第06讲 有理数的乘法（4个知识点+4个考点+易错分析）解析版VIP

第06讲有理数的乘法（4个知识点+4个考点+易错分析）

模块一思维导图串知识1.了解有理数乘法的意义,掌握有理数的乘法法则及多

模块二基础知识全梳理（吃透教材）个有理数相乘的符号法则,会进行有理数的乘法运算.

模块三核心考点举一反三2.理解有理数的乘法运算律,并会运用运算律简化运算

模块四小试牛刀过关测3.理解有理数的倒数的意义,会求一个有理数的倒数

4.能利用有理数的乘法解决实际问题

知识点1.有理数的乘法法则（重点）

有理数的乘法

（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

（2）任何数同零相乘，都得0．

【例1】计算：

(1)5×(－9);(2)(－5)×(－9)；

(3)(－6)×(－9);(4)(－6)×0；

11

(5)(－)×.

34

解析：(1)(5)小题是异号两数相乘，先确定积的符号为“－”，再把绝对值相乘；(2)(3)小题是同号两数

相乘，先确定积的符号为“＋”，再把绝对值相乘；(4)小题是任何数同0相乘，都得0.

解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45；

(2)(－5)×(－9)＝5×9＝45；

(3)(－6)×(－9)＝6×9＝54；

第1页共30页.

(4)(－6)×0＝0；

11111

(5)(－)×＝－(×)＝－.

343412

方法总结：两数相乘，积的符号是由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负，任何数乘以0，结果为0.

1

【变式1-1】计算：-´5等于．

5

【答案】-1

1

【详解】解：-´5=-1，

5

故答案为：-1．

2æ3ö

【变式1-2】´ç-÷=___________；

5è4ø

3

【答案】-

10

2´333

【详解】解：原式=﹣=﹣=﹣，

5´45´210

3æ2ö

【变式1-3】计算：2´ç-÷=_________．

8è19ø

1

【答案】-

4

3æ2ö19æ2ö1

【详解】2´ç-÷=´ç-÷=-

8è19ø8è19ø4

知识点2.倒数的概念

（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．

11

一般地，a•=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．

푎푎

（2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重

要．倒数是伴随着除法运算而产生的．

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法

求一个数的相反数求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可

求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一

求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置

注意：0没有倒数．

【例2】求下列各数的倒数．

第2页共30页.

32

(1)－；(2)2；(3)－1.25；(4)5.

43

解析：根据倒数的定义依次解答．

34

解：(1)－的倒数是－；

43

2823

(2)2＝，故2的倒数是；

3338

54

(3)－1.25＝－，故－1.25的倒数是－；

45

1

(4)5的倒数是.

5

方法总结：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数时，先把小数化为分数再求解．当一个算式中

既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便．

【变式2-1】．（23-24七年级上·广东江门·期中）若一个数的倒数是-0.25，则这个数是（）

A．-4B．4C．-0.25D．0.25

【答案】A

【分析】本题考查了倒数，掌握互为倒数两个数乘积为1是解决此题的关键．

1

【详解】解：∵一个数的倒数是-0.25=-，

4

∴这个数是-4，

故选：A．

【变式2-2】2024春·广东珠海·七年级开学考试）一个数的倒数是它本身，那么这个数是（）

A．0B．0或1C．1或-1D．0或±1

【答案】C

【详解】解：∵1´1=1，

∴1的倒数是1，

∵-1´(-1)=1，

∴-1的倒数是-1，

∵0没有倒数，

∴这个数是1或-1．

【变式2-3】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）一个数的相反数是-0.1，则这个数的倒数

是．

【答案】10

【分析】本题考查了相反数和倒数，熟记定义是解题关键．先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数

互为相反数）可得这个数为0.1，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）即可得．

【详解】解：∵一个数的相反数是-0.1，

第3页共30页.

