第17讲 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项（人教版）（解析版）

第17讲解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

【人教版】

·模块一利用“合并同类项”解一元一次方程

·模块二利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程

·模块三课后作业

模块一利用“合并同类项”解一元一次方程

【考点1利用“合并同类项”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）补全下列解方程的过程：

（1）6푥−푥=4．

解：合并同类项，得=4．

系数化为1，得푥=．

（2）−4푥+6푥−0.5푥=−0.3．

解：合并同类项，得=−0.3．

系数化为1，得푥=．

4

【答案】5푥1.5푥−0.2

5

【分析】（1）根据合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；

（1）根据合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．

【详解】（1）6푥−푥=4．

解：合并同类项，得5푥=4．

4

系数化为，得푥=．

15

4

故答案为：5푥，；

5

（2）−4푥+6푥−0.5푥=−0.3．

解：合并同类项，得1.5푥=−0.3．

系数化为1，得푥=−0.2．

故答案为：1.5푥，−0.2．

第1页共27页.

【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．

【例1.2】（2023七年级·全国·课后作业）解下列方程时，合并同类项不正确的是（）

A．5푥−4푥=1，合并同类项，得푥=1

B．3푥−5푥=−2，合并同类项，得−2푥=−2

C．2푥−3푥−4푥=1，合并同类项，得푥=1

115

D．푥+푥=2，合并同类项，得푥=2

236

【答案】C

【分析】

本题考查了解一元一次方程的合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键；

根据合并同类项法则逐项判定即可．

【详解】A．5푥−4푥=1，合并同类项，得(5−4)푥=1，即푥=1，计算正确，故选项不符合题意；

B．3푥−5푥=−2，合并同类项，得(3−5)푥=−2即−2푥=−2，计算正确，故选项不符合题意；

C．2푥−3푥−4푥=1，合并同类项，得(2−3−4)푥=1，即−5푥=1，计算错误，故选项符合题意；

115

D．푥+푥=2，合并同类项，得1+1푥=2即푥=2，计算正确，故选项不符合题意；

23236

故选：C．

【例1.3】（2023六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程

3

푥=15

(1)8

3

푥−50%푥=

(2)10

【答案】(1)푥=40

3

푥=

(2)5

【分析】本题考查解方程，方程中含有百分数，先把百分数化成分数，再依据等式的性质，解方程．

（）两边同时除以3即可解题；

18

（2）先合并，然后两边同时乘以2解题即可．

3

【详解】（）解：푥=15

18

33

两边同时除以得：푥=15÷，

88

第2页共27页.

解得：푥=40；

3

（）푥−50%푥=

210

13

合并得：푥=，

210

3

两边同时乘以得：푥=．

25

【变式1.1】（2023七年级·全国·课后作业）解下列方程：

(1)2푥+3푥+4푥=18

(2)13푥−15푥+푥=−3

(3)2.5푦+10푦−6푦=15−21.5

122

(4)푏−푏+푏=×6−1．

233

【答案】(1)푥=2

(2)푥=3

(3)푦=−1

18

푏=

(4)5

【分析】先合并同类项，再解一元一次方程即可．

【详解】（1）解：2푥+3푥+4푥=18；

合并同类项得，9푥=18

解得푥=2；

（2）解：13푥−15푥+푥=−3；

合并同类项得，−푥=−3

解得푥=3；

（3）解：2.5푦+10푦−6푦=15−21.5；

合并同类项得，6.5푦=−6.5

解得푦=−1；

122

（4）解：푏−푏+푏=×6−1．

233

5

合并同类项得，푏=3

6

第3页共27页.

