故答案为：540．

知识点3：有理数的除法

1

1）有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a¸ba×，(b¹0)。

b

有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值

的商。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

【题型5有理数的混合运算】

【例5】（23-24七年级·重庆九龙坡·阶段练习）计算

2122

(1)−÷÷×

5−3−3553

1712

(2)1÷+÷

−83|5−3|

【答案】(1)−2

(2)−3

【分析】（1）先将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法的运算法则按照同级运算从左到右的顺序计算

即可得到答案；

（2）先算绝对值里面的，再根据乘除互化，将除法转化为乘法，再结合有理数加法运算法则求解即可得到

答案．

2122

【详解】（1）解：−÷÷×

5−3−3553

211717

=−÷−÷−×

5353

第9页共26页.

2517

=−×(−3)×−×

5173

=−2；

1712

（2）解：1÷+÷

−83|5−3|

7310

=1×(−8)+÷−

3|1515|

77

=1×(−8)+÷−

3|15|

77

=1×(−8)+÷

315

715

=1×(−8)+×

37

=−8+5

=−3．

【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及绝对值运算，熟练掌握加减乘除运算法则及运算顺序是解决问

题的关键．

【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期中）下面是小明的计算过程，请仔细阅读，并解答下面的问题．

13

计算：(−15)÷(−3−)×6

32

25

解：原式(−15)÷(−)×6第一步

=6……

=(−15)÷(−25)……第二步

3

−第三步

=5……

解答过程是否有错，若有，错在第几步？错误原因是什么？最后请写出正确的过程．

【答案】见解析

【分析】根据有理数的运算顺序和运算法则判断即可得；依据混合运算顺序和运算法则判断即可得；由乘

除同级运算应该从左到右依次计算和两数相除同号得正判断可得；先计算括号内的数，然后化除为乘再进

行有理数的乘法运算．

【详解】解：解答过程有错．错在第二步和第三步．

第二步运算顺序错误，乘除同级运算应该从左到右依次计算；

第三步有理数的除法法则运用错误，两数相除，同号得正．

13

正确过程：(−15)÷(−3−)×6

32

第10页共26页.

25

解：原式(−15)÷(−)×6

=6

6

(−15)×(−)×6

=25

108

=5

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．

411414

【变式5-2】（23-24七年级·吉林白城·阶段练习）计算：×2+×−1×．

−54−452−5

4

【答案】−

5

4

【分析】逆用乘法分配律，提出−，计算出括号内的值，而后相乘即得．

5

141

【详解】4×2+1×−1×4

−54−452−5

491434

=−×+×−−×−

544525

4913

=−×+−

5442

4

=−×1

5

4

=−．

5

【点睛】本题主要考查了乘法的分配律，熟练掌握乘法的分配律，有理数的加减法、乘法，是解决问题的

关键．

11

【变式5-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）老师布置了一道练习：计算÷×12．

(−16)4−3

嘉嘉和淇淇的解答过程如下：

嘉嘉的解答过程

淇淇的解答过程

解：原式=÷1×12（第

(−16)−1211

解：原式=÷−×12（第一步）

(−16)43

一步）

=−64−4（第二步）

=(−16)÷(−1)（第二步）

=−68（第三步）

=16（第三步）

(1)①嘉嘉解题过程中开始出现错误的是第______步；

②淇淇解题过程中开始出现错误的是第______步．

(2)把正确的解题过程写出来．

第11页共26页.

315

(3)计算：×÷14．

(−24)4+6−8

【答案】(1)①二，②一

(2)见解析

1

−

(3)2

【分析】（1）①嘉嘉在第二步计算乘除混合运算时，应按照从左到右顺序依次计算；②淇淇第一步计算

含有括号时，应该先计算括号里面的；

（2）按照有理数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．

（3）根据有理数的混合运算进行计算即可求解．

【详解】（1）解：①嘉嘉解题过程中第二步计算有错误，

故答案为：二；

②淇淇解题过程中第一步有错误，

故答案为：一；

11

（2）解：÷×12

(−16)4−3

1

=(−16)÷−×12

12

=(−16)×(−12)×12

=192×12

=2304；

315

（3）×÷14

(−24)4+6−8

184151

=−24×+−×

24242414

71

=−24××

2414

1

=−．

2

【点睛】本题考查了有理数混合运算，在计算有理数混合运算时，有括号先计算括号里面的，再计算乘方，

然后计算乘除，最后计算加减，同级运算时从左往右依次进行计算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题

关键．

第12页共26页.

