第09讲 一起串起有理数（人教版）（原卷版）

第09讲一起串起有理数

【人教版】

·模块一有理数与数轴

·模块二相反数与数轴

·模块三绝对值与数轴

·模块四利用数轴探究问题

·模块五课后作业

模块一有理数与数轴

【例1.1】（2023七年级·辽宁大连·阶段练习）下列说法中，正确的是()

A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数

B．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数

C．有的有理数不能表示在数轴上，如－0.00005

D．任何一个有理数都可在数轴上找到和它对应的唯一的一个点

【例1.2】（2023七年级·山西太原·阶段练习）在方框中画出数轴，并在数轴上表示下列各数：2.5，4，−3，

1

−1，，回答问题：

20

(1)这5个数中表示最大数与最小数的两点之间相距________个单位；

(2)将上面各数用“<”连接．

【例】（七年级浙江嘉兴期中）如图，圆的半径为2个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为

1.32023··π1

个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示-1的点重合．

(1)圆的周长为多少？

(2)若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？

(3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示-2的点与点B重合，数轴上表示-3的点与点C重

合…），那么数轴上表示-2018的点与圆周上哪个点重合？

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【变式1.1】（2023七年级·全国·假期作业）阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减

法运算得到，如图，线段퐵퐶=2=3−1；线段퐴퐵=3=1−(−2)．

问题：

(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段푀푁=___________；

(2)数轴上点E、F代表的数分别为3和−1，则线段퐸퐹=___________；

(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数．

【变式1.2】（2023七年级·辽宁大连·阶段练习）数轴上有一点Q，若一只蚂蚁从点Q出发，爬了3个单位

长度到了原点，则点Q所表示的数是（）

A．3B．−3C．±3D．±6

【变式1.3】（2023七年级·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．

1

−3，+1，2，−1.5

2

（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：．

模块二相反数与数轴

【例2.1】（2023·甘肃陇南·三模）如图，数轴上点A的相反数是（）

A．−2B．−1C．1D．2

【例2.2】（2023七年级·福建福州·期末）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，

且푎+푏=0，则它们在数轴上的位置不可能落在（）

A．线段퐴퐵上B．线段퐵퐶上C．线段퐵퐷上D．线段퐴퐷上

【例2.3】（2023七年级·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知

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点A表示−4，点퐺表示8．

(1)点퐵表示的有理数是______，表示原点的是点______．

(2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？

(3)图中的数轴上另有点푀到A点，点퐺距离之和为13，求点푀表示的有理数．

【变式2.1】（2023七年级·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，

b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与−푏的点相距

个单位长度，若表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的1，则的值为（）

30ab3c

A．−2B．−10C．−6D．−5

【变式2.2】（2023七年级·河南郑州·阶段练习）如图，四个有理数푚，푛，푝，푞在数轴上对应的点分别为

푀，푁，푃，푄，若푛+푞=0，则푚，푛，푝，푞四个数中负数有（）个

A．1B．2C．3D．4

【变式2.3】（2023七年级·江苏无锡·阶段练习）若表示互为相反数的两个数的点A、B在数轴上的距离为

16个单位长度，点A沿数轴先向右运动2秒，再向左运动5秒到达点C，设点A的运动速度为每秒2个单

位长度，则点C在数轴上表示的数为．

模块三绝对值与数轴

【例3.1】（2023七年级·江西南昌·期中）有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，且|a|<|b|，

则该数轴的原点位置不可能().

A．在a的左边B．在a、c之间.

C．在c、b之间D．在b的右边

【例3.2】（2023七年级·江苏徐州·阶段练习）我们知道在数轴上，点M，N分别表示数m，n，则点M，N

2

之间的距离为|푚−푛|．已知，，，在上分表示，，，，|푎−푐|=|푏−푐|=|푑−푎|=1，则线段퐵퐷

ABCDabcd3

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的长度为．

【例3.3】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）在数轴上，点A、B表示的数分别是−7和5，点P表示

的数为x，点P到B的距离是点P到A距离的3倍，则点P到表示−1的点的距离为．

【变式3.1】（2023七年级·江苏南京·阶段练习）如图，将实数푎、푏表示在数轴上，则下列等式成立的是

（）

A．|푎|=푎B．|푏|=−푏C．|푏−푎|=푏−푎D．|푎+푏|=푎+푏

【变式3.2】（2023七年级·河北保定·期末）如图，数轴上点퐴、点퐵、点퐶分别对应数푎,푏,푐，则在

푎+푐−1,푏+푐,푏−푎,|푏|−푐,|푎|−|푐−1|中，正数共有（）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式3.3】（2023七年级·江苏苏州·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为−10，

푂퐵=2푂퐴，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向

左运动（点M、N点同时出发），经过秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．

模块四利用数轴探究问题

【例4.1】（2023七年级·江苏扬州·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，

若在这个数轴上随意画出一条长为2023cm的线段，则该线段盖住的整点的个数是．

【例4.2】（2023七年级·山西晋中·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮

助我们把数和点对应起来，体现了数形结合思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们和“创

新小组”的同学一起利用数轴进行以下探究活动：

(1)如图1，在数轴上点A表示的数是______，点B表示的数是______，A，B两点的距离是______；

(2)在数轴上，若将点B移动到距离点A两个单位长度的点C处，则移动方式为______；

(3)如图2，小明将刻度尺放在了图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点A，发现此时点B对

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应刻度尺上的刻度4.8cm，点E对应刻度1.2cm，则数轴上点E表示的数是______．