18

解得푏=．

5

【点睛】本题考查了解一元一次方程，合并同类项正确计算是解题的关键．

【变式1.2】（2023七年级·全国·专题练习）判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因：

(1)−6푥+3푥=−1−8．

解：合并同类项，得−9푥=−9．系数化为1，得푥=1．

(2)5푥+4푥=18．

解：合并同类项，得9푥=18．

1

系数化为1，得푥=．

2

【答案】(1)不正确，见解析

(2)不正确，见解析

【分析】本题考查了解一元一次方程；

（1）合并同类项时系数−6+3=−3，不是−9，系数化成1即可；

（2）合并同类项，系数化成1（两边都除以9）即可．

【详解】（1）不正确，

理由是：∵−6푥+3푥=−1−8，

合并同类项得：−3푥=−9，

系数化成1得：푥=3．

（2）不正确，

理由是：5푥+4푥=18，

合并同类项得：9푥=18，

系数化成1得：푥=2．

【变式1.3】（2023七年级·福建厦门·期中）解方程：

3

(1)7푥−3푥=×8−2

4

(2)2푥−7=5푥+1

第①步骤的名称是___________

第②合并同类项

第③系数化为1这一步骤的依据是___________．

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【答案】(1)푥=1

(2)见解析

【分析】（1）合并同类项，系数化为1即可求解；

（2）根据移项，合并同类项，系数化为1解方程，再根据等式的基本性质填空．

3

【详解】（1）解：7푥−3푥=×8−2，

4

4푥=6−2，

4푥=4，

解得：푥=1；

（2）第①步骤的名称是移项；

第②合并同类项；

第③系数化为1这一步骤的依据是等式的基本性质．

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【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、

去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键．

【考点2列方程解决“总量=各部分量的和”问题】

【例2.1】（2023七年级·全国·课堂例题）挖一条长为1200米的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队

每天挖150米，乙队每天挖90米，需要几天才能挖好？设需要x天才能挖好，则列出的方程为（）

A．150푥+90푥=1200B．150+90푥=1200

C．150푥+90=1200D．150푥−90푥=1200

【答案】A

【分析】根据题意可知，甲走的路程+乙走的路程=总路程，然后列出相应的方程即可．

【详解】解：由题意可得，

150푥+90푥=1200，

故选：A

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相

应的方程．

【例2.2】（2023七年级·全国·课堂例题）某商场三个季度共销售冰箱2800台，第一季度的销售量是第二季

度的2倍，第三季度的销售量是第一季度的2倍，此商场第二季度销售冰箱台．

【答案】400

【分析】

设此商场第二季度销售冰箱x台，第一季度销售冰箱2푥台，则第三季度销售冰箱4푥台，根据商场三个季度

共销售冰箱2800台列出方程，解方程即可．

第6页共27页.

【详解】解：设此商场第二季度销售冰箱x台，第一季度销售冰箱2푥台，则第三季度销售冰箱4푥台，由题

意得：

2푥+푥+4푥=2800，

解得：푥=400，

即此商场第二季度销售冰箱400台，

故答案为：400．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．

【例2.3】（2023七年级·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知

这三位同学捐赠图书册数的比是5:8:9，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？

【答案】甲捐书85本，乙捐书136本，丙捐书为153本

【分析】

本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量

关系列出方程，再求解．

设甲捐书5푥本，则乙捐书8푥本，丙捐书为9푥，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册；

【详解】解：设甲捐书5푥本，则乙捐书8푥本，丙捐书为9푥，

∵他们共捐了374本，

∴5푥+8푥+9푥=374，

解得푥=17，

∴甲捐书5푥=85本，乙捐书8푥=136本，丙捐书为9푥=153本．

【变式2.1】（2023·四川南充·中考真题）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算

机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（）

A．25台B．50台C．75台D．100台

【答案】C

【分析】设去年购置计算机数量为x台，则今年购置计算机的数量为3x台，根据题意列出一元一次方程，

解方程即可求解．

【详解】解：设去年购置计算机数量为x台，则今年购置计算机的数量为3x台，

根据题意可得：x+3x=100，

解得：x=25，

则3x=3×25=75（台），

第7页共27页.

即今年购置计算机的数量为75台．

故选C．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

【变式2.2】（2023七年级·河南安阳·开学考试）学校要为图书室的地面铺上方砖，如果用边长为3分米的

方砖铺地，需要用600块，如果改用边长为5分米的地砖铺地，需要多少块？

【答案】需要多少216块

【分析】由题意可知：图书馆的面积是一定的，则方砖面积与方砖的块数成反比例，据此即可列比例求解．

【详解】解：设如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少푥块，

则有：(5×5)푥=3×3×600，

25푥=5400

푥=216

答：如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少216块．

【点睛】本题考查了比例问题，解题的关键是掌握面积为定值，建立等式求解．

【变式2.3】（2023七年级·福建泉州·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，

六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：

有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中

两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？”

