第07讲 有理数的除法（3个知识点+5个考点+易错分析）原卷版

第07讲有理数的除法

（3个知识点+5个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.了解有理数除法的意义,理解有理数除法与乘法的互

模块二基础知识全梳理（吃透教材）逆关系

模块三核心考点举一反三2.掌握有理数的除法法则,能运用法则熟练地进行有理

模块四小试牛刀过关测数除法运算以及四则混合运算.

3.通过利用有理数除法法则进行运算的过程,体会转化

的数学思想

知识点1.有理数除法法则（重点）

1

（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a•（b≠0）

푏

（2）方法指引：

（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．

（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝

对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混

合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．

【例1】计算

1

(1)(－15)÷(－3)；(2)12÷(－)；

4

(3)(－0.75)÷(0.25)．

解析：采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．

解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；

11

(2)12÷(－)＝－(12÷)＝－48；

44

(3)(－0.75)÷(0.25)＝－(0.75÷0.25)＝－3.

方法总结：注意先确定运算的符号．根据“同号得正，异号得负”的法则进行计算．本题属于基础题，考

查对有理数的除法运算法则掌握的程度．

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【变式1-1】计算(−4)÷2的结果是（）

A．−2B．2C．−6D．−8

【变式1-2】计算：___________×(−6)=−54．

【变式1-3】．在−2，3，−4，12这四个数中，任意两个数相除，所得的商最小是______．

【例2】计算：

249

(1)(－18)÷(－)；(2)16÷(－)÷(－)．

338

4

【变式2-1】把−÷−5转化为乘法是（）．

34

54444

A．B．−×−4C．−×D．−×−5

3353534

21

【变式】两个数的积是−，其中一个是−，则另一个是．

2-296______

【变式2-3】计算：

11

(1)(−0.5)÷(−)(2)(−1.25)÷

44

4

÷(−12)÷÷

(3)7(4)(−378)(−7)(−9)

596

(5)(−0.75)÷÷(−0.3)(6)(−3.2)÷

45

9

(7)(−)÷2.5

14

知识点2.有理数的乘除混合运算（重点）

有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果.

注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算

【例3】计算：

51431

(1)－2.5÷×(－)；(2)(－)÷(－)×(－1)．

847142

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【变式3-1】计算(−1)÷(−5)×−1的结果是（）

5

11

．−．．−1．

A25B25CD1

1

【变式】计算：÷7×=．

3-2(−48)7_____________

【变式3-3】计算：

(1)(−3)÷−13×0.75÷−3×(−6)；

47

1

(2)−1×(−0.1)÷×(−10)；

525

(3)(−72)×−2×−3÷−8．

3515

知识点3.有理数的加减乘除混合运算（重点）

1.有理数的加减乘除混合运算

在运算时要注意按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,应先算括号里面的.在同级运算中,要按从左到

右的顺序来计算,并能合理运用运算律,简化运算

2.计算器的使用

不同品牌的计算器操作方法可能有所不同,具体操作方法应参考计算器的使用说明,熟悉各功能键.另外,还要

注意以下几点:

(1)计算器要平稳放置,以免按键时发生晃动和滑动

(2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时,要注意按关闭键

(3)确定按键顺序后,按照算式从左到右的顺序直接输入

(4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字或运算符号,以免因漏按或按

不实而出现错误.

(5)每次运算时,要按一下清零键

6)注意负数的输入方式.

