第11讲 整式（3个知识点+8个考点+易错分析）原卷版

第11讲整式（3个知识点+8个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.了解单项式、多项式、整式的概念

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.理解单项式的系数和次数的概念

模块三核心考点举一反三3.理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念

模块四小试牛刀过关测4.了解整式在解决实际问题中的应用

知识点1.单项式

1

单项式的概念：如-2xy2，mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或

3

一个字母也是单项式．

要点归纳：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个

数；③单独的一个字母．

st1

（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成st。但若分母中含有字母，

22

5

如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

m

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点归纳：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假

15

分数，如：1x2y写成x2y．

44

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

要点归纳：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：

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（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；

（2）不能将数字的指数一同计算．

知识点2.多项式（重点）

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．

要点归纳：“几个”是指两个或两个以上．

多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

要点归纳：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2-2x-7是一个三项式．

多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

要点归纳：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一

个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

知识点3.整式（重点）

整式

单项式与多项式统称为整式．

要点：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．

即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

易错点1.确定单项式的系数和次数时出错

单项式的系数包括前面的符号,且只与数字因数有关,而次数只与字母有关;确定系数时容易漏掉系数中的

“_”号和“π”.确定次数时注意不要把“π”的次数也计算在内

易错点2.混淆多项式次数和单项式次数

不要与单项式的次数混淆,误将所有字母的指数和作为多项式的次数

考点1：单项式的判断

1x＋14m

【例1】下列代数式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，单项式有()

32xn

A．4个B．5个C．6个D．7个

【变式1-1】（2023秋•赤坎区校级期末）下列式子是单项式的是()

A．a-1B．a2C．a+bD．a+b=1

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【变式1-2】（2023秋•舟山期末）下列各式不是单项式的是()

b1

A．3B．aC．D．x2y

a2

m+n12R

【变式1-3】在代数式、2x2y、、-5、a、中，单项式的个数是（）

2xp

A．6B．5C．3D．4

考点2：确定单项式的系数和次数

【例2】分别写出下列单项式的系数和次数．

5ab3c22πxy2

(1)－ab2；(2)；(3).

73

【变式2-1】单项式﹣23a2b3的系数和次数分别是（）

A．﹣2，8B．﹣2，5C．2，8D．﹣8，5

【变式2-2】（2021•海南）下列整式中，是二次单项式的是（）

A．x2+1B．xyC．x2yD．﹣3x

【变式2-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）填表：

3a2b3c4

单项式--3abpr3-22a3b5-x

23

系数

次数

考点3：单项式的应用

【例3】用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．

(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？

(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？

xy2

【变式1-1】（2023秋•路北区期中）已知a表示-5的相反数，b表示-2的立方，c表示-的系数，d

2

表示0.6的倒数．

（1）直接写出各字母所表示的数；

（2）计算a，b，c，d中所有负数的乘积，并判断结果是否为正整数．

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【变式1-2】写出满足条件的单项式．

（1）写出所有系数是2，且只含字母x和y的五次单项式；

（2）系数是-5，含a，b两个字母，且a的指数是2，单项式的次数是6；

9

（3）系数是-，次数是3，含x，y两个字母，且y的指数是2．

2

2

【变式1-3】．（2023秋•衡东县校级期中）已知单项式-xy2m-1与-22x2y2的次数相同．

3

（1）求m的值；

2

（2）求当x=-9，y=-2时单项式-xy2m-1的值．

3

【变式1-4】．（2023秋•蓬江区校级月考）已知x2y|a|+(b+2)是关于x、y的五次单项式，求a2-3ab的值．

考点4：单项式、多项式与整式的识别

【例4】指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

a＋b112

x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.

3x7x2＋x

m+n1x

【变式4-1】．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列式子：，2x3y，，，a，2x-y中，多项式的个数是

2x3

（）

A．1B．2C．3D．4

【变式4-2】．（2023秋·全国·七年级课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内：

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12n-3pa-bm2n2

-x,a2-,,,-7,9,．

3m35

单项式：{…}；

多项式：{…}

整式：{…}．

【变式4-3】.把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：

11m2+n22

①2a2b+ab2；②a-；③0；④；⑤﹣mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k

3b35

单项式集合：{}；

多项式集合：{}；

二项式集合：{}．

考点5：确定多项式的项数和次数

【例5】写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．

2

(1)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.

3

【变式5-1】（2023秋•莲都区期末）多项式x2y-xy-1的次数和常数项分别是()

A．3，1B．3，-1C．5，1D．5，-1

1

【变式5-2】．（2023秋•庆阳期末）多项式x2+3xy2-z-1的一次项系数是()

2

1

A．3B．1C．-D．-1

2

【变式5-3】．（2023秋•山阳县期末）对于多项式x2-5x-6，下列说法正确的是()

A．它是三次三项式B．它的常数项是6

C．它的一次项系数是-5D．它的二次项系数是2

【变式5-4】．（2023秋•赣州期末）多项式m3n4-5m3n5+3的项数和次数分别为()

A．2，7B．3，8C．2，8D．3，7

考点6：根据多项式的概念求字母的取值

【例6】已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．

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【变式6-1】．（2023秋•武功县期末）已知关于x、y的多项式-x2y3-10xm+1y3-xy+9x-3是七次五项式，

n是五次项的系数，求m，n的值．

【变式6-2】．（2023秋•合阳县期末）已知关于x、y的多项式xy3-3x4+x2ym+2-5mn是五次四项式(m，

n为有理数），且单项式5x4-myn-3的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值．

【变式6-3】．（2023秋•汉阴县期末）已知关于m，n的多项式m2n3+mn2-10ma+3n-4b是六次四项式，

常数项是2．求a，b的值．

【变式6-4】．（2023秋•东丰县期末）已知多项式x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四项式，单项式6x2ny5-m