∴这个数是0.1，

∵0.1´10=1，

∴0.1的倒数是10，

故答案为：10．

知识点3.多个有理数相乘（难点）

多个有理数相乘的法则：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶

数个时，积为正．

②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

（4）方法指引：

①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．

②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．

【例3】计算：

(1)－2×3×(－4)；

(2)－6×(－5)×(－7)；

(3)0.1×(－0.001)×(－1)；

(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)；

(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.

解析：先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可．

解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；

(2)原式＝30×(－7)＝－210；

(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；

(4)原式＝100×(－3)×(－0.5)＝－300×(－0.5)＝150；

(5)原式＝0.

方法总结：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负

因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.

【变式3-1】（2023秋·浙江·七年级专题练习）用简便方法计算：

æ1ö

(1)-2´-7´+5´ç-÷；

è7ø

æ7ö

(2)-0.25´ç-÷´4´-18．

è9ø

【答案】(1)-10

(2)-14

æ1ö

【详解】（1）解：原式=-2´+5´-7´ç-÷

è7ø

第4页共30页.

éæ1öù

=ëé-2´+5ûù´ê-7´ç-÷ú

ëè7øû

=-10´1

=-10；

æ7ö

（2）解：原式=-0.25´4´ç-÷´-18

è9ø

éæ7öù

=ëé-0.25´4ûù´êç-÷´-18ú

ëè9øû

=-1´14

=-14．

【变式3-2】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算：

5æ1ö

(1)´-1.2´ç-÷；

4è9ø

æ3öæ1öæ8ö

(2)ç-÷´ç-÷´ç-÷；

è7øè2øè15ø

【分析】（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可；

（3）根据有理数的乘法计算法则求解即可；

5æ1ö

【详解】（2）解：´-1.2´ç-÷

4è9ø

5æ6öæ1ö

=´ç-÷´ç-÷

4è5øè9ø

1

=；

6

æ3öæ1öæ8ö

（3）解：ç-÷´ç-÷´ç-÷

è7øè2øè15ø

4

=-；

35

知识点4.有理数的乘法运算律（难点）

乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；

乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.

【例4】计算：

53

(1)(－＋)×(－24)；

68

45

(2)(－7)×(－)×.

314

解析：第(1)题，按运算顺序应先算括号内的再算括号外的，显然括号内两个分数相加，通分较麻烦，而括

第5页共30页.

号外面的因数－24与括号内每个分数的分母均有公因数，若相乘可以约去分母，使运算简便．因此，可利

5

用乘法分配律进行简便运算．第(2)题，仔细观察，会发现第1个因数－7与第3个因数的分母可以约分，

14

因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．

5353

解：(1)(－＋)×(－24)＝(－)×(－24)＋×(－24)＝20＋(－9)＝11；

6868

45545410

(2)(－7)×(－)×＝(－7)××(－)＝(－)×(－)＝.

314143233

方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，

这时可用运算律进行简化运算．

æ111ö

【变式4-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）计算ç1-++÷´-12，运用哪种运算律可避免通分

è234ø

（）

A．加法交换律和加法结合律B．乘法结合律C．乘法交换律D．分配律

【答案】D

【分析】根据乘法分配律解答即可.

æ111ö

【详解】因为ç1-++÷´-12=-12+6-4-3=-13，

è234ø

æ111ö

所以计算ç1-++÷´-12时，运用乘法分配律可避免通分，

è234ø

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的运算律，正确理解题意、熟知乘法分配律是解题的关键.

æ13ö

【变式4-2】计算：-6´ç-÷=．

è62ø

【答案】8

【分析】利用有理数的乘法分配律计算，即可求解．

æ13ö

【详解】解：-6´ç-÷

è62ø

13

=-6´--6´

62

=-1+9

=8

故答案为：8

【点睛】本题主要考查了有理数乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．

æ131ö

【变式4-3】计算：ç-+÷´-12

è2412ø

【答案】2

第6页共30页.