【题型6有理数四则运算的实际应用】

【例6】（23-24七年级·山东威海·期中）气象统计资料表明：高山上的温度每升高100米，平均气温下降

0.6℃．已知山脚的温度是8℃．

(1)若这座山的高度是2千米，求山顶的温度；

(2)小明在上山过程中看到温度计上的读数是−1℃，此时他距山脚有多高？

【答案】(1)−4℃

(2)1500米

【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用．

（1）根据题意列式计算即可；

（2）根据题意列式计算即可．

结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．

【详解】（1）解：8−2000÷100×0.6

=8−12

=−4(℃)，

即山顶的温度为−4℃；

（2）[8−(−1)]÷0.6×100

=9÷0.6×100

=1500（米），

即他距山脚1500米．

【变式6-1】（23-24七年级·贵州铜仁·阶段练习）某服装公司2017年四个季度的盈亏情况如下：第一季度

平均每月亏损1.5万元，第二季度在全体员工的努力下，平均每月盈利2万元，第三季度平均每月盈利1.7

万元，第四季度平均每月亏损2.9万元，那么这个公司2017年平均每月盈亏情况如何？

【答案】这个公司2017年平均每月亏损0.175万元．

【分析】首先用这个公司去年每个季度的盈亏额乘3，求出每个季度的盈亏额分别是多少；然后把它们相加，

再除以12即可求解．

【详解】解：(−1.5)×3+2×3+1.7×3+(−2.9)×3

=−4.5+6+5.1+(−8.7)

=−2.1（万元）

第13页共26页.

−2.1÷12=−0.175（万元）

答：这个公司2017年平均每月亏损0.175万元．

【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是求出每个季度的盈亏额分别是多少．

【变式6-2】（23-24七年级·四川成都·期中）小张第一次用180元购买了8套儿童服装，以一定价格出售.

如果以每套儿童服装80元的价格为标准，超出的记作整数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：

+12,−13,+15,+11,−17,−11,0,−13.

请通过计算说明：

（1）小张卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利（或亏损）了多少钱？

（2）每套儿童服装的平均售价是多少元？

（3）小张第二次用第一次的进价再次购买900元的儿童服装，如果他预计第二次每套服装的平均售价75

元，按他的预计第二次售价可获利多少元？

【答案】（1）当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了444元；（2）每套儿童服装的平均售价是78元；

（3）按他的预计第二次售价可获利2100元.

【分析】（1）把所得的正负数相加，再同以55元售价售出的总价相加，求出买出的钱数，再同400元进

行比较，可知赚了还是亏了，进而求出赚或亏的钱数；

（2）用售出的总价除以8可求出平均售价是多少元，据此解答．

（3）根据利润=售价-进价即可求得.

【详解】(1)(+12)+(−13)+(+15)+(+11)+(−17)+(-11)+0+(−13)=−16.

80×8−16=640−16=624(元)

624>180，所以赚钱

624−180=444(元)

答：当他卖完这八套儿童服装后是盈利了，盈利了444元；

(2)624÷8=78(元)

答：每套儿童服装的平均售价是78元.

(3)每套衣服的进价为：180÷8=22.5元,

第二次可以购进服装900÷22.5=40套，

75×40−900=2100.

答：按他的预计第二次售价可获利2100元.

【点睛】考查了正数与负数的应用，得到总售价是解决问题的关键.

第14页共26页.

【变式6-3】（23-24七年级·四川成都·期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20

立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级

气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8

倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．

1月2月3月4月5月6月7月

气表读数（立方米）433450468485500514535

（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．

（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？

（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，

比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？

【答案】（1）17；17；（2）43元；（3）80.8元

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家1月份的用气量和1−6月份平均每月的用气量

（2）根据小明家2月份的气费为36元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家6月份的用气量超过20立方