【答案】60

【分析】设共有客人푥位，根据客人共用的碗共65个，即可得出关于푥的一元一次方程，此题得解．

푥푥푥

【详解】解：设共有客人人，依题意可得：．

푥2+3+4=65

解之得：푥=60．

答：共有客人60人．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·全国·假期作业）某水果店运来苹果푥千克，运来梨的质量是苹果的1.5倍，该水果

店运来苹果和梨一共千克．如果该水果店运来的梨比苹果多50千克，那么运来苹果千克，运

来梨千克．

【答案】2.5푥100150

【分析】考查了用字母表示数，一元一次方程的应用，本题的关键是得到运来的梨的质量．根据运来的梨

第8页共27页.

的质量=苹果的质量×1.5，运来的梨和苹果的总质量=运来的梨的质量+苹果的质量；

根据梨比苹果多的质量=运来的梨的质量−苹果的质量，列方程，即可得到苹果、梨的重量．

【详解】解：苹果和梨共有1.5푥+푥=2.5푥（千克）；

如果运来的梨比苹果多50千克，

则：1.5푥−푥=50，

0.5푥=50，

푥=100，

梨的质量：100+50=150（千克），

故答案为：2.5푥，100，150．

【题型2】（2023·安徽六安·七年级期末）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，

今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于

走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，

善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？

【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其

代入路程=速度×时间，即可求出结论．

【详解】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，

根据题意得：(100−60)푡=100，

解得：푡=2.5，

∴100푡=100×2.5=250．

答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．

【题型3】（2023六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路퐴퐵퐶퐷

的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘

和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（）

第9页共27页.

A．30秒B．60秒C．90秒D．120秒

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为2×15米列

方程求解即可．

【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘

根据题意得1.5푥−푥=2×15，

解得푥=60，

此时巧巧走了60×1.5=90米，90÷15=6，则巧巧在D处；

淘淘走了60×1=60米，60÷15=4，则淘淘也在D处，

故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处，

故选：B．

【拓广探究创新练】

11

【题型1】（2023七年级·陕西西安·开学考试）水果店共运进102筐水果，香蕉筐数的占梨的，梨筐数的

34

11

占苹果的，则苹果筐．

25

【答案】60

【分析】设苹果10푥筐，则梨筐数为4푥筐，香蕉的筐数为3푥筐，根据水果店共运进102筐水果列出方程，解

方程得到x的值，即可得到答案．

【详解】解：设苹果10푥筐，则梨筐数为4푥筐，香蕉的筐数为3푥筐，

则10푥+4푥+3푥=102，

解得푥=6，

则10푥=10×6=60，

即苹果为60筐，

故答案为：60

第10页共27页.

【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．

【题型2】（2023七年级·江西赣州·期末）在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增

级歌：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，

其古称浮屠，本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则这个塔顶有（）盏灯．

A．1B．2C．3D．7

【答案】C

【分析】设塔顶的灯数为x盏，则根据每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，分别求出每一层灯的数量，然

后求和，根据它们的和是381解答即可．

【详解】解：设塔顶的灯数为x盏，

则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是x，2x，4x，8x，16x，32x，64x，

所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，

127x=381

x=381÷127

x=3

答：这个塔顶的灯数为3盏．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答此题的关键是理解把握每下一层灯的盏数都是上一层

的2倍．

【题型3】（2023·浙江·七年级期末）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙

单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算

报酬，则分配方案为（）

A．甲360元，乙540元B．甲450元，乙450元

C．甲300元，乙600元D．甲540元，乙360元

【答案】B

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握工程问题中的数量关系是解题的关键．

设两人合作了푥天，根据甲的工作量+乙的工作量=剩余工作总量列出方程求解即可．

【详解】解：设两人合作了푥天，

111

由题意可得：푥+푥=1−

∴466

解得：푥=2

第11页共27页.

11

甲的工作量为×2=

∴42

1

甲的报酬为：900×=450元，

∴2

∴乙的报酬为：900−450=450元，

故选：B．

模块二利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程

移项:

把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.

