第05讲 有理数的乘法（人教版）（解析版）

第05讲有理数的乘法

【人教版】

·模块一有理数的乘法法则

·模块二多个有理数的乘法法则

·模块三有理数的乘法运算律

·模块四课后作业

模块一有理数的乘法法则

有理数的乘法法则：

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（2）任何数与零相乘都得零；

（3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正.

【考点1有理数的乘法法则】

【例1.1】（2023·江苏徐州·七年级阶段练习）计算(−4)×−1的结果等于（）

2

11

A．−4B．−2C．D．2

22

【答案】D

【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解．

1

【详解】解：(−4)×−1=4×=2．

22

故选：D．

【例1.2】（2023七年级·江苏徐州·期末）下列算式中，积为负数的是（）

A．0×(−5)B．4×(−5)C．(−1.5)×(−2)D．2×3

【答案】B

【分析】根据有理数乘法法则计算即可得出答案．

【详解】解：A、0×(−5)=0，故本选项不符合题意；

B、4×(−5)=−20，故本选项符合题意；

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C、(−1.5)×(−2)=3，故本选项不符合题意；

D、2×3=6，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查的是有理数乘法运算，有理数乘法法则：两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相

乘，0乘以任何数都得0．

【例1.3】（2023七年级·江苏徐州·阶段练习）如图，数轴上两点对应的数a、b，则(푎+푏)(푎−푏)0

（用“>”“<”或“=”填空）

【答案】>

【分析】本题考查了有理数的大小比较，运算及数轴，根据数轴得出푎<0<푏,|푎|>|푏|，判定出푎+푏,푎−푏

的符号，即可得出答案，能根据数轴得出푎<0<푏和|푎|>|푏|是解此题的关键．

【详解】∵从数轴可知：푎<0<푏,|푎|>|푏|，

∴푎+푏<0，푎−푏<0，

∴(푎+푏)(푎−푏)>0

故答案为：>．

【变式1.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）计算：

(1)(+3)×(−2)；

(2)0×(−4)；

(3)−1×(−1)；

6

(4)(−15)×−1；

3

(5)−11×−4；

45

(6)−|−3|×(−2)．

【答案】(1)−6

(2)0

1

(3)6

(4)5

(5)1

第2页共32页.

(6)6

【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可；

（2）根据有理数的乘法法则计算即可；

（3）根据有理数的乘法法则计算即可；

（4）根据有理数的乘法法则计算即可；

（5）先将带分数化为假分数，再约分即可；

（6）先去绝对值，再根据有理数的乘法法则计算即可．

【详解】（1）解：(+3)×(−2)=−6；

（2）解：0×(−4)=0；

1

（3）解：−1×(−1)=；

66

（4）解：(−15)×−1=5；

3

5

（5）解：−11×−4=−×−4=1；

4545

（6）解：−|−3|×(−2)=−3×(−2)=6．

【点睛】本题主要考查有理数的乘法计算．掌握有理数的乘法法则是解题关键．

5657

【变式1.2】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）比较大小，××（填“<”，“>”，或“=”）．

9796

【答案】<

【分析】先根据乘法法则计算，再比较大小即可．

56105737

【详解】解：×=，×=

∵97219654

1035

又<，

∵2154

5657

×<×．

∴9796

故答案为：<．

【点睛】本题考查有理数乘法，有理数比较大小，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键．

【变式1.3】（2023七年级·吉林长春·期末）如图，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的

数字的积为．

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【答案】0或−9

【分析】本题考查了有理数的乘法，分两种情况：当对折后重叠的数为0和6时；当对折后重叠的数为3

和−3时，利用有理数的乘法分别计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．

【详解】解：当对折后重叠的数为0和6时，乘积为0×6=0，

当对折后重叠的数为3和−3时，乘积为−3×3=−9，

综上所述，沿正方形对角线对折，互相重合的两个小正方形里面的数字的积为0或−9，

故答案为：0或−9．

【考点2倒数】

31

【例】（七年级黑龙江绥化阶段练习）8×=×=2.5×=×=1

2.12023··76.

