专题1.4 绝对值【八大题型】（举一反三）（人教版2024）（解析版）

专题1.4绝对值【八大题型】

【人教版2024】

【题型1绝对值的概念辨析】................................................................................................................................1

【题型2求一个数的绝对值】................................................................................................................................3

【题型3已知一个数的绝对值求该数】................................................................................................................4

【题型4化简绝对值】............................................................................................................................................6

【题型5由绝对值的非负性求值】........................................................................................................................7

【题型6解绝对值方程】........................................................................................................................................9

【题型7由绝对值的几何意义求最值】..............................................................................................................10

【题型8绝对值的应用】......................................................................................................................................13

知识点1：绝对值

1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a。

2）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：（1）如果a>0，那么a=a；（2）如果a=0，那么a=0；（3）如果a<0，那么a=-a．

ìa(a>0)

ïìa(a³0)ìa(a>0)

可整理为：a=í0(a=0)，或a=í，或a=í。

ïî-a(a<0)î-a(a£0)

î-a(a<0)

4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：|a|³0。

【题型1绝对值的概念辨析】

【例1】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）符号语言“|푎|=−푎(푎<0)”转化为文字表达，正确的是（）

A．一个正数的绝对值等于它本身

B．负数的绝对值等于它的相反数

C．非负数的绝对值等于它本身

D．0的绝对值等于0

【答案】B

【分析】根据已知条件푎<0依次判断即可.

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【详解】∵푎<0，

∴a为负数，

−푎表示a的相反数，

∴|푎|=−푎(푎<0)表示：负数的绝对值等于它的相反数.因此B选项正确.

故选：B

【点睛】本题主要考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键.

【变式1-1】（23-24七年级·陕西汉中·阶段练习）若|−푚|=−푚，下列푚的取值能使这个式子成立的是（）

A．−1B．1C．2D．푚取任何数

【答案】A

【分析】根据绝对值的性质得到−푚>0，即可判断．

【详解】解：∵|−푚|=−푚，

∴−푚>0，

∴푚<0，选项中只有−1符合，

故选：A．

【点睛】此题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反

数，正确掌握绝对值的性质是解题的关键．

【变式1-2】（23-24·福建莆田·七年级统考期末）下列说法正确的有（）

（1）有理数的绝对值一定比0大；

（2）有理数的相反数一定比0小；

（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；

（4）互为相反数的两个数的绝对值相等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【详解】分析:根据0的绝对值为0，互为相反数的绝对值相等，即可解答．

详解:(1)有理数的绝对值一定比0大，错误，例如，0的绝对值为0；

(2)有理数的相反数一定比0小，错误，例如，0的相反数为0；

(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或和相反数，故错误；

(4)互为相反数的两个数的绝对值相等，正确．

正确的有1个.

第2页共15页.

故选A.

点睛:本题考查了绝对值,相反数，解决本题的关键是熟记绝对值的性质,相反数的性质．

【变式1-3】（23-24七年级·宁夏吴忠·期中）任何一个有理数的绝对值在数轴上的位置是（）

A．原点右边B．原点两旁

C．原点及其右边D．整个数轴

【答案】C

【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义解答即可．

【详解】解：∵任何非0数的绝对值都大于0，

∴任何非0数的绝对值所表示的数总在原点的右侧，

∵0的绝对值是0，

∴0的绝对值表示的数在原点．

故选：C．

【点睛】本题考查的是绝对值及数轴的定义，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边表示

的数都大于0，原点左边表示的数都小于0；（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的

相反数，0的绝对值是0．

【题型2求一个数的绝对值】

【例2】（23-24七年级·上海宝山·期末）用“>”或“<”连接|−3.5|−33．

|5|

【答案】<

【分析】本题考查绝对值、有理数的大小比较，先化简绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可．

3

【详解】解：|−3.5|=3.5，−33=3=3.6，

|5|5

∵3.5<3.6，

∴|−3.5|<−33，

|5|

故答案为：<．

【变式2-1】（23-24七年级·河南信阳·阶段练习）−2024的绝对值是（）

11

．−2024．．．−

AB2024C2024D2024

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值的意义，根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相