【考点1利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程】

【例1.1】（2023七年级·湖南衡阳·阶段练习）下列移项正确的是（）

A．从12−2푥=−6，得到12−6=2푥

B．从−8푥+4=−5푥−2，得到8푥+5푥=−4−2

C．从5푥+3=4푥+2，得到5푥−2=4푥−3

D．从−3푥−4=2푥−8，得到8−4=2푥−3푥

【答案】C

【分析】本题考查了解一元一次方程移项问题，熟练掌握移项这一步骤是解题的关键．

根据移项的定义对选项进行分析即可．

【详解】解：对于选项A，12−2푥=−6移项得到12+6=2푥，故不符合题意；

对于选项B，−8푥+4=−5푥−2移项得到−8푥+5푥=−4−2，故不符合题意；

对于选项C，5푥+3=4푥+2移项得到5푥−2=4푥−3，故符合题意；

对于选项D，−3푥−4=2푥−8移项得到8−4=2푥+3푥，故不符合题意；

故选C．

【例1.2】（2023七年级·全国·课后作业）如图，框图表示解这个方程的流程：其中，“移项”这一步骤的依

据是，“合并同类项”这一步骤的依据是，“系数化为1”这一步骤的依据是．

第12页共27页.

【答案】等式的基本性质1合并同类项法则等式的基本性质2

【分析】利用等式的性质及合并同类项法则判断即可．

【详解】解：“移项”这一步骤的依据是等式的基本性质1，“合并同类项”这一步骤的依据是合并同类项法则，

“系数化为1”这一步骤的依据是等式的基本性质2．

故答案为：等式的基本性质1；合并同类项法则；等式的基本性质2．

【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质以及合并同类项法则是解本题的关键．

【例1.3】（2023七年级·江西宜春·期中）解方程：

(1)3푥−1=2푥；

1

(2)2−푥=푥−3．

2

【答案】(1)푥=1

10

푥=

(2)3

【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．

（1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1；

（2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1．

【详解】（1）移项得3푥−2푥=1，

合并同类项得푥=1；

1

（2）移项得−푥−푥=−3−2，

2

3

合并同类项得−푥=−5，

2

10

系数化为得푥=．

13

1

【变式1.1】（2023·广东佛山·七年级期末）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3푥+=2푥+■电话询

2

第13页共27页.

问老师后知道：方程的解푥=1且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（）

3311

A．B．−C．D．−

2222

【答案】A

【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把푥=1代入计算即可求出a的值．

【详解】解：设被污染的常数■是a，

11

把푥=1代入3푥+=2푥+푎，得：3+=2+푎，

22

3

解得a=，

2

故选A．

【变式1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）补全解方程5푥−8=−3푥−2的过程：

解：移项，得5푥+___=−2______．

合并同类项，得________________=____________．

系数化为1，得푥=________________．

3

【答案】3푥；+8；8푥；6；

4

【分析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．

【详解】解：移项，得5푥+3푥=−2+8，

合并同类项，得8푥=6，

3

系数化为1，得푥=．

4

3

故答案为：3푥；+8；8푥；6；．

4

【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．

【变式1.3】（2023六年级下·上海松江·期中）若푎®푏表示푎的5倍与푏的一半的差，已知푥®(2®10)=3，则

푥=．

【答案】11

10

【分析】本题考查解一元一次方程，根据新定义的法则，列出方程，进行求解，读懂题意，列出方程是解

题的关键．

1

【详解】解：由2®10=5×2−×10=5，

2

5

则푥®5=5푥−=3，

2

第14页共27页.

