专题1.4 绝对值【八大题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题1.4绝对值【八大题型】

【人教版2024】

【题型1绝对值的概念辨析】................................................................................................................................1

【题型2求一个数的绝对值】................................................................................................................................2

【题型3已知一个数的绝对值求该数】................................................................................................................2

【题型4化简绝对值】............................................................................................................................................3

【题型5由绝对值的非负性求值】........................................................................................................................3

【题型6解绝对值方程】........................................................................................................................................4

【题型7由绝对值的几何意义求最值】................................................................................................................4

【题型8绝对值的应用】........................................................................................................................................5

知识点1：绝对值

1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a。

2）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：（1）如果a>0，那么a=a；（2）如果a=0，那么a=0；（3）如果a<0，那么a=-a．

ìa(a>0)

ïìa(a³0)ìa(a>0)

可整理为：a=í0(a=0)，或a=í，或a=í。

ïî-a(a<0)î-a(a£0)

î-a(a<0)

4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：|a|³0。

【题型1绝对值的概念辨析】

【例1】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）符号语言“|푎|=−푎(푎<0)”转化为文字表达，正确的是（）

A．一个正数的绝对值等于它本身

B．负数的绝对值等于它的相反数

C．非负数的绝对值等于它本身

D．0的绝对值等于0

【变式1-1】（23-24七年级·陕西汉中·阶段练习）若|−푚|=−푚，下列푚的取值能使这个式子成立的是（）

A．−1B．1C．2D．푚取任何数

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【变式1-2】（23-24·福建莆田·七年级统考期末）下列说法正确的有（）

（1）有理数的绝对值一定比0大；

（2）有理数的相反数一定比0小；

（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式1-3】（23-24七年级·宁夏吴忠·期中）任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（）

A．原点右边B．原点两旁

C．原点及其右边D．整个数轴

【题型2求一个数的绝对值】

【例2】（23-24七年级·上海宝山·期末）用“>”或“<”连接|−3.5|−33．

|5|

【变式2-1】（23-24七年级·河南信阳·阶段练习）−2024的绝对值是（）

11

．−2024．．．−

AB2024C2024D2024

【变式2-2】（23-24七年级·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）

A．0B．−1C．−2D．1

【变式2-3】（23-24·内蒙古通辽·二模）0.2的相反数的绝对值为（）

A．−5B．0.2C．5D．−0.2

【题型3已知一个数的绝对值求该数】

【例3】（23-24·浙江金华·七年级校考期中）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（）

A．3B．−3C．|−푥|D．±3

【变式3-1】（23-24七年级·四川眉山·阶段练习）一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是

（）

A．正数B．零C．负数D．非正数

【变式】（七年级湖北襄阳期中）一个数的绝对值是2，那么这个数为．若｜｜｜｜则

3-223-24··3-5=-a

a=

5

【变式3-3】（23-24七年级·河北唐山·阶段练习）−的绝对值的相反数是．一个数的相反数的绝对

3

值等于这个数的绝对值的相反数，那么这个数是．

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知识点2：化简绝对值

①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本

身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；

括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。

注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。

【题型4化简绝对值】

【例4】（23-24七年级·陕西汉中·阶段练习）如果|푚|=5，|푛|=4，且푚<푛，求푚+푛的值．

【变式4-1】（23-24七年级·湖北孝感·阶段练习）若0≤푎<1，则|푎|+|푎−1|=．

【变式4-2】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）若푎<0，则|푎−(−푎)|等于（）

A．−푎B．0C．2푎D．−2푎

【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图

所示，其中푂퐴=푂퐶．化简푎−|푎+푏|+|푐−푎|+|푐−푏|+|푎+푐|．

知识点3：绝对值的非负性

（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若|푎|+|푏|=0，则|푎|=0且

|푏|=0．（2）a³0。

【题型5由绝对值的非负性求值】

【例5】（23-24七年级·山西吕梁·阶段练习）如果有理数푥、푦满足|푥−3푦|+|2푥−1|=0那么푥、푦的值分别

为（）

1311

A．푥=，푦=B．푥=，푦=

2226

11

C．푥=−，푦=−D．푥=0，푦=0

26

【变式5-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子2023−|푥+2|存在最大值，这个最大值

是（）

A．2025B．2024C．2023D．2022

1

【变式5-2】（23-24七年级·山东临沂·阶段练习）若|푎+2|+|푏−|=0，则푎푏=．

2

【变式5-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|푥−3|+|푦+5|=0，求|푥+푦|的值．

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【题型6解绝对值方程】

【例6】（23-24七年级·全国·竞赛）方程|2|푥|−2014|=2015的解有（）．

A．4个B．3个C．2个D．1个

【变式6-1】（23-24七年级·湖南怀化·期末）当푥时，|푥−3|=3−푥．

【变式6-2】（23-24七年级·河南周口·期中）方程|2푥−1|=7的解为（）

A．푥=−3B．푥=4C．푥=4或푥=−3D．푥=−4或푥=3

【变式6-3】（23-24七年级·福建泉州·阶段练习）关于푥的方程|푥+1|+|푥−3|=6的解是．

【题型7由绝对值的几何意义求最值】

【例7】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）已知푥,푎,푏为互不相等的三个有理数，且푎>푏，若式子|푥−푎|+

|푥−푏|的最小值为3，则12+푎−푏的值为（）

A．12B．9C．18D．15

【变式7-1】（23-24七年级·江苏镇江·阶段练习）如图，若点퐴、퐵在数轴上分别表示有理数푎、푏，퐴、퐵两

点之间的距离表示为퐴퐵．则퐴퐵=|푎−푏|．所以式子|푥−3|的几何意义是数轴上表示有理数푥的点与表示有理

数3的点之间的距离．

根据上述材料，解答下列问题：

(1)若|푥−1|=2，则푥=；

(2)若|푥−5|=|푥+1|，则푥=；

(3)式子|푥−3|+|푥+2|的最小值为；

(4)若|푥−3|+|푥+2|=7，则푥=；

(5)式子|푥+2|+|푥−1|+|푥−3|的最小值为，此时푥=．

【变式7-2】（23-24七年级·重庆丰都·期末）有三个实数为푎,푏,푐，且푎<푏<푐，在数轴上分别对应的点是点

퐴,퐵,퐶，若|푎+푐|>|푎+푏+푐|，那么可能是数轴原点的是（）

A．点퐴B．点퐵

C．点퐶D．点퐴,퐵,퐶都不可能

【变式7-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）函数푦=|푥−1|+|푥−푎|的最小值为3，则a的值为．

知识点4：绝对值的应用

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1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；

2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与

数的正负性无关；

3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。

【题型8绝对值的应用】

【例8】（23-24七年级·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点퐴与数轴上的原点重合，퐴퐵

是圆片的直径．圆片在数轴上向