米且不超过30立方米，超过20立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算

（3）根据题意，可计算出小明家7月的用气量，再结合题意，即可计算

【详解】（1）由表格数据可得：小明家1月份的用气量为450−433=17立方米；

1−6月份平均每月的用气量为：(535−433)÷6=17立方米

故答案为：17；17

（2）∵小明家2月份的气费为36元，2月份的气费量为：468−450=18<20

∴一级用气价格为：36÷18=2（元/立方米）

∵6月份的用气量为535−514=21立方米，气量超过20立方米且不超过30立方米的部分按第二级气量基

数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取

∴6月份小明家需交气费为：20×2+1×2×1.5=43元

（3）∵小明家6月份的用气量为：21立方米，7月份的用气量比6月份的多12立方米

∴7月份的用气量为：21+12=33立方米

∵气量超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取，

用气量超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取费用

∴7月份小明家需交气费为：20×2+10×2×1.5+3×2×1.8=80.8元

第15页共26页.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准．

【题型7利用倒数法求解有理数的除法】

【例7】（23-24七年级·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：

푎푏1

材料一：乘积为的两个数互为倒数，如和，即若设푎÷푏=푥，则푏÷푎=；

1푏푎푥

材料二：分配律：(푎+푏)푐=푎푐+푏푐；

利用上述材料，请用简便方法计算：1÷111．

−603−4+12

1

【答案】−

10

11

【分析】设푎=−，푏=111，先求得푏÷푎的值，再由倒数关系푎÷푏=即可解答；

603−4+12푏÷푎

1

【详解】解：设푎=−，푏=111，

603−4+12

1111

푏÷푎=−+÷−

341260

111

=−+×(−60)

3412

111

=×(−60)+−×(−60)+×(−60)

3412

=−20+15−5

=−10，

∵푎÷푏和푏÷푎互为倒数，

11

∴푎÷푏==−，

푏÷푎10

1

∴1÷111=−；

−603−4+1210

【点睛】本题考查了倒数，乘法分配律，有理数的混合运算；当푎÷푏较难计算而푏÷푎较易计算时，可以利

用倒数关系来简化运算．

【变式7-1】（23-24七年级·吉林长春·阶段练习）我们学过了乘法分配律，但是在做除法运算时就不能使用

1

分配律．对于下面这道计算题：−÷1223，小明有了自己的想法，小明的做法是：先求原式的

426−7+3−14

1223112231223

倒数：÷−=×(−42)=−×42+×42−×42+×42＝﹣7+12﹣28+9

6−7+3−14426−7+3−1467314

11137

＝﹣14，所以原式＝﹣请你仿照以上小明的做法计算：÷

14−241−12−8+12

【答案】1

7

第16页共26页.

【分析】仿照小明的做法，计算即可求出所求．

1371

【详解】解：先求原式的倒数=÷

1−12−8+12−24

＝（﹣1﹣37）（﹣）

1128+12×24

＝﹣24+36+9﹣14

＝7，

则原式＝1．

7

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

【变式7-2】（23-24七年级·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．

计算：1÷11．

−155−3

1

解：方法一：原式=1÷35=1÷2=．

−1515−15−15−152

11

方法二：原式的倒数为：11÷1=11×=×−×=−3+5=2

5−3−155−3(−15)5(−15)3(−15)

1

故原式=．

2

用适当的方法计算：1÷2112．

−303−10+6−5

1

【答案】−

10

【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

求出原式的倒数，即可确定出原式的值．

【详解】解：∵2112÷1

3−10+6−5−30

2112

=−+−×(−30)

31065

=−20+3−5+12

=−10，

1

原式=−．

∴10

【变式7-3】（23-24七年级·浙江杭州·阶段练习）阅读下列材料：

1

计算：÷111．

603−4+12

11111111111

解法：原式÷−÷+÷=×3−×4+×12=．

①=603604601260606060

第17页共26页.

14311111

解法②：原式=÷=÷=×6=．

6012−12+126066010

1111111111

解法③：原式的倒数为÷=×60=×60−×60+×60=20−15+5=10，

3−4+12603−4+123412

原式1

∴=10

11111

解法④：原式=÷=1÷=

60×603−4+12×60(20−15+5)10

(1)上述解法中，肯定有错误的解法．你认为解法是错误的；

13521

(2)在正确的解法中，选择一种解法计算：−÷

427−14+3−6

【答案】(1)①

(2)−24

【分析】（1）根据有理数的运算法则以及运算顺序观察，由于除法没有分配律，即可求解；

（2）选取解法中正确的一种解法进行解题即可．

【详解】（1）解：解法①是错误的，除法没有分配律；

故答案为：①．

35211

（2）原式的倒数为÷

7−14+3−6−42

3521

=−+−×(−42)

71436

3521

=×(−42)−×(−42)+×(−42)−×(−42)

71436

=−18+15−28+7

=−24，

1

原式=−

∴24

【点睛】本题考查有理数的混合运算，乘法分配律，能够根据题目中几种方式进行计算是解题的关键．

【题型8化简分数】

【例8】（23-24七年级·全国·专题练习）化简下列分数：

−21；

(1)7

3；

(2)−36

−54；

(3)−8

第18页共26页.