17

【答案】0.46

83

【分析】本题考查了倒数的性质，熟练掌握倒数的性质是解答本题的关键．

根据题意，互为倒数的两个数相乘所得的积为1，由此分析判断出每个乘法式子中的因子，由此得到答案．

【详解】解：根据题意得：

1731

8×=1，×=1，2.5×0.4=1，6×=1，

8376

17

故答案为：，，0.4，6．

83

【例2.2】（2023·四川南充·中考真题）如果6푎=1，那么푎的值为（）

11

．．．．−

A6B6C-6D6

【答案】B

【分析】直接利用倒数的定义得出答案．

【详解】解：∵6a=1，

1

∴a=6

故选B．

【点睛】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．

第4页共32页.

1

【例】（七年级宁夏银川期中）已知的倒数的相反数是5，则푎=；的绝对值的倒数

2.32023··a7b

1

是2，则푏=．

3

73

【答案】−±

367

1

【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义．的相反数是−푎，的倒数是；一个正数的绝对值是

aa푎

1

它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．先求出5的相反数，再求出其倒数即为的值；

007a

1

先求出2的倒数，再根据绝对值的意义得到的值．

3b

1117

【详解】解：5的相反数是−5，−5的倒数为−，

∵77736

7

的值为−；

∴a36

1333

2的倒数是，±的绝对值是，

∵3777

3

的值为±．

∴b7

73

故答案为：−；±．

367

【变式2.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）写出下列各数的倒数：

22

−4，−，0.125，1，−1.4．

33

123235

【答案】−4的倒数是−，−的倒数是−，0.125的倒数是8，1的倒数是，−1.4的倒数是−

432357

【分析】两数相乘为1的数互为倒数，注意0没有倒数；带分数要化为假分数、小数化为分数，再根据倒数

的概念解答即可．

1

【详解】解：−4的倒数是−，

4

23

−的倒数是−，

32

1

0.125=，

∵8

∴0.125的倒数是8，

25

1=，

∵33

23

1的倒数是，

∴35

7

−1.4=−，

∵5

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5

∴−1.4的倒数是−，

7

123235

综上可得：−4的倒数是−，−的倒数是−，0.125的倒数是8，1的倒数是，−1.4的倒数是−．

432357

【点睛】本题考查倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．

【变式2.2】（2023七年级·山东德州·阶段练习）点퐴在数轴上的位置如图所示，则点퐴表示的数的倒数是

（）

11

．．．−3．−

A3B3CD3

【答案】D

【分析】本题考查求一个数的倒数，先根据点在数轴上的位置，确定点表示的数，再根据互为倒数的两数

之积为1，进行求解即可．

【详解】解：由图可知，点퐴表示的数为−3，

1

点퐴表示的数的倒数是−；

∴3

故选D．

【变式2.3】（2023七年级·重庆·期末）−1.5的倒数的绝对值的相反数为．

2

【答案】−

3

【分析】根据倒数的定义、相反数的定义、绝对值的定义解答即可．

3

【详解】解：−1.5=−，

∵2

32

−的倒数是−，

∴23

22

−的绝对值是，

∴33

22

的相反数为−，

∴33

2

−1.5的倒数的绝对值的相反数为−，

∴3

2

故答案为−．

3

【点睛】本题考查了倒数的定义，绝对值的定义，相反数的定义，掌握倒数的定义及相反数的定义是解题

的关键．

第6页共32页.

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·广东佛山·期末）数学运算其妙无穷，小明在学习有理数时发现，存在两个有理数