44æ8ö

【例4】计算：-81´-¸ç-÷．

99è9ø

解法：原式æ44öæ8ö

1-81´ç-÷¸ç-÷①

è99øè9ø

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æ8ö

-81´0¸ç-÷

è9ø②

0③

44æ9ö

-81´-´ç-÷

解法2：原式99è8ø①

1

-36+

2②

1

-36

2③

(1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填写序号即可）

(2)请给出正确解答．

3231

【变式4-11】−×÷=（）．

4542

3531

A．B．C．D．

1011203

【变式4-2】计算：(−1)÷1+0÷8−(−5)×(−2)=__________

æ1ö

【变式4-3】计算：-2-10´ç1-´4÷．

è5ø

易错点.有理数除法运算中误用分配律

【例5】（2023秋·江苏·七年级专题练习）观察下列解题过程．

æ7öæ377ö

计算：ç-÷¸ç1--÷．

è8øè4812ø

æ7ö3æ7ö7æ7ö7

解：原式＝ç-÷¸1-ç-÷¸-ç-÷¸

è8ø4è8ø8è8ø12

æ7ö4æ7ö8æ7ö12

＝ç-÷´-ç-÷´-ç-÷´

è8ø7è8ø7è8ø7

13

＝-+1+

22

＝2

你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程．

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æ111ö

【变式5-1】．（2023秋·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：计算50¸ç-+÷．

è3412ø

111

解法一：原式50¸-50¸+50¸50´3-50´4+50´12550．

3412

æ431ö2

解法二：原式50¸ç-+÷50¸50´6300．

è121212ø12

æ111ö

解法三：原式的倒数为ç-+÷¸50

è3412ø

æ111ö11111111

ç-+÷´´-´+´．

è3412ø503504501250300

故原式300．

(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．

æ1öæ1322ö

(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：ç-÷¸ç-+-÷

è42øè61437ø

1æ3151öæ3151öæ1ö

【变式5-2】．计算：-¸ç--+÷+ç--+÷¸ç-÷

36è4121836øè4121836øè36ø

(1)前后两部分之间存在着什么关系？

(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答；

(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；

(4)根据上述分析，求出原式的结果．

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考点1：有理数的加减乘除混合运算的实际应用

1．某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃．若以每箱净重10千克为标准，超过的千

克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：

与标准质量的差值（单位：千克）-0.5-0.250+0.25+0.8+0.5

箱数143453

(1)这20箱樱桃质量相差最大是多少千克？

(2)这20箱樱桃的总质量是多少千克？

(3)水果店购进这批樱桃需要付运费100元，要把这些樱桃全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得

利润为成本的50%作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的60%，第二天因

害怕剩余的樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批樱桃的

过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本＝总进价＋运费）

2．为常态化开展社会人群核酸检测工作，我市在人群密集、流动量大的区域布局了健康小屋（便民核酸采

样点）．某采样点计划每天完成2000人次的核酸采样，实际每天采样的数量相比有出入，下表是十月份某

一周该采样点的实际采样人次（超过为正，不足为负，单位：人次）

星期一二三四五六七

增减+100-250+400-150-100+350+150

(1)根据记录可知该采样点前三天共完成了多少人次的核酸采样？

(2)采样人次最多的一天比采样人次最少的一天多了多少人次？

(3)该采样点采用十人混检的方式收集核酸样本（将10个人的样本采集后放到同一根采样管中进行检测），

该采样点在这周至少需要多少根采样管？

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3．某市出租车收费标准如下表：

种类里程（千米）收费（元）

起步价3千米以内（包括3千米）10.00

单程3千米以上，每增加1千米3.00

往返3千米以上，每增加1千米2.20

(1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？

(2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多

少元？

考点2：与有理数相关的新定义运算

4．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）若“No”是一种数学运算符号，且1No1，2No2´1，

2022N

3No3´2´1，L，则0的值为（）

2023N0

1

A．2023NoB．2022NoC．D．2023

2023

5．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）定义“!”是一种数学运算符号，并且1!1，2!2´12，

100!

3!3´2´16，4!4´3´2´124．…，则的值为（）

99!

100

A．B．99!C．100D．2!

99

6.对于有理数a、b，定义运算“Ä”如下：aÄbab¸(a+b)，试比较大小(-3)Ä43Ä(-4)(填“＞”“＜”

或“＝”)．

考点3：有理数混合运算的材料阅读题

7．阅读下题的计算方法：

æ1öæ237ö

计算：ç-÷¸ç-+÷

è24øè348ø

分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．

æ237öæ1öæ237ö

解：ç-+÷¸ç-÷ç-+÷´(-24)-16+18-21-19

è348øè24øè348ø

第7页共16页.