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反数即可得出答案．

【详解】解：|−2024|=2024，

故选：B．

【变式2-2】（23-24七年级·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）

A．0B．−1C．−2D．1

【答案】C

【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．

先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．

【详解】解：∵|0|=0,|−1|=1,|−2|=2,|1|=1，

而2>1>0，

∴|−2|>|−1|=|1|>0，

故选：C．

【变式2-3】（23-24·内蒙古通辽·二模）0.2的相反数的绝对值为（）

A．−5B．0.2C．5D．−0.2

【答案】B

【分析】本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据绝对值的性质以及相反数

的定义进行解题即可．

【详解】解：0.2的相反数是−0.2，

|−0.2|=0.2，

则0.2的相反数的绝对值为0.2．

故选：B．

【题型3已知一个数的绝对值求该数】

【例3】（23-24·浙江金华·七年级校考期中）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（）

A．3B．−3C．|−푥|D．±3

【答案】D

【分析】本题考查相反数，绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可求解．

【详解】∵一个数x的相反数的绝对值为3，即|−푥|=3，

∴−푥=±3，

∴푥=±3．

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故选：D．

【变式3-1】（23-24七年级·四川眉山·阶段练习）一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是

（）

A．正数B．零C．负数D．非正数

【答案】D

【分析】此题主要考查绝对值性质，明确正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数这一知识点，

此题在此基础上判断正数、负数的绝对值即可．

【详解】解：∵正数的绝对值是它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0也是它的相反数，

∴一个有理数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数和0，即非正数，

故选：D．

【变式】（七年级湖北襄阳期中）一个数的绝对值是2，那么这个数为．若｜｜｜｜则

3-223-24··3-5=-a

a=

22222

【答案】或−−或±或或±5

33/33/35-5/-55/

2222

【分析】与原点的距离为的点有两个，从而可得或−的绝对值为,把=化为=5,结合与原

3333|−5||−푎||푎|

点的距离为5的点有两个，从而可得푎的值.

222

【详解】解：一个数的绝对值是，那么这个数为或−,

333

∵|−5|=|−푎|,即|푎|=5,

∴푎=5或푎=−5.

22

故答案为：或−,或

335-5

【点睛】本题考查的是绝对值的含义，已知一个数的绝对值，求这个数，掌握绝对值的含义是解题的关键.

5

【变式3-3】（23-24七年级·河北唐山·阶段练习）−的绝对值的相反数是．一个数的相反数的绝对

3

值等于这个数的绝对值的相反数，那么这个数是．

5

【答案】−0

3

【分析】根据已知及绝对值、相反数的性质，来确定即可．

55

【详解】解：−的绝对值是，

33

55

的相反数是−；

33

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设这个数为a，则由题意得|-a|=-|a|，即|a|=-|a|，

∴|a|=0即a=0，

5

故答案是：−，0．

3

【点睛】本题考查了绝对值、相反数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．

知识点2：化简绝对值

①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本

身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；

括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。

注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。

【题型4化简绝对值】

【例4】（23-24七年级·陕西汉中·阶段练习）如果|푚|=5，|푛|=4，且푚<푛，求푚+푛的值．

【答案】푚+푛的值为−9或−1

【分析】根据绝对值的性质“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，零的绝对值等于

零”，由此即可求解．

【详解】解：∵|푚|=5，|푛|=4，

∴푚=±5,푛=±4，

∵푚<푛，

∴푚=−5,푛=±4，

当푚=−5,푛=−4时，푚+푛=−5+(−4)=−9；当푚=−5,푛=4时，푚+푛=−5+4=−1；

∴푚+푛的值为−9或−1．

【点睛】本题主要考查绝对值的性质，掌握其性质的运用是解题的关键．

【变式4-1】（23-24七年级·湖北孝感·阶段练习）若0≤푎<1，则|푎|+|푎−1|=．

【答案】1

【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定푎−1<0，然后化简绝对值即可求解．

【详解】解：∵0≤푎<1，

∴푎−1<0，

∴|푎|+|푎−1|=푎+1−푎=1，

故答案为：1．

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【变式4-2】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）若푎<0，则|푎−(−푎)|等于（）