的次数与这个多项式的次数相同，求m+n的值．

考点7：多项式中不含某项问题

【例7】若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．

1

【变式7-1】．（2023秋•辉县市期中）对于多项式x|m|-(m-3)x+k2-1

2

（1）若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值．

（2）若此关于x的多项式不含常数项，求k的值．

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【变式7-2】若关于x的多项式x3-5x2-(2m-1)x2+(2-3n)x-1不含二次项和一次项，求m，n的值．

【变式7-3】．（2022秋•虎林市校级期中）（1）已知多项式-3x3ym+1+xy3+(n-1)x2y2-4是六次三项式，

求(m+1)2n-3的值．

（2）关于x，y的多项式(3a+2)x2+(9a+10b)xy-x+2y+7不含二次项，求3a-5b的值．

【变式7-4】．（2023秋•巴东县期末）已知二项式-x3y2-2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为

b，且a，b在数轴上对应的点分别为A，B，点C为数轴上任意一点，对应的数为c．

（1）a=，b=，并在数轴上标出A，B；

（2）当点C为线段AB的三等分点时，求c的值；

（3）在（2）的条件下，若点C离点B较近时，点P、Q、M分别从点A、B、C同时向左运动，其速度

分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数k，使kQM-3PQ为定值，若存

在，求k的值；若不存在，请说明理由．

考点8：多项式的应用

【例8】如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四

个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方

米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？

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【变式8-1】．（2023秋•山阳县期末）如图是某居民小区的一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了

美化环境，准备在这块长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其

余种草．（单位：m)

（1）请用含a，b的式子表示种草的面积；

（2）当a=10，b=35时，求种草的面积．(p取3.14)

【变式8-2】如图是某居民小区的一块长为4a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个

长方形的四个顶点处各修一个半径为a米的四分之一圆形花台，然后在花坛内种花，其余植草．（本题

中的取3.14)

（1）请用含a，b的式子表示种花的面积和种草的面积．

（2）如果a=10，b=20.1，且建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50

元，那么美化这块空地共需资金多少元？

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【变式8-3】．（2023秋•市中区期中）如图，某居民小区有一块长为a，宽为2b的长方形空地．为了美化

环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处修建一个半径为b的扇形花台，其余部分铺设草坪．

（1）草坪（阴影部分）的周长为，面积为．（结果用含有a，b，p的式子表示）

（2）如果铺设草坪的费用为每平方米50元．当a=6米，b=2米，p取3时，铺设草坪共需多少元？

【变式8-4】（2023秋•武汉期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，

且8xyb-10+(a+8)xy-1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题：

（1）a=，b=；

（2）若数轴上有一点C，且3AC=BC，求点C对应的数；

（3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度

是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运

动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度．

考点9：整式的规律探究

【例9】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则第n个“口”字需要用棋子（）

A．（4n﹣4）枚B．4n枚C．（4n+4）枚D．n2枚

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【变式9-1】．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列单项式：-x，2x2，-3x3，4x4，…，根据

你发现的规律，第10个单项式为_____________．

【变式9-2】如图所示，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列各图：则第n个图形

中需要用黑色瓷砖块．（用含n的代数式表示）

【变式9-3】（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，

第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的

根数为．（用含n的式子表示）

【变式9-4】.观察下列图形：

它们是按一定规律排列的．

(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？

(2)摆成第n个图案需要几个五角星？

(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？

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一．选择题（共6小题）

51

1．（2024•肇源县开学）在代数式x2+5，-1，x2-3x+2，p，，x2+中，整式有()

xx+1

A．3个B．4个C．5个D．6个

2．（2023秋•法库县期末）下列说法正确的是()

A．整式就是多项式B．p是单项式

3x-1

C．x4+2x3是七次二项式D．是单项式

5

3．（2024•东莞市校级一模）单项式4pr2表示球的表面积，其中p表示圆周率，r表示球的半径．下列说

法中，正确的是()

A．系数是4，次数是2B．系数是4，次数是3

C．系数是4p，次数是3D．系数是4p，次数是2

4

4．（2024•凉州区校级三模）单项式pr3的系数与次数分别是()

3

4444

A．，3B．，4C．p，3D．p，4

3333

5．（2023秋•坡头区期末）下列说法正确的是()

A．单项式3ab的次数是1

B．多项式-4a2b+3ab-5的常数项是5

3pxy3

C．单项式-的系数是-

22

D．3a-2a2b-1是三次三项式

6．（2023秋•龙华区期末）多项式-x2+3x-5的二次项系数是()

A．-x2B．-1C．3D．-5

二．填空题（共8小题）

7．（2023秋•锦州期末）单项式-3ab4的次数是．

2

8．（2023秋•赤坎区校级期末）单项式-xy2的系数是．

3

9．（2023秋•斗门区期末）请你写出一个单项式，使它的系数为5，次数为3，这个单项式是．

13ab2ab

10．（2023秋•通辽期中）下列式子：x2+2，+4，，，-5x，0，整式的个数是个．

a7c

1

11．（2023秋•永州期末）单项式-x2y的系数为a，次数为b，则ab=．

2

5x2-2

12．（2023秋•崇明区期末）多项式的常数项是．

7

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13．（2023秋•台儿庄区期末）若多项式(k-1)x2+3x|k+2|+2为三次三项式，则k的值为．

14．（2023秋•荔城区期末）若关于x的多项式-2mx2-5x2+x2-2x