−6．

(4)−0.3

【答案】(1)−3

1

−

(2)12

27

(3)4

(4)20

【分析】直接根据有理数的除法法则计算即可．

−211

【详解】（）=−21÷7=−21×=−3；

177

311

（）=−3×=−；

2−363612

−54127

（3）=−54×=；

−8−84

−610

（4）=−6÷=−6×=20．

−0.3(−0.3)−3

【点睛】此题考查有理数的除法，解题关键是先明确式子的符号，再利用除一个数就是乘这个数的倒数的

计算法则计算．

【变式8-1】（23-24·上海杨浦·三模）下列分数中，能化为有限小数的是（）

．1．3．1．5

A12B12C15D15

【答案】B

【分析】本题考查分数和小数的互化，解题的关键是运用有理数的除法法则分别计算即可判断．

1·

【详解】解：．=0.083，故此选项不符合题意；

A12

3

．=0.25，故此选项符合题意；

B12

1·

．=0.06，故此选项不符合题意；

C15

5·

．=0.3，故此选项不符合题意．

D15

故选：B．

−1254−3−5

【变式8-2】（23-24七年级·全国·课后作业）化简下列各分数：=，=，1=，

5−36−2−0.2

=．

第19页共26页.

1

【答案】−25；−；6；25．

9

【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可．

−125125

【详解】解：=−=−25，

55

441

=−=−，

−36369

−33

1=1=6，

−22

−55

==25，

−0.20.2

1

故答案为：−25，−，6，25．

9

【点睛】此题考查了有理数除法运算，解题的关键是掌握有理数除法运算法则：两数相除，同号得正，异

号得负，并把绝对值相除．

|푥||푥푦|

【变式8-3】（七年级全国专题练习）如果푦<0<푥，则化简+．

23-24··푥푥푦=

【答案】0

【分析】根据绝对值的意义及有理数乘除法运算法则进行分析化简．

【详解】解：∵푥>0，

|푥|

=1，

∴푥

∵푥>0,푦<0，

|푥푦|

，

∴푥푦=−1

|푥||푥푦|

+，

∴푥푥푦=1-1=0

故答案为：0．

【点睛】本题考查绝对值的化简，有理数的乘除法运算，理解绝对值的意义，掌握有理数乘除法运算法则

是解题关键．

【题型9与有理数乘除有关的新定义问题】

【例9】（23-24七年级·河北石家庄·期中）在数轴上，把原点记作点푂，表示数1的点记作点퐴．对于数轴

上任意一点푃（不与点푂，点퐴重合），将线段푃푂与线段푃퐴的长度之比定义为点푃的特征值，记作푃，即푃=

푃푂

．例如：当点푃是线段푂퐴的中点时，因为푃푂=푃퐴，所以푃=1．如图，点,,为数轴上三个点，点

푃퐴푃1푃2푃3푃1

1

表示的数为−，点表示的数与点表示的数互为相反数，点表示的数为2．

4푃2푃1푃3

第20页共26页.

(1)点푃2表示的数为：___________；

(2)求푃1,푃2,푃3的值，比较푃1,푃2,푃3的大小，并用“<”连接；

1

若数轴上有一点푀满足푂푀=푂퐴，求푀．

(3)3

【答案】1

(1)4

11

=，=，=2，푃<푃<푃

(2)푃15푃23푃3123

1或1

(3)24

【分析】（1）根据相反数的定义即可解答；

푃푂

（）根据푃=求出求푃,푃,푃的值，再根据有理数大小比较的方法解答即可；

2푃퐴123

푀푂

（）根据数轴上两点之间的距离公式可知点푀表示的数，再根据푀=解答即可．

3푀퐴

1

【详解】（）解：点表示的数为−，点表示的数与点表示的数互为相反数，

1∵푃14푃2푃1

点表示的数为1，

∴푃24

故答案为1；

4

1

（）解：点表示的数为−，点퐴表示的数为1，푂表示原点，

2∵푃14

11

푃1푂0−−441

∴푃==1=5=，

1푃1퐴5

1−−44

点表示的数为1，

∵푃24