A．−푎B．0C．2푎D．−2푎

【答案】D

【分析】本题考查整式的运算，化简绝对值，根据去括号的法则，合并同类项的法则，绝对值的意义，进

行计算即可．

【详解】解：∵푎<0，

∴|푎−(−푎)|=|푎+푎|=|2푎|=−2푎；

故选D．

【变式4-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）已知有理数a、b、c的相应点A、B、C在数轴上的位置如图

所示，其中푂퐴=푂퐶．化简푎−|푎+푏|+|푐−푎|+|푐−푏|+|푎+푐|．

【答案】3푎

【分析】本题考查数轴上表示有理数、化简绝对值，整式的加减，根据数轴得出푎+푏<0，푐−푎<0，

푐−푏>0，푎+푐=0，再根据整式的加减运算化简即可．

【详解】解：由题意可得：

푎+푏<0，푐−푎<0，푐−푏>0，푎+푐=0，

所以原式=푎+푎+푏−푐+푎+푐−푏+0=3푎．

知识点3：绝对值的非负性

（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若|푎|+|푏|=0，则|푎|=0且

|푏|=0．（2）a³0。

【题型5由绝对值的非负性求值】

【例5】（23-24七年级·山西吕梁·阶段练习）如果有理数푥、푦满足|푥−3푦|+|2푥−1|=0那么푥、푦的值分别

为（）

1311

A．푥=，푦=B．푥=，푦=

2226

11

C．푥=−，푦=−D．푥=0，푦=0

26

【答案】B

【分析】本题考查绝对值的非负性，解方程，根据非负数的性质列式方程求解即可得到x、y的值是解题的

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关键．

【详解】解：∵|푥−3푦|+|2푥−1|=0，

∴푥−3푦=0，2푥−1=0，

11

解得：푥=，푦=，

26

故选B．

【变式5-1】（23-24七年级·福建泉州·期中）如果x为有理数，式子2023−|푥+2|存在最大值，这个最大值

是（）

A．2025B．2024C．2023D．2022

【答案】C

【分析】本题考查的是绝对值的非负性的含义，理解|푥+2|的最小值是0是解本题的关键．

【详解】解：∵x为有理数式子2023−|푥+2|存在最大值，

∴当|푥+2|=0，2023−|푥+2|最大为2023，

故选C．

1

【变式5-2】（23-24七年级·山东临沂·阶段练习）若|푎+2|+|푏−|=0，则푎푏=．

2

【答案】−1

1

【分析】本题考查的是绝对值非负性的应用，求解代数式的值，由绝对值的非负性可得푎=−2，푏=，再

2

代入计算即可．

1

【详解】解：|푎+2|+|푏−|=0，

∵2

1

푎+2=0，푏−=0，

∴2

1

解得：푎=−2，푏=，

2

1

푎푏=−2×=−1，

∴2

故答案为：−1．

【变式5-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|푥−3|+|푦+5|=0，求|푥+푦|的值．

【答案】2

【分析】

本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键．

由绝对值的非负性结合|푥−3|与|푦+5|的和为0可求解．

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【详解】解：由题意得：|푥−3|≥0，

|푦+5|≥0

∵|푥−3|+|푦+5|=0，

|푥−3|=0，

∴|푦+5|=0

解得：푥=3，

푦=−5

∴|푥+푦|=|3−5|=2．

【题型6解绝对值方程】

【例6】（23-24七年级·全国·竞赛）方程|2|푥|−2014|=2015的解有（）．

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】C

【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键．

根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可．

【详解】解：∵|2|푥|−2014|=2015，

∴2|푥|−2014=2015或2|푥|−2014=−2015（舍），

∴2|푥|=4029，

4029

∴푥=±

2

故答案为：C.