【例4.3】（2023七年级·河南平顶山·期末）综合与探究

数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：

(1)平移运动

一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，

第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是；当它跳完2024

次时，落在数轴上的点表示的数是．

(2)翻折变换

①若折叠数轴所在纸条，表示−1的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示的点重合．

②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），

则D点表示，E点表示．

③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是−17、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，

若点M对应的点푀′落在点N的右边，并且线段푀′푁的长度为3，请直接写出点P表示的数．

【变式4.1】（2023七年级·河北沧州·期末）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．

折叠纸面，使−3表示的点与1表示的点重合，回答以下问题：

①2表示的点与数表示的点重合；

②若数轴上퐴、퐵两点之间距离为9（퐴在퐵的左侧），且퐴、퐵两点经折叠后重合，则퐴点表示的数为：퐴．

【变式4.2】（2023七年级·山西晋中·期中）综合与探究：

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三

个问题，请你与他们共同解决：

11

勤奋小组：在图所示的数轴上，把数−2，，，−，表示出来，并用将它们连接起来．

(1)3422.5“<”

(2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：

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①表示−2的点与表示______的点重合；

②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为

_____．

(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），

小球甲从表示数−2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处

出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向

运动，设运动的时间为푡秒．

①当푡=3时，求甲、乙两个小球之间的距离；

②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离．

【变式4.3】（2023七年级·河南周口·阶段练习）李老师善于通过知识迁移，对问题进行拓展探究，培养同

学们用数学的思维思考现实世界的能力．下面李老师在“数轴的实际应用”主题下设计的问题，请你解答．

(1)知识回顾

如图1，数轴上有一个表示数a的点M，已知点M在数轴上向右移动3个单位长度后表示的数是5，那么a

的值是；

(2)探究迁移

如图2，有一根木尺푃푄放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A、B两点处．将木尺在数轴上水平移动，

当点P移动到点B时，点Q所对应的数为24；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为6（单位：

cm）．利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺푃푄的长；

(3)拓展应用

一天，小明去问爷爷的年龄．爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，

我已经是116岁了！”请你利用（2）的方法，请直接写出小明和爷爷的年龄．

模块五课后作业

1．（2023七年级·湖南长沙·阶段练习）把有理数a，b在数轴上表示如图所示，那么则下列说法正确的是

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（）

A．푏>0B．푎<0C．푎>푏D．푏>푎

2．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若퐴，퐵表示互为相反数的两个点，퐴在퐵的左边，并且

这两点的距离为6，则点퐴所表示的数是（）

A．−3B．3C．6D．−6

3．（2023·河北石家庄·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数的绝对值是（）

A．1B．−3C．−1D．0

4．（2023七年级·浙江·期中）如图，四个数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若

푛+푞=0，则下列说法正确的是（）

A．푝+푚>0B．푚푛<0C．푚−푝<0D．|푝|<푞

5．（2023七年级·辽宁鞍山·期中）若有理数a，b在一条不完整的数轴上的位置如图所示，则下列各式：

11푎

−=2푎；−>0；3>3；<0；푏<−푎<0<푎<−푏．其中正确的有（）

①|푎+푏||푎−푏|②푎푏③푏푎④푏⑤

A．1个B．2个C．3个D．4个

6．（2023·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点퐴表示的数与点퐵表示的数互为相反数，则点퐶

表示的数是．

7．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数轴上퐴、퐵两点对应数分别为−2，4，푃为数轴上一动点，

对应数为푥，若푃点到퐴、퐵距离和为12，则푥的值为.

8．（2023七年级·福建厦门·阶段练习）数轴上的点퐴和点퐵所表示的数互为相反数，且点퐴对应的数是−2，

푃是到点퐴或点퐵距离为3的数轴上的点，则所有满足条件的点푃所表示的数的和为．

9．（2023七年级·内蒙古呼和浩特·期末）有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a、b、|푎|、

−푏按从大到小的顺序排列，并用“>”号连接，结果为．

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13

10．（2023七年级·全国·假期作业）已知实数a满足=，若a对应如图所示的数轴上A，B，C三点

|푎−2|2

中的一个点表示的数，则这个点是．

11．（2023七年级·全国·课堂例题）在如图所示的数轴上用字母퐴,퐵,퐶,퐷,퐸分别表示出以下各数：

1

2.5,4,−3,−1，，并回答问题：在这个点中，表示最大数与最小数的两点之间相距多少个单位长度？

205

12．（2023七年级·贵州遵义·期中）以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点

A和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8．

(1)点A表示的数为________，点B表示的数为________；

(2)在数轴上有一点P，它到퐴퐵中点的距离为8，则点P表示的数的倒数为________．

13．（2023七年级·全国·假期作业）如图：

(1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________；

(2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为|푂퐶|，有|푂퐶|=5，则|퐶퐷|=___________；

(3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则|푀푁|=___________(结果不含绝对值符号)．

14．（2023七年级·河北沧州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成

①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知푏푐<0．

(1)请直接