11

解得：푥=，

10

故答案为：11．

10

【考点2根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解应用题】

【例2.1】（2023七年级·福建南平·期中）某汽车队运送一批货物，若每辆汽车装4t，则还剩下8t装不下；

若每辆汽车装4.5t，则恰好装完．该车队运送货物的汽车共有多少辆？设该车队运送货物的汽车共有x辆，

则可列方程为．

【答案】4푥+8=4.5푥

【分析】设这个车队有x辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程．

【详解】解：设这个车队有x辆车，

由题意得，4x+8=4.5x．

故答案为：4푥+8=4.5푥．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合

适的等量关系，列方程．

【例2.2】（2023七年级·内蒙古通辽·期末）几个人共同种一批树苗，如果每人种6棵，则少4棵树苗；如

果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种，若设参与种树的人数为x人，可列方程．

【答案】6푥−4=5푥+3

【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据树苗的数量为定值，列出方程即可．

【详解】解：设参与种树的人数为x人，

由题意，得：6푥−4=5푥+3；

故答案为：6푥−4=5푥+3．

【例2.3】（2023七年级·全国·课堂例题）七年级某班学生在会议室看录像，每排坐13人，则有1人无处坐，

每排坐14人，则空12个座位，求这间会议室共有多少排座位．

【答案】13排

【分析】设这间会议室共有푥排座位，若每排坐13人，则有1人无处坐，那么学生人数可表示为(13푥+1)人；

每排坐14人，则空12个座位，那么学生人数可表示为(14푥−12)人，根据学生人数不变，可得方程，求解即

可．

【详解】解：设这间会议室共有푥排座位，

根据题意得：13푥+1=14푥−12，

第15页共27页.

解得：푥=13，

答：这间会议室有13排座位．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．读懂题意，设出未知数，找准等量关系，正确列出一

元一次方程是解题的关键．

【变式2.1】（2023·陕西西安·七年级期末）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买

羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？

【答案】21人

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中钱的总数列一元一次方程，解方程即可．

【详解】解：设合伙人数为x人，

根据题意列方程5푥+45=7푥+3，

解得：푥=21，

即合伙人有21人．

【变式2.2】（2023七年级·北京房山·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一

条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，

用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，则符合

题意的方程是（）

A．2푥+5=푥+5B．2푥−5=푥−5

11

C．푥+5=푥+5D．푥+5=푥−5

22

【答案】D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设绳索长푥尺，则竿长(푥−5)尺，根据“将绳索对半折

后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于푥的一元一次方程，此题得解．

【详解】解：设绳索长푥尺，则竿长(푥−5)尺，

1

依题意，得：푥+5=푥−5．

2

故选：D．

【变式2.3】（2023七年级·全国·课后作业）为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由

志愿者统一派送．若每位志愿者派送8个蔬菜包，则少5个蔬菜包；若每个志愿者派送5个蔬菜包，则剩下4

个未送，则安排派送的志愿者有（）

A．4人B．3人C．2人D．1人

第16页共27页.

【答案】B

【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，设安排푥个志愿者派送，列出方程，进行

解答，看．

【详解】设安排푥分志愿者派送，

∴8푥−5=5푥+4，

解得：푥=3．

故选：B．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·河北石家庄·期末）如果单项式3푥2푎푦3与单项式−5푥6−푎푦푏是同类项，则푎−푏푎=

（）

A．−7B．−6C．−5D．−4

【答案】A

【分析】本题主要考查了已知同类项的定义求字母的值，以及已知字母的值，求代数式的值．根据同类项

的定义求出a和b的值，然后代入计算即可．

【详解】解：∵单项式3푥2푎푦3与单项式−5푥6−푎푦푏是同类项，

∴2푎=6−푎，푏=3，

∴푎=2，

∴푎−푏푎=2−32=2−9=−7，

故选：A．

【题型2】（2023七年级·北京海淀·阶段练习）如图，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成

的边长为2的大三角形称为一个“成达小区域”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图

中的十个小三角形中，使得图中的每个“成达小区域”中的四个数之和都是23．并且5，6，9，푚这四个数已

填入图中，位置如图所示，则푚表示的数是（）

A．3B．4C．7D．8

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据每个“成达小区域”中的四个数之和都是23得到方程

第17页共27页.

5+9=푚+6，解方程即可得到答案．

【详解】解：由题意得，5+9=푚+6，

解得푚=8，

故选：D．

【题型3】（2023七年级·贵州·期末）先看例子，再解类似的题目．

例子：解方程：|x|+1=3．

解法一：当x≥0时，原方程化为x+1=3，解方程，得x=2；当x<0时，原方程化为-x+1=3，解方程，得

x=-2．所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=-2．

解法二：移项，得|x|=3-1，合并同类项，得|x|=2．由绝对值的意义，知x=±2．所以原方程的解为x=±2．

问题：用上面的两种方法解方程2|x|-3=5．

【答案】x=±4．

【分析】根据阅读材料来进行含绝对值的一元一次方程的解，需分两种解法来求解.