【变式6-1】（23-24七年级·湖南怀化·期末）当푥时，|푥−3|=3−푥．

【答案】푥≤3/3≥푥

【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的取值得出푥−3≤0求解即可得出答案．

【详解】∵|푥−3|=3−푥

∴푥−3≤0

解得푥≤3

故答案为：푥≤3．

【变式6-2】（23-24七年级·河南周口·期中）方程|2푥−1|=7的解为（）

A．푥=−3B．푥=4C．푥=4或푥=−3D．푥=−4或푥=3

【答案】C

【分析】由|2푥−1|=7，得到2푥+1=7或2푥+1=−7，分别解一元一次方程，即可求解，

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本题考查了，解绝对值方程，解题的关键是：熟练掌握解绝对值方程．

【详解】解：∵|2푥−1|=7，

∴2푥+1=7或2푥+1=−7，

解得：푥=4或푥=−3，

故选：C．

【变式6-3】（23-24七年级·福建泉州·阶段练习）关于푥的方程|푥+1|+|푥−3|=6的解是．

【答案】푥=4或푥=−2

【分析】本题考查了解绝对值方程．分푥≥3，−1<푥<3和푥<−1时三种情况讨论，分别列得方程，再解

方程可得．

【详解】解：当푥≥3时，

푥+1+푥−3=6，解得푥=4；

当−1<푥<3时,

푥+1−푥+3=6，此方程无解；

当푥<−1时,

−푥−1−푥+3=6，解得푥=−2；

故答案为：x=4或x=−2．

【题型7由绝对值的几何意义求最值】

【例7】（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）已知푥,푎,푏为互不相等的三个有理数，且푎>푏，若式子|푥−푎|+

|푥−푏|的最小值为3，则12+푎−푏的值为（）

A．12B．9C．18D．15

【答案】D

【分析】本题考查绝对值，有理数的减法等知识点，由数轴上|푥−푎|+|푥−푏|表示的几何意义，求出푎−푏的

值，即可得到答案．熟练掌握在数轴上绝对值的几何意义是解决此题的关键．

【详解】∵|푥−푎|+|푥−푏|的最小值为3，且푎>푏，

∴푎−푏=3，

∴푎=푏+3，

∴12+푎−푏

=12+푏+3−푏

=15

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故选：D

【变式7-1】（23-24七年级·江苏镇江·阶段练习）如图，若点퐴、퐵在数轴上分别表示有理数푎、푏，퐴、퐵两

点之间的距离表示为퐴퐵．则퐴퐵=|푎−푏|．所以式子|푥−3|的几何意义是数轴上表示有理数푥的点与表示有理

数3的点之间的距离．

根据上述材料，解答下列问题：

(1)若|푥−1|=2，则푥=；

(2)若|푥−5|=|푥+1|，则푥=；

(3)式子|푥−3|+|푥+2|的最小值为；

(4)若|푥−3|+|푥+2|=7，则푥=；

(5)式子|푥+2|+|푥−1|+|푥−3|的最小值为，此时푥=．

【答案】(1)3或−1

(2)2

(3)5

(4)4或−3

(5)5；1

【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解，

（2）根据绝对值的几何意义，确定푥在5和−1之间，化简后，即可求解，

（3）根据绝对值的几何意义，确定푥在3和−2之间，化简后，即可求解，

（4）根据绝对值的几何意义，分푥在−2左侧时，푥在3右侧时，两种情况，分别化简后，即可求解，

（5）根据绝对值的几何意义，确定푥在3和−2之间，|푥−3|+|푥+2|取最小值，当푥=1时，|푥−1|取最小值，

即可求解，

本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是：根据绝对值的几何意义，确定푥的范围．

【详解】（1）解：根据绝对值的几何意义，|푥−1|=2表示푥到1的距离等于2，

∴푥=3或푥=−1，

故答案为：3或−1，

（2）解：根据绝对值的几何意义，|푥−5|=|푥+1|表示푥到5的距离等于푥到−1的距离，

第11页共15页.

