第11讲 整式（3个知识点+8个考点+易错分析）解析版

第11讲整式（3个知识点+8个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.了解单项式、多项式、整式的概念

模块二基础知识全梳理（吃透教材）2.理解单项式的系数和次数的概念

模块三核心考点举一反三3.理解多项式中项、项的系数、多项式的次数等概念

模块四小试牛刀过关测4.了解整式在解决实际问题中的应用

知识点1.单项式

1

单项式的概念：如-2xy2，mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或

3

一个字母也是单项式．

要点归纳：（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个

数；③单独的一个字母．

st1

（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成st。但若分母中含有字母，

22

5

如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

m

单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点归纳：（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假

15

分数，如：1x2y写成x2y．

44

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

要点归纳：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：

第1页共26页.

（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；

（2）不能将数字的指数一同计算．

知识点2.多项式（重点）

1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．

要点归纳：“几个”是指两个或两个以上．

多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

要点归纳：（1）多项式的每一项包括它前面的符号．

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6x2-2x-7是一个三项式．

多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

要点归纳：（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．（2）一

个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

知识点3.整式（重点）

整式

单项式与多项式统称为整式．

要点：（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．

即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

易错点1.确定单项式的系数和次数时出错

单项式的系数包括前面的符号,且只与数字因数有关,而次数只与字母有关;确定系数时容易漏掉系数中的

“_”号和“π”.确定次数时注意不要把“π”的次数也计算在内

易错点2.混淆多项式次数和单项式次数

不要与单项式的次数混淆,误将所有字母的指数和作为多项式的次数

考点1：单项式的判断

1x＋14m

【例1】下列代数式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，单项式有()

32xn

A．4个B．5个C．6个D．7个

1

解析：2x，－ab2c，πr2，0，都符合单项式的定义，共4个．故选A.

3

第2页共26页.

方法总结：数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母

的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．

【变式1-1】（2023秋•赤坎区校级期末）下列式子是单项式的是()

A．a-1B．a2C．a+bD．a+b=1

【分析】直接利用数或字母的积组成的式子叫做单项式，即可得出答案．

【解答】解：A、a-1是多项式，不合题意；

B、a2是单项式，符合题意；

C、a+b是多项式，不合题意；

D、a+b=1是方程，不合题意．

故选：B．

【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握相关定义是解题关键．

【变式1-2】（2023秋•舟山期末）下列各式不是单项式的是()

b1

A．3B．aC．D．x2y

a2

【分析】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，找

出单项式即可．

b

【解答】解：因为式子的分母含有字母，

a

b

所以式子不是单项式．

a

故选：C．

【点评】此题考查的是单项式，掌握其定义是解决此题的关键．

m+n12R

【变式1-3】在代数式、2x2y、、-5、a、中，单项式的个数是（）

2xp

A．6B．5C．3D．4

【答案】D

【分析】根据单项式的概念即可判断．

m+n1

【详解】解：是多项式，不是整式，

2x

2R

则单项式有2x2y,-5,a,共4个，

p

故选：D．

【点睛】本题考查单项式的概念，属于基础题型．

考点2：确定单项式的系数和次数

【例2】分别写出下列单项式的系数和次数．

第3页共26页.

5ab3c22πxy2

(1)－ab2；(2)；(3).

73

解析：单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这

些字母的指数相加即可．

解：(1)单项式的系数是－1，次数是3；

5

(2)单项式的系数是，次数是6；

7

2π

(3)单项式的系数是，次数是3.

3

方法总结：(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假

分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独

一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字

母．

【变式2-1】单项式﹣23a2b3的系数和次数分别是（）

A．﹣2，8B．﹣2，5C．2，8D．﹣8，5

【分析】根据单项式的系数和次数的概念求解可得．

【解答】解：单项式﹣23a2b3的系数是﹣23＝﹣8，次数分别是2+3＝5，

故选：D．

【变式2-2】（2021•海南）下列整式中，是二次单项式的是（）

A．x2+1B．xyC．x2yD．﹣3x

【分析】根据单项式的次数的意义判断即可．

【解答】解：A．x2+1是多项式，故A不合题意；

B．xy是二次单项式，故B符合题意；

C．x2y是次数为3的单项式，故C不符合题意；

D．﹣3x是次数为1的单项式，故D不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．

【变式2-3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）填表：

3a2b3c4

单项式--3abpr3-22a3b5-x

23

系数

次数

34

【答案】-,-3,p,-4,-1,6,2,3,8,1

23

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【分析】先找出每个单项式中所有字母的指数，然后分别求得每个单项式中所有字母的指数和即可得到每