【分析】根据乘法分配律进行计算即可求解．

æ131ö

【详解】解：ç-+÷´-12

è2412ø

131

=´-12-´-12+´-12

2412

=-6+9-1

=2

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握分配律是解题的关键．

键是掌握有理数的运算律和相关运算法则．

222

【例5】计算：－32×＋(－11)×(－)－(－21)×.

333

22

解析：根据乘法分配律的逆运算可先把－提出，可得－×(32－11－21)，再计算括号里面的减法，后计

33

算乘法即可．

2

解：原式＝－×(32－11－21)＝0.

3

方法总结：如果按照先算乘法，再算加减，则运算比较繁琐，且符号容易出现问题，但如果逆用乘法的分配

律，则可以使运算简便．

【变式5-1】（2023秋·全国·七年级专题练习）用适当的方法进行简便的计算：

31æ1ö

54´--54´+54´ç-÷

42è4ø

31æ1ö

【详解】54´--54´+54´ç-÷

42è4ø

31æ1ö

=54´+54´+54´ç-÷

42è4ø

æ311ö

=54´ç+-÷

è424ø

=54´1

=54．

【变式5-2】简便运算

1æ1öæ1ö

-5´+7´ç-÷+-12´ç-÷

32è32øè32ø

1æ1öæ1ö

【详解】解：-5´+7´ç-÷+-12´ç-÷

32è32øè32ø

æ1öæ1öæ1ö

=5´ç-÷+7´ç-÷+-12´ç-÷

è32øè32øè32ø

第7页共30页.

æ1ö

=ç-÷´5+7-12

è32ø

=0；

【变式5-3】（2023秋·全国·七年级专题练习）简便计算

15

-48´0.125+48´+-48´

84

15

【详解】-48´0.125+48´+-48´

84

æ15ö

=-48´ç0.125-+÷

è84ø

5

=-48´

4

=-60；

易错点利用分配律时出错

【例6】．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题．

17´25-6´25+7´(-2)-13´25

解：原式=17´25-6´25-13´25+7´(-2)①

=(17-6-13)´25+7´(-2)②

=(-2)´25+7´(-2)③

=-50-14④

=-36⑤

(1)上述计算过程，在第步出现错误，本题运算的正确结果是．

æ3öæ2ö4

(2)结合上述解法给你的启发，计算：5´ç-÷--9´ç-÷+-5´．

è7øè3ø7

【答案】(1)⑤，-64

(2)-11

【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．

（1）根据乘法运算的结合律进行判定即可；

（2）结合材料提示，运用有理数的混合运算法则即可求解．

【详解】（1）解：第⑤的计算是-50-14=-64，

∴在第⑤步出现错误，正确结果是-64，

故答案为：⑤，-64．

æ3öæ2ö4

（2）解：5´ç-÷--9´ç-÷+-5´

è7øè3ø7

æ3öæ4öæ2ö

=5´ç-÷+5´ç-÷--9´ç-÷

è7øè7øè3ø

第8页共30页.

æ34öæ2ö

=5´ç--÷--9´ç-÷

è77øè3ø

=-5-6

=-11．

【变式6-1】．（22-23七年级上·广西南宁·期中）运算律是解决许多数学问题的基础，在运算中有重要的作

用，充分运用运算律能使计算简便高效．

æ5ö

例如：ç-125÷¸-5．

è7ø

æ5ö51æ5ö115111

解：ç-125÷¸-5=125´=ç125+÷´=125´+´=25+=25．

è7ø75è7ø557577

æ32ö1

(1)计算：ç--÷¸，A同学的计算过程如下：

è23ø6

æ32öæ3ö2

原式=ç--÷´6=ç-÷´6+´6=-9+4=-5．

è23øè2ø3

请你判断A同学的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．

4æ3ö3

(2)请你参考例题，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）：999´118+333´ç-÷-999´118．