33

之和等于这两个有理数之积，如+3=×3，请你再找两个满足以上规律且不相等的有理数，这两个有理

22

数可以是．（一组即可）

44

【答案】+4=×4

33

【分析】本题考查了有理数的计算，根据题意即可求解．

4164

【详解】解：+4==×4，

∵333

44

故答案为：+4=×4（答案不唯一）

33

【题型2】（2023七年级·四川绵阳·期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一

个数，使得其中任意三个相邻格子中数的和都相等，则푥푦的值为．

2푥−2푦−1−22……．

【答案】−2

【分析】根据题意，得−1+(−2)+2=푦+(−1)+(−2)=2+푥+(−2)，求出푥和푦的值，进一步计算即可．

【详解】解：根据题意，得−1+(−2)+2=푦+(−1)+(−2)=2+푥+(−2)，

∴푦=2，푥=−1，

∴푥푦=(−1)×2=−2，

故答案为：−2．

【点睛】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法等，理解题意是解题的关键．

1

【题型】（七年级浙江金华期中）已知是不等于−1的数，我们把称为的和倒数．如：的和

32023·a1+푎a2

11

倒数为=，已知푎=1,푎是푎的和倒数，푎是푎的和倒数，푎是푎的和倒数，，依此类推，则푎⋅푎

1+231213243…12

⋅푎3…푎12=．

【答案】1

233

【分析】根据和倒数的定义分别计算出a1、a2、a3、…a12的值，代入计算即可求解．

1112131518113

【详解】解：a1＝1，a2==，a3=1+1=，a4=1+2=，a5=1+3=，a6=1+5=，a7=1+8=，

1+122335588131321

1211341551891144

a8=1+13=，a9=1+21=，a10=1+34=，a11=1+55=，a12=1+89=，

21343455558989144144233

第7页共32页.

1235813213455891441

则a•a•a…a＝1×××××××××××=．

1231223581321345589144233233

故答案为：1

233

【点睛】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a1，a2，a3，a4，a5…a12的值是解

题关键．

【拓广探究创新练】

【题型1】（2023七年级·陕西渭南·期中）在数轴上，点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，则

点A表示的数的倒数是（）

．．．．1

A1B-1C5D5

【答案】A

【分析】在数轴的右边找出与点A距离是3的点表示的数，再求出倒数即可．

【详解】解：∵点A表示的数在−2的右边，且到−2的距离为3，

∴点A表示的数为−2+3=1，

∴点A表示的数的倒数是1，

故选A．

【点睛】本题考查了数轴的性质，倒数的定义，熟练掌握相关性质是解题关键．

【题型2】（2023七年级·黑龙江牡丹江·期中）如果两个有理数的和等于零，那么这两个有理数的积是

（）

A．负数B．正数C．非负数D．非正数

【答案】D

【分析】根据有理数的加法法则可得这两个数为一正一负，或同为0，再根据乘法法则得到这两个有理数的

积是负数或0．

【详解】如果两个有理数的和等于零，那么这两个有理数互为相反数，故这两个数为一正一负，或同为0，

则这两个有理数的积是负数或0，

故选：D．

【点睛】此题考查有理数的加法法则和乘法法则，熟记法则是解题的关键．

【题型3】（2023七年级·重庆开州·期中）在有理数−2，2，3，−5中，任意取两个数相乘，最大的积为a，

最小的积为b，则푎−푏=

【答案】25

第8页共32页.

【分析】本题考查了有理数的运算，根据题意得出푎=(−2)×(−5)，푏=−5×3即可求解．

【详解】解：由题意得：푎=(−2)×(−5)=10，푏=−5×3=−15，

∴푎−푏=10−(−15)=25，

故答案为：25

模块二多个有理数的乘法法则

【考点1多个有理数相乘】

【例1.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）几个不是0的有理数相乘，它们的积的符号（）

A．由因数的个数决定B．由正因数的个数决定

C．由负因数的个数决定D．由负因数的大小决定

【答案】C

【分析】可根据有理数乘法运算的符号法则进行判断．

【详解】解：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．

当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正．

故选：C．

【点睛】本题考查了有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因

数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．

【例1.2】（2023七年级·河北沧州·期中）下列算式中，积为负数的是（）

A．(−2)×(−5)B．2×(−3.5)×(−6.5)

C．(−1.5)×(−2)×(−3)D．(−1)×−3×0

2

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解本题的关键．根据有理数的乘法运算法则分别计算

可得结果．

【详解】解：A．(−2)×(−5)=10，故此选项不合题意；

B．2×(−3.5)×(−6.5)=45.5，故此选项不合题意；

C．(−1.5)×(−2)×(−3)=−9，故此选项符合题意；

D．(−1)×−3×0=0，故此选项不合题意；

2

故选：C．

第9页共32页.