1

所以原式-

19

æ1öæ1293ö

根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：ç-÷¸ç--+-÷

è20øè45102ø

8．阅读下题的计算方法：

æ1öæ237ö

计算：ç-÷¸ç-+÷

è24øè348ø

分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．

æ237öæ1öæ237ö

解：ç-+÷¸ç-÷ç-+÷´(-24)-16+18-21-19

è348øè24øè348ø

1

所以原式-

19

æ1öæ1293ö

根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：ç-÷¸ç--+-÷

è20øè45102ø

24

9．老师布置了一道题目：计算49´(-5)，有两位同学的解法如下：

25

124912494

小明：原式-´5--249．

2555

2424æ24ö4

小军：原式(49+)´(-5)49´(-5)+´(-5)-245+ç-÷-249．

2525è5ø5

(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？

(2)上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的解法吗？如果有，请把它写出来．

15

(3)用你认为最合适的方法计算29´(-8)．

16

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考点4：有理数乘除法的创新应用

10．（22-23七年级上·北京东城·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是

天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个

组合代表﹣﹣年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法

是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：

天干为：2022-3¸10201LL9；地支为：2022-3¸12168LL3；对照天干地支表得出，2022年为

农历壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

请你依据上述规律推断2049年为农历年．

11.如图A在数轴上所对应的数为-2．

(1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数；

(2)在（1）的条件下，点A以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，

当点A运动到-6所在的点处时，求A，B两点间距离．

(3)在（2）的条件下，现A点静止不动，B点以原来的速度沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相

距4个单位长度．

12.如图，

7-3251

(1)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相乘，则乘积的最大值是_______

(2)若从中取出2张卡片，用这2张卡片上数字相除，则商的最小值是，

(3)若从中取出4张卡片，请运用所学的计算方法，写出一个运算式，使四个数字的计算结果为24，你选取

的数为______________，算式为___________________

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考点5：综合利用绝对值、相反数和有理数除法进行化简求值

13．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，

（1）用“>”或“<”填空：

c+b_________0，ac_________0，abc_________0，ab+c____________0．

aababc

（2）求代数式++的值．

aababc

14．已知数轴上有A，B，C三点，它们分别表示数a，b，c，且a+20+b+100，又b，c互为相反数．

(1)求a，b，c的值．

(2)若有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为6个单位/秒，乙的速度为4

个单位/秒，当两只蚂蚁在数轴上点m处相遇时，求点M表示的数．

(3)若将（2）的条件改为同向而行，其余条件都不变，求点M表示的数．

15．（2023秋·全国·七年级专题练习）请利用绝对值的性质，解决下面问题：

ab

(1)已知a，b是有理数，当a>0时，则_______；当b<0时，则_______．

|a||b|

b+ca+ca+b

(2)已知a，b，c是有理数，a+b+c0，abc<0，求++的值．

|a||b||c|

|a||b||c|

(3)已知a，b，c是有理数，当abc¹0时，求++的值．

abc

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2a2b2c-abc

16．（2023秋·全国·七年级专题练习）如果a，b，c是非零有理数，求式子+++的所有可

|a||b||c||abc|

能的值．

17.（1）根据|x|是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．

①x取何值时，|x+3|-6的值最小，最小值是多少？

②x取何值时，5-|x-2|的值最大，最大值是多少？

aaa

（2）已知若a>0，则|a|a，即1，若a<0，则|a|-a，即-1，如果x、y、z是有理

|a||a|-a

x+yx+zy+z

数，且x+y+z0，xyz<0时，求++的值．

|z||y||x|

18．在学习一个数的绝对值过程中，化简a时，可以这样分类：当a>0时，aa；当a0时，a0；

当a<0时，a-a，请用这种方法解决下列问题．

a

(1)当a3,a-2时，分别求的值；

a

ab

(2)已知a,b是有理数，当ab>0时，试求+的值；

ab

abcabc

(3)已知a,b,c是有理数，当abc<0时，试求+++的值．

abcabc

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一、单选题

æ1ö1

1．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）计算ç-÷´3¸´-3的结果是（）

è3ø3

A．-9B．-1C．3D．9

2．（23-24七年级上·福建厦门·开学考试）如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水，根据图中数据，可以