个单项式的次数，据此完成表格．

【详解】

3a2b3c4

单项式--3abpr3-22a3b5-x

23

34

系数--3p-4-1

23

次数62381

【点睛】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项式的系数和次数的定义是解题的关键．

考点3：单项式的应用

【例3】用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．

(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？

(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？

n

解析：(1)根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，

2

再根据系数、次数的定义进行解答即可；

(2)根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答．

解：(1)∵买2本练习册花了n元，

n11

∴买1本练习册花元，∴买m本练习册要花mn元，∴它的系数是，次数是2；

222

(2)∵正方体的棱长为a，

∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2；

它的体积是a3，系数是1，次数是3.

方法总结：此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题

意列出式子是本题的关键．

xy2

【变式1-1】（2023秋•路北区期中）已知a表示-5的相反数，b表示-2的立方，c表示-的系数，d

2

表示0.6的倒数．

（1）直接写出各字母所表示的数；

（2）计算a，b，c，d中所有负数的乘积，并判断结果是否为正整数．

【分析】（1）根据相反数、立方、单项式的系数、倒数的概念解答即可；

（2）根据有理数的乘法法则、正整数的概念解答．

15

【解答】解：（1）a=5，b=(-2)3=-8，c=-，d=；

23

第5页共26页.

1

（2）由题意得：(-8)´(-)=4，4是正整数，

2

\所有负数的乘积结果是正整数．

【点评】本题考查的是相反数、立方、单项式的系数、倒数，熟记它们的概念是解题的关键．

【变式1-2】写出满足条件的单项式．

（1）写出所有系数是2，且只含字母x和y的五次单项式；

（2）系数是-5，含a，b两个字母，且a的指数是2，单项式的次数是6；

9

（3）系数是-，次数是3，含x，y两个字母，且y的指数是2．

2

【分析】（1）直接利用单项式的定义分析得出答案；

（2）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案；

（3）根据单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和，可得答案．

【解答】解：（1）由题意可得：2x2y3，2x3y2，2x4y，2xy4；

（2）由题意可得：-5a2b4；

9

（3）由题意可得：-xy2．

2

【点评】本题考查了单项式，利用单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数和．

2

【变式1-3】．（2023秋•衡东县校级期中）已知单项式-xy2m-1与-22x2y2的次数相同．

3

（1）求m的值；

2

（2）求当x=-9，y=-2时单项式-xy2m-1的值．

3

【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值；

（2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解．

【解答】解：（1）根据题意得：1+2m-1=2+2，

解得：m=2；

22

（2）-xy2m-1=-xy3，

33

2

则当x=-9，y=-2时，原式=-´(-9)´(-8)=-48．

3

【点评】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的

值是关键．

【变式1-4】．（2023秋•蓬江区校级月考）已知x2y|a|+(b+2)是关于x、y的五次单项式，求a2-3ab的值．

【分析】根据单项式及单项式次数的定义，可得出a、b的值，代入代数式即可得出答案．

2|a|

【解答】解：Qxy+(b+2)是关于x，y的五次单项式，

第6页共26页.

ì2+|a|=5

\í，

îb+2=0

ìa=±3

解得：í，

îb=-2

则当a=-3，b=-2时，a2-3ab=9-18=-9；

当a=3，b=-2时，a2-3ab=9+18=27．

【点评】本题考查了单项式的知识，属于基础题，掌握单项式的定义及单项式次数的定义是解答本题的关

键．

考点4：单项式、多项式与整式的识别

【例4】指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？

a＋b112

x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.

3x7x2＋x

解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．

21

解：，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．

x2＋xx

1

单项式有：－x，10，m2n，a7；

7

a＋b

多项式有：x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；

3

a＋b1

整式有：x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.