【详解】解：解法一：当x≥0时，原方程可化为2x-3=5，解得x=4；当x<0时，原方程可化为-2x-3=5，解

得x=-4．所以原方程的解为x=±4．

解法二：将原方程移项，得2|x|=5+3，合并同类项，得2|x|=8，方程两边同除以2，得|x|=4，由绝对值的意

义，知x=±4．所以原方程的解为x=±4．

【点睛】此题主要考查含绝对值的一元一次方程的解法.

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·甘肃武威·阶段练习）某数的5倍加上3等于这个数的7倍减去5，这个数是

（）．

A．4B．－10C．10D．－4

【答案】A

【分析】由题意根据数量间的相等关系设这个数为x，列方程解答即可.

【详解】解：设这个数为x，由题意得：

5x+3=7x-5

解得：x=4.

故选：A．

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意并依据题意等量关系建立方程求解是解题的关键.

【题型2】（2023·安徽合肥·七年级期末）安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力

第18页共27页.

促进县域经济的发展．仅去年一年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长

度是扩建的2倍少45公里，求去年新建和扩建高速公路各多少公里？

【答案】去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里

【分析】设扩建高速公路为푥公里，则新建的高速公路为(2푥−45)公里，由题意得，푥+(2푥−45)=519，求

解푥的值，进而可得结果．

【详解】解：设扩建高速公路为푥公里，则新建的高速公路为(2푥−45)公里，

由题意得，푥+2푥−45=519，

解得푥=188，

∵519−188=331，

∴去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里．

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程．

【题型3】（2023七年级·河北石家庄·期末）小明在某月的日历中圈出相邻的四个数，算出这4个数的和是

42，那么这4个数在日历上的位置可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】可设第一个数为x，根据四个数字的和为42列出方程，即可求解．

【详解】解：设第一个数为x，根据已知：

A、由题意得x+x+7+x+6+x+8=42，则x=5.25不是整数，故本选项不合题意．

B、由题意得x+x+1+x+2+x+8=42，则x=7.75不是整数，故本选项不合题意．

C、由题意得x+x+1+x+7+x+8=42，则x=6.5是整数，故本选项符合题意．

D、由题意得x+x+1+x+6+x+7=42，则x=7是正整数，故本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．

模块三课后作业

1．（2023七年级·全国·专题练习）由方程3x–5=2x–4变形得3x–2x=–4+5，那么这是根据（）变形的．

A．合并同类项法则B．乘法分配律

C．移项D．等式性质2

【答案】C

第19页共27页.

【分析】由已知变形到后边的式子，是把-5移到方程右边，把2x移到方程的左边，因而这是根据移项变形

的.

【详解】仔细观察题目可判断出这是根据移项变形的．

故选C.

【点睛】正确认识解一元一次方程的几个步骤是解题的关键.

2．（2023七年级·全国·课后作业）对方程5푥−3푥+푥=4合并同类项正确的是（）

A．푥=4B．2푥=4C．3푥=4D．−3푥=4

【答案】C

【分析】方程合并同类项得到结果，即可作出判断．

【详解】解：方程5푥−3푥+푥=4，

合并同类项得：3푥=4．

故选：C．

【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤．

3．（14-15七年级·黑龙江伊春·期末）下列移项中，正确的是（）

A．6푥+5=7푥+2，移项得6푥−7푥=2+5

B．7푦−21=6푦+13，移项得7푦+6푦=13+21

C．18푥−40=7푥+40，移项得18푥−7푥=40+40

D．−24푎+18푎=−20푎−11，移项得24푎+20푎+18푎=11

【答案】C

【分析】本题考查了解一元一次方程——移项，根据移项的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握移项的

运算法则是解题的关键．

【详解】解：A、6푥+5=7푥+2，移项得6푥−7푥=2−5，则错误，故不符合题意；

B、7푦−21=6푦+13，移项得7푦−6푦=13+21，则错误，故不符合题意；

C、18푥−40=7푥+40，移项得18푥−7푥=40+40，则正确，故符合题意；

D、−24푎+18푎=−20푎−11，移项得−24푎+20푎+18푎=−11，则错误，故不符合题意；

故选C．

1

4．（2023七年级·四川内江·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：2푥−=3푥−，答案显示此方程

2

的解是푥=−1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（）

第20页共27页.