【例1.3】（2023七年级·甘肃定西·阶段练习）绝对值小于2023的所有整数的积是（）

A．2023B．−2023C．0D．±1

【答案】C

【分析】先根据绝对值的意义求得符合题意的整数，再求出它们的积，即可得出答案．

【详解】解：∵绝对值小于2023的所有整数有0，±1，±2，±3，…，±2020，±2021,±2022,

∴2022×2021×…×2×1×0×(−1)×(−2)+…×(−2021)×(−2022)=0．

故选：C．

【变式1.1】（2023七年级·江苏·专题练习）计算：

(1)3×(−1)×−1．

3

(2)−1.2×5×(−3)×(−4)．

4

(3)−5××−3×(−6)．

12152

5

(4)×(−1.2)×−1．

49

【答案】(1)1；

(2)−72；

(3)−1；

1

(4)6

【详解】（1）解：3×(−1)×−1

3

1

=3×1×

3

=1；

（2）解：−1.2×5×(−3)×(−4)

=−1.2×5×3×4

=−72；

4

（3）解：−5××−3×(−6)

12152

543

=−×××6

12152

=−1；

第10页共32页.

5

（4）解：×(−1.2)×−1

49

561

=××

459

1

=．

6

【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键．

【变式1.2】（2023七年级·河北唐山·阶段练习）计算(−5)×(−25)×(−2)×4的结果是（）

A．−100B．100C．−1000D．1000

【答案】C

【分析】将乘数交换位置，利用乘法法则计算．

【详解】解：(−5)×(−25)×(−2)×4

=[(−5)×(−2)]×[(−25)×4]

=10×(−100)

=−1000，

故选：C．

【点睛】此题考查了有理数乘法计算法则，熟练掌握乘法交换律和计算法则是解题的关键．

【变式1.3】（2023七年级·江苏连云港·期中）如图，数轴上有①②③④四个部分，已知푐>0，푎푏푐<0，

则原点所在的部分是（）

A．①B．②C．③D．④

【答案】B

【分析】本题考查数轴的特征，由푐>0，푎푏푐<0得到푎푏<0，结合原点左右的数符号相反即可得到答案，记

住数轴的特征是解决问题的关键．

【详解】解：∵푐>0，푎푏푐<0，

∴푎푏<0，

根据数轴特征，原点所在的部分是②，

故选：B．

【考点2有理数乘法的实际应用】

【例2.1】（2023七年级·山西大同·阶段练习）杜师傅攀登一座山峰，他每登高1km，气温的变化量为

第11页共32页.

−6℃，当杜师傅攀登6km后，那么气温将会（）

A．下降36℃B．上升36℃C．下降6℃D．上升6℃

【答案】A

【分析】用每登高1km气温的变化量乘6，求出攀登6km后，气温变化多少即可．

【详解】(−6)×6=−36(°C)．

上升为正，下降为负，即攀登6km后，气温下降36℃，

故选：A．

【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，负数的意义，解题的关键是正确理解负数在实际生活中的意义．

【例2.2】（2023七年级·北京·期末）小昕爷爷去年在银行里存入50000元，存定期两年，年利率是2.70%，

到期时可以得到利息元．

【答案】2700

【分析】到期时，利息＝存入银行的钱数×年利率×2．根据题意，列出相应的式子．

【详解】解：50000×2.70%×2=2700（元）

答：到期时可以取得2700元．

【点睛】本题主要考查了存钱利息，根据题意列出相应的式子是解题的关键．

【例2.3】（2023·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道

题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个

不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织

了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？

第12页共32页.

A．45尺B．88尺C．90尺D．98尺

【答案】C

1

【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和×30即可，

2(1+5)

读懂题意，找出规律是解题的关键．

【详解】解：由题意得，第一天织布5尺，第30天织布1尺，

1

一共织布×30=90（尺），

∴2(1+5)

故选：C．

【变式2.1】（2023七年级·广东肇庆·开学考试）小猴子真真开垦了一块近似于三角形的地种香蕉，如果每

平方米收3千克香蕉，这块儿地大约能收多少千克香蕉？

【答案】这块地可以收香蕉60000千克

【分析】先利用三角形的面积公式求出这块香蕉地的面积，再乘每平方米收香蕉的重量，列式解答即可．

1

【详解】×160×250×3=60000（千克）

2

答：这块地可以收香蕉60000千克．

【点睛】此题主要考查三角形的面积的计算方法在实际生活中的应用．

【变式2.2】（2023七年级·山东济南·阶段练习）一件商品的成本是200元，提高30%后标价，然后打九折

销售，则这件商品的利润为元．

【答案】34

【分析】根据利润等于售价减去成本、售价等于标价乘以折扣率列式计算即可得．

【详解】解：这件商品的利润为200×(1+30%)×90%−200

=234−200

=34（元），

故答案为：34．

【点睛】本题考查了有理数乘法与减法的应用，正确列出运算式子是解题关键．

【变式2.3】（2023七年级·天津武清·阶段练习）七年级生进行乒乓球比赛，在女子单打中，每一个选手都

第13页共32页.