算出瓶中水的体积占瓶子容积的（）．

4154

A．B．C．D．

9295

3．（22-23七年级上·云南昆明·期中）若两个有理数在数轴上对应的点都在原点的同侧，则这两个数相除所

得的商（）

A．一定是负数B．一定是正数C．等于0D．以上都不对

3

4．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）将(-7)¸(-)¸(-2.5)转化为乘法运算正确的是（）

4

34

A．(-7)´(-)´(-2.5)B．(-7)´(-)´(-2.5)

43

4235

C．(-7)´(-)´(-)D．(-7)´(-)´(-)

3542

æ1ö

5．（22-23七年级上·云南保山·期中）计算5¸(-5)´ç-÷结果等于（）

è5ø

1

A．5B．-5C．D．1

5

6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法：

①2018个有理数相乘，其中负数有2005个，那么所得的积为负数

②若m满足m+m0，则m<0

abacbcabc

③若三个有理数a，b，c满足++-1，则++-1．

abacbcabc

其中正确的是有（）个

A．0B．1C．2D．3

二、填空题

1

7．（23-24七年级上·浙江·期末）计算：-3¸．

4

第12页共16页.

1

8．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算-100¸5´．

6

æ1ö

9．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算(-6)¸(-6)´ç-÷的结果是．

è6ø

10．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一根6.4米长的彩带，每1.4米剪一段包扎一个礼盒，这根彩带

可以包扎个礼盒．

11．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是

天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个

组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：

年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：

天干为：2022-3¸10201×××9；地支为：2022-3¸12168×××3；

对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．

123456789101112

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

请你依据上述规律推断2050年为农历年．

12．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）“凑24点”的游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52

张（如果初练也可只用1～10这40张牌），任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把

牌面上的数算成24，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是3、

8、8、9，那么算式为9-8´8´3或9-8¸8´3等，在下面4个选项中，可以凑出24点的是（填

序号）．

①1、2、3、3

②1、5、5、5

③2、2、2、2

④3、3、3、3

三、解答题

æ975öæ1ö

13．（22-23七年级上·四川成都·期中）用简便方法计算：ç+-÷¸ç-÷．

è41224øè24ø

第13页共16页.

4æ2ö1

14．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：-1.5´¸ç-÷´．

5è5ø4

æ3ö33

15．（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算：-3¸ç-1÷´¸．

è4ø47

3æ4ö

16．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：24¸-6´¸ç-÷．

2è3ø

17．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）下面各题，能简算的要写出必要的简算过程

5213æ53ö21

(1)¸´1´(2)ç3-1÷´2¸4

161535è64ø52

18．（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题：

æ125ö1

计算：-15¸ç-´÷¸

è23ø6

æ25ö

解：原式-15¸ç-÷´6（第一步）

è6ø

-15¸-25（第二步）

3

-（第三步）

5

(1)上面解题过程有两处错误：

第一处是第______________步，错误原因是______________；

第二处是第______________步，错误原因是______________；

(2)请写出正确的结果______________．

第14页共16页.

ìx,x>0

ïxx

19．（23-24七年级上·云南昆明·期中）阅读下列材料：xí0,x0，即当x<0时，-1．用这

ï|x|-x

î-x,x<0

个结论解决下面问题：

(1)已知a，b是有理数，

ab

①当a>0，b>0时，则+________；

|a||b|