11

A．1B．−1C．−D．

22

【答案】C

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，设被墨水遮盖的数为m，则把푥=−1

1

代入方程2푥−=3푥−푚中求出m的值即可．

2

【详解】解：设被墨水遮盖的数为m，

1

由题意得，方程2푥−=3푥−푚的解为푥=−1，

2

1

2×−=3×−푚，

∴(−1)2(−1)

1

解得푚=−，

2

故选：C．

5．（2023·内蒙古包头·七年级期末）定义新运算“※”，规定：푎※푏=2푎−푏，则方程푥※(−2)=6的解为

（）

A．푥=−10B．푥=−3C．푥=2D．푥=4

【答案】C

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据新定义得到2푥−(−2)=6，再解方程即可得到答案．

【详解】解：∵푥※(−2)=6，

∴2푥−(−2)=6，

解得푥=2，

故选：C．

．（七年级湖南衡阳阶段练习）定义一种新运算：푥+푦(푦≥0)，若，则

62023··푥∗푦=푥−푦(푦<0)푚∗(−3)=−2푚

푚=．

【答案】−1

【分析】本题考查了即一元一次方程，解题的关键是根据新定义得到一元一次方程．根据新运算的方法得

到关于m的一元一次方程，解方程即可．

【详解】解：∵−3<0，푚∗(−3)=−2푚，

∴푚+3=−2푚，

∴푚=−1．

故答案为：−1．

第21页共27页.

7．（2023六年级下·黑龙江绥化·期中）小亮在解方程3푎+푥=7时，由于粗心错把+푥看成了−푥，结果解得

푥=2，则푎的值为．

【答案】3

【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，由题意得出3푎−2=7，解一元一次方程即可得

出答案．

【详解】解：由题意得：3푎−2=7，

解得：푎=3，

故答案为：3．

8．（2023七年级·吉林长春·阶段练习）小明在解关于푥的方程5푎−푥=12时，误把−푥写成了+푥，从而求得

此时方程的解为푥=7，则原来方程的解为．

【答案】푥=−7

【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的

未知数的值是方程的解是解题的关键．先把푥=7代入5푎+푥=12可得푎=1，再把푎=1代入5푎−푥=12，即

可求解．

【详解】解：把푥=7代入5푎+푥=12，得5푎+7=12，

解得푎=1，

把푎=1代入5푎−푥=12，得5−푥=12，

解得푥=−7，

故答案为：푥=−7．

9．（2023七年级·江苏宿迁·期末）若푎2푥+1푏3与−2푎3푏3푦+1是同类项，则代数式2푥+6푦的值是．

【答案】6

【分析】本题主要考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义分别得出

푥、푦的值代数求值．

【详解】解：∵푎2푥+1푏3与−2푎3푏3푦+1是同类项，

2푥+1=3，

∴3=3푦+1

푥=1

解得푦=2，

3

푥=1

将푦=2代入2푥+6푦，

3

2

得原式=2×1+6×=2+4=6．

3

第22页共27页.

故答案为：6．

10．（2023七年级·河南郑州·期末）如图是一个运算程序框图，认真观察框图并计算，当输出结果是7时，

输入x的值为．

【答案】4或−6

【分析】本题考查程序流程图与有理数计算、解一元一次方程，分푥>2和푥≤2两种情况，分别列方程，解

方程即可．

【详解】解：分两种情况，当输入x的值大于2时：

2|푥|−1=7，

即2푥−1=7，

解得푥=4；

当输入x的值小于或等于2时：

1−푥=7，

解得푥=−6；

综上可知，输入x的值为4或−6．

故答案为：4或−6．

11．（2023七年级·四川遂宁·期中）解方程：3푥−2=5푥+6．

【答案】푥=−4

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．

【详解】解；3푥−2=5푥+6

移项得：3푥−5푥=6+2，

合并同类项得：−2푥=8，

系数化为1得：푥=−4．

12．（2023七年级·天津·期中）解方程：

第23页共27页.

411

(1)−8푥=3−푥；

32

(2)7푥−2.5푥+3×6=1.5푥−15×4−3푥．

2

【答案】푥=−

(1)3

(2)푥=−13

【分析】本题主要考查了解一元一次方程：

（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．

411

【详解】（1）解：−8푥=3−푥，

32

114

移项得：−8푥+푥=3−，

23

55

合并同类项得：−푥=，

23

2

系数化为得：푥=−；

13

（2）解：7푥−2.5푥