和其他选手进行一场比赛，现有12名选手参加比赛，则一共要进行场比赛．

【答案】66

【分析】根据单循环比赛规则：每两人之间比赛一场首先求得每人比赛数，乘以人数后除以2即可．

【详解】解：∵共有12人，每人打比赛11场，

∴共比赛12×11=132场，

∵是单循环，

1

共比赛×132=66场，

∴2

故答案为：66．

【点睛】本题考查了对单循环的了解，解题的关键是能够了解单循环的意义：单循环就是每两人之间比赛

一场，难度不大．

【规律方法综合练】

【题型1】（2023七年级·浙江绍兴·阶段练习）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，

正数有（）

A．1个B．2个C．3个D．1个或3个

【答案】D

【分析】利用几个非零有理数相乘，积的符号是负数的个数决定，当负数的个数为奇数个时，积为负，当

负数的个数为偶数个数时，积为正，即可求解．

【详解】解：根据题意得：

∵4个有理数相乘，积的符号是负号，

∴这4个有理数中，负数的个数为1个或3个，

∴正数有3个或1个，

故选：D．

【点睛】本题考查有理数的乘法的应用，熟练掌握有理数乘法中负数的个数决定积的符号是解题的关键．

【题型2】（2023七年级·安徽淮北·阶段练习）某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为

40t，2021年增产10%，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产20%，

若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破60t的年份是（）

A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年

【答案】B

【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键．

第14页共32页.

根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答．

【详解】解：2021年基地黄桃产量为40×(1+10%)=44(t)，

2022年基地黄桃产量为44×(1+20%)=52.8(t)，

2023年基地黄桃产量为52.8×(1+20%)=63.36(t)>60，

因此突破60t的年份是2023年．

故选B．

【题型3】（2023七年级·江苏淮安·期中）在数−5，1，−3，5，−2，2中任取三个数相乘，其中最大的积

是．

【答案】75

【分析】根据有理数的乘法和有理数的大小比较求出最大的积，取绝对值较大的数相乘，其中两个负数或

者全是正数．

【详解】解：最大的积=(−5)×(−3)×5=75，

故答案为：75．

【点睛】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，熟记运算法则并确定出最大是解题的关键．

【拓广探究创新练】

3

【题型1】（2023七年级·黑龙江哈尔滨·期中）果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵

4

数是苹果树的4，梨树有（）棵．

5

A．144B．180C．60D．96

【答案】A

34

【分析】根据题意，得到等量关系苹果树的棵数=桃树×，梨树的棵数=苹果树×，分别代入即可求解．

45

34

【详解】240××=144（棵）

45

答：梨树有144棵．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，根据题意得出等量关系，列出算式并进行计算即可．

【题型2】（2023七年级·江苏徐州·期末）计算2023×1−1×1−1×1−1×⋅⋅⋅×1−1的结果

2342023

为．

【答案】1

第15页共32页.

【分析】根据有理数乘法运算法则求解即可得到答案．

【详解】解：2023×1−1×1−1×1−1×⋅⋅⋅×1−1

2342023

1232022

=2023×−×−×−×⋅⋅⋅×−

2342023

由于从2到2023有2022个连续自然数，可知2023×−1×−2×−3×⋅⋅⋅×−2022中有2022负号，

2342023

1232022

∴原式=2023××××⋅⋅⋅×=1，

2342023

故答案为：1．

【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键．

【题型3】（2023七年级·山西大同·阶段练习）如果4个不等的整数푚,푛,푝,푞满足(5−푚)(5−푛)(5−푝)(5−푞)