∴푥在5和−1之间，

∴5−푥=푥+1，

∴푥=2，

故答案为：2，

（3）解：根据绝对值的几何意义，|푥−3|+|푥+2|的最小值表示푥到3的距离与푥到−2的距离之和最小，

∴푥在3和−2之间的线段上，

|푥−3|+|푥+2|的最小值是3−푥+푥+2=5，

故答案为：5，

（4）解：根据绝对值的几何意义，|푥−3|+|푥+2|=7表示푥到3的距离与푥到−2的距离之和等于7，

当푥在−2左侧时，푥<2，3−푥+−푥−2=7，解得：푥=−3，

当푥在3右侧时，푥>3，푥−3+푥+2=7，解得：푥=4，

故答案为：4或−3，

（5）解：根据绝对值的几何意义，|푥+2|+|푥−1|+|푥−3|的最小值表示푥到−2的距离与푥到1的距离与푥到3

的距离之和最小，

由（3）可知푥在3和−2之间的线段上时，|푥−3|+|푥+2|取最小值5，

当푥=1时，|푥−1|取最小值0，

∴当푥=1时，|푥+2|+|푥−1|+|푥−3|取最小值5，

故答案为：5；1．

【变式7-2】（23-24七年级·重庆丰都·期末）有三个实数为푎,푏,푐，且푎<푏<푐，在数轴上分别对应的点是点

퐴,퐵,퐶，若|푎+푐|>|푎+푏+푐|，那么可能是数轴原点的是（）

A．点퐴B．点퐵

C．点퐶D．点퐴,퐵,퐶都不可能

【答案】D

【分析】本题主要考查了数轴以及绝对值．利用数轴上的点与实数一一对应，分别把A点，B点，C点看作

是数轴的原点，得到的结论与题目是否符合，即可．

【详解】如果点A是原点，那么0<푏<푐，此时|푎+푐|=|푐|<|푎+푏+푐|，不符合题意；

如果点B是原点，|푎+푐|=|푎+푏+푐|，不符合题意；

如果点C是原点，那么푎<푏<0，|푎+푐|=|푎|<|푎+푏+푐|，

∴A、B、C三点都不可能是原点．

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故选：D．

【变式7-3】（23-24七年级·四川绵阳·期中）函数푦=|푥−1|+|푥−푎|的最小值为3，则a的值为．

【答案】4或−2

【分析】本题考查了绝对值的定义，|푎|是指一个数푎到0的距离，根据函数푦=|푥−1|+|푥−푎|的最小值为3，

得出푥在1和푎的之间，且푦是1和푎的之间的距离为3，列式푦=|푎−1|=3，进行计算，即可作答．

【详解】解：∵푦=|푥−1|+|푥−푎|

∴根据绝对值的意义，푦是指푥到1和푥到푎的距离之和

∵函数푦=|푥−1|+|푥−푎|的最小值为3，

∴此时푥在1和푎的之间，且푦是1和푎的之间的距离为3

即푦=|푎−1|=3

∴푎−1=±3

∴4或−2

故答案为：4或−2．

知识点4：绝对值的应用

1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；

2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与

数的正负性无关；

3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。

【题型8绝对值的应用】

【例8】（23-24七年级·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点퐴与数轴上的原点重合，퐴퐵

是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运

动情况记录如下：+2,−1,+3,−4,−3，运动结束后퐴运动的路程共有．（保留π）

【答案】13π

【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程．本题主要考查了化简绝对值、绝对值

的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键．

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