37

方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、

减运算，多项式必含加、减运算．

m+n1x

【变式4-1】．（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列式子：，2x3y，，，a，2x-y中，多项式的个数是

2x3

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】根据多项式的定义进行判断作答即可．

m+n

【详解】解：由题意知，，2x-y是多项式，符合要求；

2

故选：B．

【点睛】本题考查了多项式．解题的关键在于熟练掌握：几个单项式的和（或差）叫做多项式．

【变式4-2】．（2023秋·全国·七年级课堂例题）把下列式子分别填在相应的大括号内：

12n-3pa-bm2n2

-x,a2-,,,-7,9,．

3m35

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单项式：{…}；

多项式：{…}

整式：{…}．

22

ìmnüì21a-bü

【答案】单项式：í-x,-7,9,,Lý；多项式：ía-,,Lý；整式：

î5þî33þ

22

ì21a-bmnü

í-x,a-,,-7,9,,Lý

î335þ

【分析】根据整式的分类，单项式和多项式的定义进行判断即可．

ìm2n2ü

【详解】解：单项式：í-x,-7,9,,Lý；

î5þ

ì21a-bü

多项式：ía-,,Lý；

î33þ

22

ì21a-bmnü

整式：í-x,a-,,-7,9,,Lý．

î335þ

【点睛】本题主要考查了整式的分类，解题的关键是熟练掌握单项式和多项式的定义．

【变式4-3】.把下列各代数式的序号填入相应集合的括号内：

11m2+n22

①2a2b+ab2；②a-；③0；④；⑤﹣mn；⑥2x﹣3y=5；⑦2a+6abc+3k

3b35

单项式集合：{}；

多项式集合：{}；

二项式集合：{}．

【答案】单项式集合：{③，⑤，……}；多项式集合：{①，④，⑦，……}；二项式集合：{①，

④，……}

【分析】根据单项式的定义，由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是

单项式和多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式判断即可；

【详解】解：单项式集合：{③，⑤，……}；

多项式集合：{①，④，⑦，……}；

二项式集合：{①，④，……}

【点睛】本题主要考查了单项式和多项式的判定，准确分析判断是解题的关键．

考点5：确定多项式的项数和次数

【例5】写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．

2

(1)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.

3

解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，

可得答案．

第8页共26页.

2

解：(1)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；

3

(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；

(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式．

方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各

项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．

【变式5-1】（2023秋•莲都区期末）多项式x2y-xy-1的次数和常数项分别是()

A．3，1B．3，-1C．5，1D．5，-1

【分析】根据多项式的次数及常数项的定义即可求得答案．

【解答】解：多项式x2y-xy-1中的项为x2y，-xy，-1，

它们的次数分别为2+1=3，1+1=2，0，

那么多项式的次数为3，其中-1为常数项，

故选：B．

【点评】本题考查多项式的次数及常数项，熟练掌握其定义是解题的关键．

1

【变式5-2】．（2023秋•庆阳期末）多项式x2+3xy2-z-1的一次项系数是()

2

1

A．3B．1C．-D．-1

2

【分析】根据多项式的项与系数即可求得答案．

111

【解答】解：多项式x2+3xy2-z-1的一次项是-z，其系数是-，

222

故选：C．

【点评】本题考查多项式，熟练掌握其定义是解题的关键．

【变式5-3】．（2023秋•山阳县期末）对于多项式x2-5x-6，下列说法正确的是()

A．它是三次三项式B．它的常数项是6

C．它的一次项系数是-5D．它的二次项系数是2

【分析】利用多项式相关定义进行解答即可．

【解答】解：A、它是二次三项式，故原题说法错误；

B、它的常数项是-6，故原题说法错误；

C、它的一次项系数是-5，故原题说法正确；

D、它的二次项系数是1，故原题说法错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，

其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．

【变式5-4】．（2023秋•赣州期末）多项式m3n4-5m3n5+3的项数和次数分别为()

第9页共26页.

A．2，7B．3，8C．2，8D．3，7

【分析】多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，根据

这个定义即可判定．

【解答】解：m3n4-5m3n5+3是八次三项式，故项数是3，次数是8．

故选：B．

【点评】此题考查了多项式的定义．解题的关键是掌握多项式的有关定义，多项式中每个单项式叫做多项

式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．

考点6：根据多项式的概念求字母的取值

【例6】已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．

解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．

解：由题意得m＋2＝6，

解得m＝4，

此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.

