第15讲 整式的规律探究（人教版）（原卷版）

第15讲整式的规律探究

【人教版】

·模块一数列型的规律探究

·模块二数表中的规律探究

·模块三图形中的规律探究

·模块四恒等式中的规律探究

·模块五课后作业

模块一数列型的规律探究

【例1.1】（2023·云南昆明·七年级期末）按一定规律排列的单项式：−3푏2，5푎2푏2，−7푎4푏2，9푎6푏2，

−11푎8푏2，…，第8个单项式是（）

A．−17푎8푏14B．17푎14푏2C．−15푎7푏14D．152푎14푏2

579

【例1.2】（2023六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于푥的单项式，探究其规律，푥2，푥3，푥4

3푥−23−4

11

，푥5，按照上述规律，第个单项式是（）

5⋯⋯2024

4047404940494045

A．푥2025B．−푥2024C．푥2024D．−푥2024

2023202420242024

【例1.3】（2023七年级·湖北随州·期末）连续正整数包含着无穷的规律，引导人们不断探索．将连续正整

数1，2，3，4，5，6，…，按如图数阵排列．观察发现，每行的最大的数与行数有一定的规律，那么这个

数阵从上到下第6行的最大数是．若用数(푚,푛)表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个

数字，如（4，6）表示15，则数1000用数对表示为．

4816

【变式】（七年级北京期中）一组按规律排列的式子：−2，，−，，，按照上述规律，它

1.12023··357…

的第n个式子（n为正整数）是．

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23

【变式1.2】（2023七年级·湖北十堰·期末）对于不为零的实数a，b，现有一组式子：푏，–푏，0，

2푎4푎2

45

푏，–푏，0……，则第2019个式子是（）

8푎316푎4

202120211347

A．0B．푏C．–푏D．–푏

22020푎202022020푎202021346푎1346

【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）观察下面有规律的三行单项式：

x，2x2，4x3，8x4，16x5，32x6，…①

﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，64x6，…②

2x2，﹣3x3，5x4，﹣9x5，17x6，﹣33x7，…③

（1）根据你发现的规律，第一行第8个单项式为_______；

（2）第二行第n个单项式为________；

（3）第三行第8个单项式为________；第n个单项式为___________．

模块二数表中的规律探究

【例1.1】（2023七年级·安徽亳州·阶段练习）如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”

形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若

其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（）

A．푚=2，푛=2B．푚=8，푛=0C．푚=4，푛=4D．푚=6，푛=1

【例1.2】（2023·湖北十堰·中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行

第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）

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A．2025B．2023C．2021D．2019

【例1.3】（2023七年级·贵州贵阳·期末）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，푥

的值为（）

A．12B．16C．64D．76

【变式1.1】（2023七年级·广东梅州·期末）将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则

2023应在（）

A．A处B．B处C．C处D．D处

【变式1.2】（2023七年级·浙江绍兴·期末）如图，一组数据按图中规律从左向右依次排列，则第12个图中

푚=．

【变式1.3】（2023七年级·江苏·假期作业）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出

现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图

②，前8行如图③，求前32行“1”的个数为．

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模块三图形中的规律探究

【例1.1】（2023七年级·全国·假期作业）将图①正方形做如下操作：分别连接对边中点如图②，得到5个

正方形（1个大正方形加上4个中等正方形）；第2次，将图②左上角的正方形按上述方法再分割如图③，

得到9个正方形…像这样操作8次，可以得到（）个正方形．

A．29B．30C．32D．33

【例1.2】（2023七年级·山东济宁·期末）找出以下图形变化的规律，则第2024个图形中黑色正方形的数量

是（）个

A．2024B．3035C．3036D．2023

【例1.3】（2023七年级·江苏常州·期中）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中

线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即1，

4

111711111

已知++=，根据这个几何图形的规律求得++++…+的值为（）

248824816299

111

A．1B．1−C．1+D．1−

299299298

【变式1.1】（2023·湖南娄底·七年级期末）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2024个图案中的

“”的个数是（）

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A．6073B．6072C．6071D．6070

【变式1.2】（2023七年级·四川成都·期末）用火柴棒按下图中的方式搭图形，搭第n个图形需要火柴棒的

数量为（）

A．5푛B．5푛+1C．4푛+1D．4푛+5

【变式1.3】（2023·江西·七年级期末）三角形三边上的点数分布如图所示，可以发现图①中有4个点，图②

中有10个点，图③中有19个点，……按此规律可知，图푛中点的个数是.