=9，那么푚+푛+푝+푞等于．

【答案】20

【分析】因为푚，푛，푝，푞都是四个不同正整数，所以(5−푚)、(5−푛)、(5−푝)、(5−푞)都是不同的整数，四

个不同的整数的积等于9，这四个整数为−1、−3、1、2，由此求得푚，푛，푝，푞的值，问题得解．

【详解】解：因为(5−푚)(5−푛)(5−푝)(5−푞)=9，

每一个因数都是整数且都不相同，

那么只可能是−1，1，−3，3，

由此得出푚、푛、푝、푞分别为6、4、8、2，所以，푚+푛+푝+푞=20．

故答案为：20．

【点睛】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘

积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题．

模块三有理数的乘法运算律

有理数的乘法运算律:

（1）乘法的交换律：ab=ba；

（2）乘法的结合律：(ab)c=a(bc)；

（3）乘法的分配律：a(b+c)=abc+bc.

【考点1有理数的乘法运算律】

第16页共32页.

【例1.1】（2023七年级·江苏徐州·期末）填空：

（1）10×(−6)=×10；

（2）[6×(−2)]×(−5)=6×[×(−5)]；

（3）(−24)×1−1=(−24)×+(−24)×．

68

1

【答案】(−6)(−2)−1

68

【分析】（1）直接利用乘法的交换律即可得到答案；

（2）直接利用乘法的结合律即可得到答案；

（3）直接利用乘法的分配律即可得到答案；

【详解】解：（1）10×(−6)=(−6)×10；

故答案为：(−6)；

（2）[6×(−2)]×(−5)=6×[(−2)×(−5)]；

故答案为：(−2)；

1

（3）(−24)×1−1=(−24)×+(−24)×−1．

6868

1

故答案为：，−1．

68

【点睛】本题考查的是乘法的交换律，结合律，分配律的应用，熟记乘法的运算律的解本题的关键．

【例1.2】（2023七年级·福建泉州·期中）在算式：−3×8−11=−3×8+−3×−4中，运用了

43443

（）

A．乘法结合律B．乘法交换律C．分配律D．加法交换律

【答案】C

【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法分配律．据此解答即可．

【详解】解：算式−3×8−11=−3×8+−3×−4中，运用了分配律．

43443

故选：C．

【例1.3】（2023七年级·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（）这一运算规律

第17页共32页.

A．加法交换律B．乘法结合律C．乘法交换律D．乘法分配律

【答案】D

【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律．

【详解】解：由图可知，6×3+4×3=(6+4)×3，

由上可得，上面的式子用的是乘法分配律，

故选：D．

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．

100

【变式】（七年级重庆万州阶段练习）计算：100×101=．

1.12023··101

【答案】10200

【分析】根据有理数的乘法运算法则计算即可．

100

【详解】100×101

101

100

=100+×101

101

100

=100×101+×101

101

=10100+100

=10200，

故答案为：10200．

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则是解答本题的关键．

【变式1.2】（2023七年级·江苏徐州·期末）在算式1.25×−3×（－8）＝1.25×（－8）×−3＝[1.25×（－

44

8）]×−3中，应用了（）

4

A．分配律

B．分配律和乘法结合律

C．乘法交换律和乘法结合律

D．乘法交换律和分配律

第18页共32页.

【答案】C

【分析】本题利用运算法则中分配律、交换律以及结合律的定义解题即可．

33

【详解】由1.25×(−)×(−8)到1.25×(−8)×(−)，利用了乘法的交换律；

44

33

由1.25×(−8)×(−)到×(−)，利用了乘法的结合律；

4[1.25×(−8)]4

综上：本题运用了乘法交换律以及乘法结合律．

故选：C．

【点睛】本题考查乘法分配律、交换律、结合律的定义，解题时按照对应定义求解即可．

【变式1.3】（2023七年级·山东德州·阶段练习）下列变形不正确的是（）

A．3×(−2)=(−2)×3

1111

B．(−)×(−12)=(−12)×(−)

4242

1111

．(−+)×(−4)=(−4)×(−)+×4

C6363

D．(−25)×(−16)×(−4)=[(−25)×(−4)]×(−16)

【答案】C

【分析】根据有理数的乘法运算律即可进行解答．

【详解】解：A：乘法交换律，交换因数的位置，积不变；故不符合题意；

B：乘法交换律，交换因数的位置，积不变；故B不符合题意；

1111

：(−+)×(−4)=(−4)×(−)+×(−4)；故符合题意；

C6363C

D：运用了乘法交换律和乘法结合律；故D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，掌握自然数范围内的乘法运算律在有理数范围内同样适用

是解题的关键．

【考点2有理数乘法运算律的应用】

43

【例2.1】（2023七年级·河南郑州·阶段练习）用简便方法计算：999×118+333×−3−999×18

555

=．

【答案】99900

【分析】本题考查有理数的简便运算．熟练掌握乘法分配律，是解题的关键．逆用乘法分配律进行计算即

可．

第19页共32页.