方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．

【变式6-1】．（2023秋•武功县期末）已知关于x、y的多项式-x2y3-10xm+1y3-xy+9x-3是七次五项式，

n是五次项的系数，求m，n的值．

【分析】根据关于x、y的多项式-x2y3-10xm+1y3-xy+9x-3是七次五项式得m+1+3=7，由此可求出m

的值，进而再根据n是五次项的系数求出n的值即可．

23m+13

【解答】解：Q关于x、y的多项式-xy-10xy-xy+9x-3是七次五项式，

\m+1+3=7，

解得：m=3，

又Qn是五次项的系数，

\n=-1．

【点评】此题主要考查了多项式的定义，熟练掌握多项式的定义，理解多项式的次数和项数是解决问题的

关键．

【变式6-2】．（2023秋•合阳县期末）已知关于x、y的多项式xy3-3x4+x2ym+2-5mn是五次四项式(m，

n为有理数），且单项式5x4-myn-3的次数与该多项式的次数相同．求m，n的值．

【分析】根据多项式的次数、项的定义得出2+m+2=5，-5mn¹0，即可求出m的值，再根据单项式的次

数的定义得出4-m+n-3=5，即可求出n的值．

342m+2

【解答】解：Q关于x、y的多项式xy-3x+xy-5mn是五次四项式，

\2+m+2=5，-5mn¹0，

\m=1，n¹0，

4-mn-3

Q单项式5xy的次数与该多项式的次数相同，

第10页共26页.

\单项式5x4-myn-3的次数为五次，

\4-m+n-3=5，

\4-1+n-3=5，

\n=5．

【点评】本题考查了多项式的项、次数，单项式的次数，熟练掌握这几个定义是解题的关键．

【变式6-3】．（2023秋•汉阴县期末）已知关于m，n的多项式m2n3+mn2-10ma+3n-4b是六次四项式，

常数项是2．求a，b的值．

【分析】利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出a+3+1=6，-4b=2是解题关键．

232a+3

【解答】解：Q多项式mn+mn-10mn-4b是六次四项式，常数项是2，

\a+3+1=6，-4b=2，

1

解得：a=2,b=-．

2

【点评】本题主要考查了多项式与单项式的次数，利用多项式与单项式的次数与系数的确定方法得出

a+3+1=6，-4b=2是解题关键．

【变式6-4】．（2023秋•东丰县期末）已知多项式x2ym+1+xy2-3x3-6是六次四项式，单项式6x2ny5-m

的次数与这个多项式的次数相同，求m+n的值．

【分析】根据已知得出方程2+m+1=6，求出m=3，根据已知得出方程2n+5-m=6，求出方程的解即可．

2m+123

【解答】解：Q多项式xy+xy-3x-6是六次四项式，

\2+m+1=6，

\m=3，

2n5-m

Q单项式6xy的次数与这个多项式的次数相同，

\2n+5-m=6，

\2n=1+3=4，

\n=2．

\m+n=3+2=5．

【点评】本题考查了多项式的有关内容的应用，注意：多项式中次数最高的项的次数叫多项式的次数．

考点7：多项式中不含某项问题

【例7】若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．

解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.

解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，

∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.

方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.

第11页共26页.