模块四恒等式中的规律探究

【例1.1】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）观察下列各组等式：

（1）4×12−12=4×1−1；

（2）4×22−32=4×2−1；

（3）4×32−52=4×3−1；…

根据上述规律，第2021个式子的值是（）

A．8080B．8081C．8082D．8083

【例1.2】（2023七年级·贵州黔东南·期中）观察下列等式：31+1=4,32+1=10,33+1=28,34+1=82,35

+1=244，探究计算结果中的个位数字的规律，猜测32015+1的个位数字是（）

A．4B．0C．8D．2

【例1.3】（2023七年级·广东珠海·期末）观察下列两个等式：

11+21+2+31+2+3+4

===；

22+42+4+62+4+6+8

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44+84+8+124+8+12+16

===；

77+147+14+217+14+21+28

利用上面的规律，式子5+10+15+20+⋅⋅⋅+5푛可化简得．

3+6+9+12+⋅⋅⋅+3푛

23242

【变式1.1】（2023七年级·浙江嘉兴·期末）观察下面的等式：푎=1+=，푎=1+=，푎=1+=

11122233

526

，푎=1+=，…，根据其中的规律，解决下列问题：

3444

(1)【尝试】写出关于푎6的等式．

(2)【归纳】写出关于푎푛的等式．

(3)【运用】计算푎1⋅푎2⋅푎3⋅ ⋅⋅⋅ ⋅푎18⋅푎19⋅푎20的值．

【变式1.2】（2023七年级·安徽·专题练习）观察以下等式：

1

第个等式：12=×1×2×3，

16

1

第个等式：12+22=×2×3×5，

26

1

第个等式：12+22+32=×3×4×7，

36

1

第个等式：12+22+32+42=×4×5×9，

46

…

按照以上规律．解决下列问题：

(1)写出第5个等式：；

(2)写出你猜想的第푛个等式（用含푛的式子表示）；

2222

(3)计算：1+2+3+…+2023=．

1+2+3+…+2023

【变式1.3】（2023七年级·安徽安庆·期末）如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法

1111

求和：+++⋅⋅⋅+，它的值是（）

1×22×33×42020×2021

上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如

11

1−=

21×2①

111

−=

232×3②

111

−=

343×4③

111

−=

454×5④

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……

（1）继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到什么结果？你能写出下面的求和公式

吗？

1111

+++⋅⋅⋅+．

1×22×33×4푛×(푛+1)

．．2020．2019．1

A1B2021C2020D2021

模块五课后作业

1．（2023·江西九江·七年级期末）以下是按一定规律排列的单项式：2푎,3푎2,4푎3,5푎4,6푎5,⋅⋅⋅，依此规律，第

푛个单项式是（）

A．푛푎푛B．푛푎푛−1C．(푛+1)푎푛D．(푛+1)푎푛−1

2．（2023七年级·全国·假期作业）根据下面图形的规律，第11个图中有（）个．

A．33B．36C．39

3．（2023七年级·全国·假期作业）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形

数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．

从上图中可以发现：

任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如4=1+3．把“正方形数”36写

成两个相邻的“三角形数”之和，正确的是（）．

A．36=10+26B．36=12+24C．36=15+21D．36=16+20

4．（2023·重庆·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物

的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②

有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子

的个数是（）

第7页共10页.

A．20B．22C．24D．26

5．（2023·湖北武汉·七年级期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三

角形数阵解释二项式(푎+푏)푛展开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近600年，此三角形被后人称为“杨

辉三角”．在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如2=1+1，

10=4+6，．．．，若从第三行的“2”开始，按箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，

10，5，…，则这列数中第24个数是（）

A．56B．42C．28D．8

233

6．（2023·黑龙江哈尔滨·七年级期末）已知：퐴5=5×4=20，퐴5=5×4×3=60，퐴6

44

=6×5×4=120，퐴6=6×5×4×3=360，……观察并找出规律，计算퐴7的结果

1573

7．（2023七年级·黑龙江绥化·期中）观察下列单项式：、푎2、푎3、푎4、푎5⋅⋅⋅⋅⋅⋅，按此规律写出第푛

2푎−4−52

个单项式是．

8．（2023七年级·河南周口·期中）如图，每个三角形中的三个数之间有相同的规律，根据此规律，最后一

个三角形中푦与푛之间的关系式为．

9．（2023七年级·全国·假期作业）如图所示的点阵图中，图①中有3个点，图②中有7个点，图③中有13

个点，图④中有21个点，按此规律，图⑩中有个点．

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10．（2023七年级·全国·假期作业）为庆祝亚运会的成功召开，学校举行了“展少年英姿为亚运喝彩”的队列

队形展示活动，淘气发现队列中也藏着数学秘密．

队形1234…

图示……

（1）观察点子图，补充下面等式．

2=1×2

2+4=2×3

2+4+6=3×4

2+4+6+8=×

（2）照这样，第8个队形需要人；第n个队形需要人；第个队形有56人．

11．（2023七年级·河南周口·期中）（1）观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝

729，…通过观察，用你所发现的规律确定32021的个位数字是______；

（2）观察一列数：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常

数是_______，根据此规律，如果用an