专题1.2 有理数和数轴【九大题型】（举一反三）（人教版2024）（原卷版）

专题1.2有理数和数轴【九大题型】

【人教版2024】

【题型1有理数的相关概念】................................................................................................................................2

【题型2有理数的分类】........................................................................................................................................2

【题型3数轴的三要素及其画法】........................................................................................................................4

【题型4用数轴上的点表示有理数】....................................................................................................................4

【题型5利用数轴比较有理数的大小】................................................................................................................5

【题型6数轴上两点之间的距离】........................................................................................................................5

【题型7数轴上的整点问题】................................................................................................................................6

【题型8数轴中点的简单移动】............................................................................................................................6

【题型9应用数轴解决实际问题】......................................................................................................................7

知识点1：有理数的相关概念

1）整数：正整数、0、负整数统称为整数。

2）分数：正分数、负分数统称为分数。

1

正分数：像，0.24，50%等这样的数叫作正分数；

3

1

负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数；

2

有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。

q

3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为

p

0）。

正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数；

负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数；

整数和分数统称为有理数。

4）有理数的两种分类：

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【题型1有理数的相关概念】

【例1】（23-24七年级下·上海黄浦·期中）下列说法正确的是（）

A．自然数就是非负整数B．正数和负数统称为有理数

C．零是最小的有理数D．有最小的正整数，没有最大的负整数

【变式1-1】（23-24七年级上·吉林长春·期末）下列说法中，错误的是（）

A．所有整数都是有理数B．所有小数都是有理数

C．所有分数都是有理数D．휋不是有理数

【变式1-2】（23-24七年级上·广西贺州·期末）下列关于有理数的说法正确的是（）

A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类

B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合

C．0既不属于整数也不属于分数

D．整数和分数统称为有理数

【变式1-3】（23-24七年级上·北京丰台·阶段练习）下列说法中：

①0是最小的整数；

②有理数不是正数就是负数；

③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；

④非负数就是正数；

휋

不仅是有理数，而且是分数；

⑤−2

⑥带“−”号的数一定是负数；

⑦无限小数不都是有理数；

⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；

其中错误的说法的个数为（）

A．7个B．6个C．5个D．4个

【题型2有理数的分类】

9

【例2】（23-24七年级上·河北保定·期末）对于下列各数：−5，0，，−0.2，10%，8，其中说法错误的是

2

（）

9

A．−5，0，8都是整数B．分数有，−0.2，10%

2

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9

C．正数有，10%，8D．−0.2是负有理数，但不是分数

2

【变式2-1】（23-24七年级上·全国·课后作业）给出一个数-107.987及下列判断：

①这个数不是分数，但是有理数；

②这个数是负数，也是分数；

③这个数不是有理数；

④这个数是负小数，也是负分数.

其中正确判断的序号是．

π22

【变式】（七年级上四川南充阶段练习）在−，3.1415，0，−0.333…，−，2.010010001…中，

2-223-24··37

非负数的个数（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【变式2-3】（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号里：−7，3.5，−3.14，

131

휋，0，，0.03，−3，10，25%．

172

正有理数集合{…}；

非负整数集合{…}；

整数集合{…}；

正分数集合{…}．

知识点2：数轴

1）数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．

原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。

2）数轴的画法

①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；

②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；

③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。

3）有理数与数轴的关系

①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。

②数轴上的点并不全是有理数，如π也可以在数轴上表示，但π并不是有理数。

③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。

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④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。

注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。

【题型3数轴的三要素及其画法】

【例3】（23-24七年级上·广西百色·期末）下列数轴正确的是（）

A．B．

C．D．

【变式3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期中）已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直

线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（）

A．数轴是以小明所在的位置为原点

B．数轴采用向北为正方向

5

C．小刚所在的位置对应的数有可能是−

3

D．小颖和小红间的距离为7

【变式3-2】（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）有关数轴的画法，下列说法中，错误的是（）

A．原点位置可以是数轴上任意一点

B．一般情况下，取从左到右的方向为数轴的正方向

C．数轴的单位长度可根据实际需要任意选取

D．数轴上每两个刻度之间的长度都等于1cm

【变式3-3】（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分

别对应的数为−5，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B

对应刻度2.4cm，点C对齐刻度6.4cm，则数轴上点B所对应的数b为．

【题型4用数轴上的点表示有理数】

【例4】（2024·河南平顶山·一模）已知点P在数轴上，且到原点的距离大于2，写出一个点P表示的负

数：．

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【变式4-1】（2024·吉林长春·一模）如图，数轴上点A表示的数是2024，푂퐴=푂퐵，则点B表示的数是

（）

11

．．−2024．．−

A2024BC2024D2024

【变式4-2】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，比数轴上的点A表示的数大1的数是（）

A．−1B．0C．1D．2

【变式4-3】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示数a的点与原点的距离是4，那么푎=．

【题型5利用数轴比较有理数的大小】

【例5】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（）

A．푎<0B．푏>0C．푎>0D．푎<푏

【变式5-1】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）比较大小：有理数푎在数轴上的位置如下图所示，则푎

0．

【变式5-2】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．

1

−3，+1，2，−1.5

2

（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：．

【变式5-3】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点푃表示的数可能是（）

7531

A．−B．−C．−D．−

2222

【题型6数轴上两点之间的距离】

【例6】（2024·陕西汉中·二模）点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为−3，퐴퐵=7，则点B

表示的数为．

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【变式6-1】（23-24七年级上·新疆阿克苏·阶段练习）在数轴上，表示−5的点到原点的距离是（）

A．5B．−5C．10D．−10

【变式6-2】（2024·湖南株洲·一模）如图，点퐴、퐵在数轴上对应的数分别是−2和3，则퐴퐵的长度为．

【变式6-3】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）正方形퐴퐵퐶퐷的边长퐴퐵=2，其顶点A在数轴上且表示的

数为−1，若点E也在数轴上且퐴퐵=퐴퐸，则点E所表示的数为（）

A．−3B．3C．−3或1D．−3或3

【题型7数轴上的整点问题】

【例7】（23-24七年级上·全国·课堂例题）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，请根据图中的数值，判

断墨迹盖住部分的整数有个．

【变式7-1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示2.5和−1.13之间的整数有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

【变式7-2】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判

断墨迹盖住的整数个数是（）

A．2B．3C．4D．5

【变式7-3】（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所

有整数个数为．

【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加法，熟练掌握有理数加法法则是解题的关键

【题型8数轴中点的简单移动】

【例8】（23-24七年级上·江苏常州·期中）如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的

数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（）

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A．2휋B．2휋+1C．2휋−1D．4휋

【变式8-1】（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在数轴上点퐴表示的数是1，则点퐵表示的数是．

【变式8-2】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，点M在数轴上表示的数是9

（1）若将点N先向左移动4个单位长度，再向右移动6个单位长度，得到点M，则点N表示的数为．

（2）若将点M在数轴上移动4个单位长度，这时点M表示的数是．

【变式8-3】（23-24七年级上·河北唐山·期中）点퐴在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，若将

点A向右移动5个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时点퐴表示的数是．

【题型9应用数轴解决实际问题】

【例9】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行3km到达