1

【变式7-1】．（2023秋•辉县市期中）对于多项式x|m|-(m-3)x+k2-1

2

（1）若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值．

（2）若此关于x的多项式不含常数项，求k的值．

【分析】（1）利用多项式的定义进行解答即可；

（2）关于x的多项式不含常数项，得出k2-1=0，再进行计算即可解答．

ìm=3

【解答】解：（1）由题意可知í

î-(m-3)¹0,

所以m=-3；

（2）由题意可知k2-1=0，

k2=1，

所以k=1或-1．

【点评】此题主要考查了多项式的定义及整式的加减，正确把握其次数与系数是解题关键．

【变式7-2】若关于x的多项式x3-5x2-(2m-1)x2+(2-3n)x-1不含二次项和一次项，求m，n的值．

【分析】根据多项式不含二次项与一次项，得到两项系数为0，即可求出m与n的值．

332

【解答】解：Q多项式x-5x-(2m-1)x+(2-3n)x-1不含二次项和一次项，

\2m-1=0，2-3n=0，

12

解得：m=，n=．

23

【点评】此题考查了多项式中不含x的几次项问题，熟练掌握多项式合并是解本题的关键．

【变式7-3】．（2022秋•虎林市校级期中）（1）已知多项式-3x3ym+1+xy3+(n-1)x2y2-4是六次三项式，

求(m+1)2n-3的值．

（2）关于x，y的多项式(3a+2)x2+(9a+10b)xy-x+2y+7不含二次项，求3a-5b的值．

【分析】（1）首先根据多项式是六次三项式确定m、n的值，从而代入代数式求解即可．

（2）由于多项式(3a+2)x2+(9a+10b)xy-x+2y+7不含二次项，则3a+2=0，9a+10b=0，求出a、b

的值后再代入代数式即可求代数式的值．

【解答】解：（1）由题意可知，多项式最高项的次数为6，所以m+1=3，

因为多项式为三项式，所以n-1=0，

所以m=2，n=1，

所以(m+1)2n-3=(2+1)2-3=6

（2）由题意可得，3a+2=0且9a+10b=0，

所以3a=-2，9a=-6，10b=6，5b=3，

所以3a-5b=-2-3=-5

第12页共26页.

【点评】本题考查了多项式的知识，解题的关键是能够确定多项式的次数，难度不大．

【变式7-4】．（2023秋•巴东县期末）已知二项式-x3y2-2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为

b，且a，b在数轴上对应的点分别为A，B，点C为数轴上任意一点，对应的数为c．

（1）a=，b=，并在数轴上标出A，B；

（2）当点C为线段AB的三等分点时，求c的值；

（3）在（2）的条件下，若点C离点B较近时，点P、Q、M分别从点A、B、C同时向左运动，其速度

分别为每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度．是否存在常数k，使kQM-3PQ为定值，若存

在，求k的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据多项式的系数和次数的定义得出即可；

（2）由（1）得出线段AB的长度，再根据三等分点的定义得出c的值；

（3）根据已知条件得出线段QM、PQ的长度，设运动时间为x秒，代入kQM-3PQ，分类讨论得出代数

式中含有x的项，因为kQM-3PQ为定值，所以含有x项的系数为0，得出k的值即可．

【解答】解：（1）二项式-x3y2-2中，系数是-1，次数是5，

故答案为：-1，5．

（2）Qa=-1，b=5，

\AB=6，

Q当点C为线段AB的三等分点，

\C点表示的数为1或3．

\c的值为1或3．

（3）存在，

Q在（2）的条件下，若点C离点B较近，

\c=3，

设运动时间为x秒，

根据题意得，PQ=3-x-(-1-2x)=x+4，QM=|5-4x-(3-x)|=|2-3x|，

\kQM-3PQ=k|2-3x|-3(x+4)

2

当0<x<时，

3

kQM-3PQ=k(2-3x)-3(x+4)=2k-3kx-3x-12=(-3k-3)x+2k-12，

QkQM-3PQ为定值，

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\-3k-3=0，

\k=-1，

不符合题意，舍去；

2

当„x时，

3

kQM-3PQ=k(3x-2)-3(x+4)=3kx-2k-3x-12=(3k-3)x-2k-12，

QkQM-3PQ为定值，

\3k-3=0，

\k=1．

【点评】本题考查了数轴，多项式的系数和次数，解题关键是能够利用数轴表示出线段的长度．

考点8：多项式的应用

【例8】如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四

个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方

米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？

解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积．

解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．

方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数

量关系和运算顺序．

【变式8-1】．（2023秋•山阳县期末）如图是某居民小区的一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了

美化环境，准备在这块长方形空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，然后在花台内种花，其

余种草．（单位：m)

（1）请用含a，b的式子表示种草的面积；

（2）当a=10，b=35时，求种草的面积．(p取3.14)