43

【详解】999×118+333×−3−999×18

555

413

=999×118+999×−−999×18

555

413

=999×118−−18

555

=999×100

=99900．

故答案为：99900．

【例2.2】（2023·浙江丽水·三模）如图，运算中的（）处，填写的理由是（）

55

(−12)×(−37)×=37×12×（乘法交换

66

律）

=37×12×5（）

6

=37×10=370．

A．乘法交换律B．乘法结合律C．分配律D．加括号

【答案】B

【分析】根据运算过程可知是根据乘法结合律．

5

【详解】解：××

(−12)(−37)6

5

=37×12×(乘法交换律)

6

=37×12×5(乘法结合律)

6

=37×10

=370

故选：B．

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握和运用有理数的乘法运算律是解决本题的关键．

【例2.3】（2023·浙江金华·二模）对于有理数푎，푏，定义新运算“△”，规则如下：푎△푏=푎푏−푎−푏+4，

如3△5=3×5−3−5+4=11．

(1)求3△(−4)的值．

(2)请你判断交换律在“△”运算中是否成立？并给出证明．

【答案】(1)−7

第20页共32页.

(2)成立，见解析

【分析】本题考查了有理数的混合运算；

（1）根据新定义进行计算即可求解；

（2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解．

【详解】（1）3△(−4)=3×(−4)−3−(−4)+4=−12−3+4+4=−7

（2）交换律在“△”运算中成立

证明如下：

∵푎△푏=푎푏−푎−푏+4

푏△푎=푏푎−푏−푎+4=푎푏−푎−푏+4

∴푎△푏=푏△푎即交换律在“△”运算中成立．

【变式2.1】（2023七年级·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．

17×25−6×25+7×(−2)−13×25

解：原式=17×25−6×25−13×25+7×(−2)①

=(17−6−13)×25+7×(−2)②

=(−2)×25+7×(−2)③

=−50−14④

=−36⑤

(1)上述计算过程，在第步出现错误，本题运算的正确结果是．

4

(2)结合上述解法给你的启发，计算：5×−3−(−9)×−2+(−5)×．

737

【答案】(1)⑤，−64

(2)−11

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．

（1）根据乘法运算的结合律进行判定即可；

（2）结合材料提示，运用有理数的混合运算法则即可求解．

【详解】（1）解：第⑤的计算是−50−14=−64，

∴在第⑤步出现错误，正确结果是−64，

故答案为：⑤，−64．

第21页共32页.

4

（2）解：5×−3−(−9)×−2+(−5)×

737

342

=5×−+5×−−(−9)×−

773

342

=5×−−−(−9)×−

773

=−5−6

=−11．

【变式2.2】（2023七年级·江苏南京·期末）计算2×1+1+1+1+4×1+1+1+(−6)×1+1的结

234534545

果是．

【答案】3

【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用有理数的乘法分配律求解，然后计算加减；解题的关键是掌

握运算法则和运算顺序．

【详解】2×1+1+1+1+4×1+1+1+(−6)×1+1

234534545

2124436

=1+++++1+−−

3253525

2413246

=2+++−++−

3322555

=2+2−1+0

=3．

故答案为：3．

【变式2.3】（2023七年级·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复

习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算−1÷2−1.

636

1111

刘聪和他的小伙伴选择常规解法：−1÷2−1=−1÷4−1=−1÷=−×=−;张明开动脑

63666662623

筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：=2−1÷−1

366

=2−1×(−6)=−4+1=−3

36

1

所以，原式=−.

3

(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？

(2)请选择你喜欢的解法计算：−7÷13−7−7.

84812

【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析

第22页共32页.

3

−

(2)5

【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律：

（1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法；

（2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求