【分析】（1）根据种草面积=长方形面积-一个半径为a米的圆的面积，列出代数式进行计算即可；

（2）把a=10，b=35代入（1）中所求代数式，进行计算即可．

【解答】解：（1）由题意得：2a×b-p´a2=(2ab-pa2)平方米，

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\种草的面积为(2ab-pa2)平方米；

（2）当a=10，b=35时，种草的面积为：

2ab-pa2

=2´10´35-3.14´102

=2´10´35-3.14´100

=700-314

=386（平方米），

答：种草的面积为386平方米．

【点评】本题主要考查了列代数式和代数式求值，解题关键是理解题意，列出代数式．

【变式8-2】如图是某居民小区的一块长为4a米，宽为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个

长方形的四个顶点处各修一个半径为a米的四分之一圆形花台，然后在花坛内种花，其余植草．（本题

中的取3.14)

（1）请用含a，b的式子表示种花的面积和种草的面积．

（2）如果a=10，b=20.1，且建造花台及种花费用每平方米需要资金100元，种草每平方米需要资金50

元，那么美化这块空地共需资金多少元？

【分析】（1）由已知图形是长方形，四角都有一块半径相同的四分之一圆形的花台，所以四角花台构成一

个正圆，则种草的面积等于长方形的面积减去半径为a的圆的面积；

（2）把a=10，b=20.1代入（1）中式子，再分别乘以各自的单价，相加即可求解．

【解答】解：（1）种花的面积为：3.14´a2=3.14a2平方米；

种草的面积为：(4ab-3.14a2)平方米；

（2）当a=10，b=20.1时，

3.14a2´100+(4ab-3.14a2)´50

=3.14´102´100+(4´10´20.1-3.14´102)´50

=314´100+(804-314)´50

=31400+490´50

=55900（元)．

答：美化这块空地共需资金55900元．

【点评】此题考查列代数式，关键是观察图形，要明确种草的面积等于长方形的面积减去半径为a的圆的面

积．

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【变式8-3】．（2023秋•市中区期中）如图，某居民小区有一块长为a，宽为2b的长方形空地．为了美化

环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处修建一个半径为b的扇形花台，其余部分铺设草坪．

（1）草坪（阴影部分）的周长为，面积为．（结果用含有a，b，p的式子表示）

（2）如果铺设草坪的费用为每平方米50元．当a=6米，b=2米，p取3时，铺设草坪共需多少元？

【分析】（1）结合图形及已知条件列得代数式即可；

（2）结合（1）中所求列式计算即可．

【解答】解：（1）2(a-2b)-p´2b=2a-4b+2pb；

a×2b-pb2=2ab-pb2；

即草坪（阴影部分）的周长为2a-4b+2pb；面积为2ab-pb2，

故答案为：2a-4b+2pb；2ab-pb2；

（2）当a=6米，b=2米，p取3时，

2ab-pb2=2´6´2-3´22=12（平方米），

则12´50=600（元)，

即铺设草坪共需600元．

【点评】本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．

【变式8-4】（2023秋•武汉期末）A、B为数轴上的两个点，点A对应的数记为a，点B对应的数记为b，

且8xyb-10+(a+8)xy-1是关于x、y的三次二项式．解答下列问题：

（1）a=，b=；

（2）若数轴上有一点C，且3AC=BC，求点C对应的数；

（3）若点M、N分别从O、B出发，同时向左匀速运动，点M的速度为m个单位长度每秒，点N的速度

是3个单位长度每秒，点P、Q分别为线段AM、线段BN的中点．设运动时间为t秒，在点M，N的运

动过程中，若PQ+MN的长度与t的取值无关，求m的值及PQ+MN的长度．

【分析】（1）根据多项式为关于x、y的三次二项式，得出1+b-10=3，a+8=0，从而求出a、b的值；

（2）设点C对应的数为x，且3AC=BC，判断出点C在点B的左边，于是有3|-8-x|=12-x，即可求出

x的值；

（3）t秒后，M对应的数为-mt，N对应的数为12-3t，根据数轴上中点的定义即可表示出中点的坐标，

再计算MN、PQ的长，根据PQ+MN的长度与t的取值无关，即t的系数为0，从而得解．

第16页共26页.

【解答】解：（1）若8xyb-10+(a+8)xy-1是关于x、y的三次二项式，

则1+b-10=3，a+8=0，

解得a=-8，b=12，

故答案为：-8，12；

（2）设点C对应的数为x，

Q3AC=BC，

\点C在点B的左边，

\3|-8-x|=12-x，

解得x=-18或x=-3，

即点C对应的数为-3或-18；

（3）t秒后，M对应的数为：-mt，N对应的数为：12-3t，

QP、Q为AM、BN的中点，

-8-mt24-3t

\P点对应的数为：，Q点对应的数为：，

22

\MN=|-mt-12+3t|=|(3-m)t-12|

-8-mt24-3t

\PQ=|-|

22

-32-mt+3t

=||

2

(3-m)t-32

=||，

2

QPQ+MN的长度与t无关，

\m=3，

\PQ+MN=16+12=28．

【点评】本题考查了多项式，数轴上两点之间的距离，中点坐标的求法，熟练掌握多项式的项、次数的定

义是解题的关键．

考点9：整式的规律探究

【例9】用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则第n个“口”字需要用棋子（）

A．（4n﹣4）枚B．4n枚C．（4n+4）枚D．n2枚

【答案】B

【分析】观察图形可知，构成每个“口”字的棋子数量，等于构成边长为(n+1)的正方形所需要的棋子数量减

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去构成边长为(n+1-2)的正方形所需要的棋子数量.

【详解】解：由图可知第n个“口”字需要用棋子的数量为(n+1)2-(n+1-2)2=4n,

故选择B.

【点睛】本题考查了规律的探索.

【变式9-1】．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）观察下列单项式：-x，2x2，-3x3，4x4，…，根据

你发现的规律，第10个单项式为_____________．

【答案】10x10

【分析】根据第2、4、6个单项式归纳类推出一般规律，由此即可得．

【详解】解：观察可知，第2个单项式为2x2，

第4个单项式为4x4，

第6个单项式为6x6，

归纳类推得：第n个单项式为nxn，其中n为偶数，

所以第10个单项式为10x10，

故答案为：10x10．

【点睛】本题考查了单项式的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

【变式9-2】如图所示，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列各图：则第n个图形

中需要用黑色瓷砖块．（用含n的代数式表示）

【答案】（4n+4）

【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．

【详解】第1个图形中有黑色瓷砖（1+2）2﹣12＝8块；

第2个图形中有黑色瓷砖（2+2）2﹣22＝12块；

第3个图形中有黑色瓷砖（3+2）2﹣32＝16块；

…

第n个图形中有黑色瓷砖（n+2）2﹣n2＝4n+4块；

故答案为（4n+4）．

【点睛】考查了图形的变化规律，找到图形的变化规律是解答本题的关键，难度不大．

【变式9-3】（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，

第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的

根数为．（用含n的式子表示）

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【分析】第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝

3×6，第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，…，据此可求得第n个图案所需要的火柴棍的

根数．

【解答】解：∵第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，

第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6，

第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，

…，

∴第n个图案需要火柴棍的根数为：3（2n+2）＝6n+6．

故答案为：6n+6．

【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给图形分析出图形变化的规律

【变式9-4】.观察下列图形：

它们是按一定规律排列的．

(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？

(2)摆成第n个图案需要几个五角星？

(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？

解析：通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．

解：(1)根据题意得∵第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个

图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20

个图中五角星有3×20＝60个．

(2)由(1)可知，摆成第n个图案需要3n个五角星．

(3)摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045(个)．

方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成

第n个图案需要3n枚五角星．

一．选择题（共6小题）

51

1．（2024•肇源县开学）在代数式x2+5，-1，x2-3x+2，p，，x2+中，整式有()

xx+1

A．3个B．4个C．5个D．6个

【分析】根据整式的定义进行解答．

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51

【解答】解：和x2+分母中含有未知数，则不是整式，其余的都是整式．

xx+1

故选：B．

【点评】本题重点对整式定义的考查：整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种

运算，但在整式中除数不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．

2．（2023秋•法库县期末）下列说法正确的是()

A．整式就是多项式B．p是单项式

3x-1

C．x4+2x3是七次二项式