5è5ø5

【答案】(1)A同学的计算是错误的，过程见解析

(2)0

【分析】（1）先说明A同学的错误，再把除法变为乘法，最后运用运算律去括号计算即可；

（2）先根据积不变规律变形，再根据乘法运算律可以解答本题．

【详解】（1）解：∵A同学运用乘法分配律时第二个数的符号处理错误，

∴A同学的计算是错误的，

æ32öæ3öæ2ö

原式=ç--÷´6=ç-÷´6+ç-÷´6=-9-4=-13．

è23øè2øè3ø

4æ3ö3

（2）解：999´118+333´ç-÷-999´118

5è5ø5

4æ1ö3

=999´118+999´ç-÷-999´118

5è5ø5

æ413ö

=999´ç118--118÷

è555ø

=999´0

=0．

【点睛】本题考查了有理数的乘法分配律，解答本题的关键是明确有理数的乘法分配律的计算方法．

【变式6-2】（2023秋·浙江·七年级专题练习）学习有理数的乘法后，老师给同学们一道这样的题目：计算

第9页共30页.

24

39´-5，看谁算的又快又对．

25

9999994

小瑞很快给出了他的解法：原式=-´5=-=-199．

2555

小晨经过思考后也给出了他的解法：

æ24ö

原式=ç39+÷´-5

è25ø

=39´-5+（）

=-195+

=．

(1)请补全小晨的解题过程，并在括号里写出他用了什么运算原理?

(2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗?

15

(3)用你认为最合适的方法计算：29´-8

16

【答案】(1)见解析

(2)有，具体见解析

1

(3)-239

2

【分析】（1）根据乘法分配律计算即可补全；

24æ1ö

（2）将39´-5改为ç40-÷´-5，再根据乘法分配律计算即可；

25è25ø

（3）根据（2）的计算方法同理计算即可．

æ24ö

【详解】（1）原式=ç39+÷´-5

è25ø

24

=39´-5+´-5（乘法分配律）

25

24

=-195+(-)

5

4

=-199．

5

24244

故答案为：´-5，乘法分配律，(-)，-199；

2555

（2）有，如下：

æ1ö

原式=ç40-÷´-5

è25ø

1

=40´-5-´-5（乘法分配律）

25

第10页共30页.

1

=-200+

5

4

=-199；

5

15

（3）29´-8

16

1

=(30-)´-8

16

1

=30´-8-´-8

16

1

=-240+

2

1

=-239．

2

【点睛】本题考查有理数的乘法．掌握乘法分配律是解题关键．

考点1：相反数、倒数、绝对值的综合应用

a＋b

1.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值．

m

解析：根据相反数的概念和倒数概念，可得a、b；c、d的等量关系，再由m的绝对值为6，可求m的值，

把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值．

0

解：由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6；∴①当m＝6时，原式＝－1＋6＝5；②当m＝－6时，

6

0a＋b

原式＝－1＋6＝5.故－cd＋|m|的值为5.

－6m

方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代数式进行计算．

2．（23-24七年级上·陕西西安·期末）已知a的倒数是-3，b的绝对值是最小的正整数，且a>b，求a-b

的相反数．

2

【答案】a-b的相反数是-

3

1

【分析】本题主要考查了倒数、绝对值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出a=-，b=±1，

3

再结合a>b得出b=-1，从而求得a-b的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点

并灵活运用是解此题的关键．

【详解】解：Qa的倒数是-3，b的绝对值是最小的正整数，

1

\a=-，b=±1，

3

Qa>b，

第11页共30页.

\b=-1，

12

\a-b=---1=，

33

2

\a-b的相反数是-．

3

a+b

3．（23-24七年级上·云南昆明·期中）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，m=1，求+2m2-3cd

4m

的值．

【答案】-1

【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据a、b互为相反数，c、d互

为倒数，m=1，求出a+b=0，cd=1，m=±1，利用整体代入的思想解答是解题的关键．

【详解】解：∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，m=1，

∴a+b=0，cd=1，m=±1，

a+b

∴+2m2-3cd，

4m

02

=+2´±1-3，

4

=0+2-3，

=-1．

4．（23-24七年级上·新疆克孜勒苏·阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题．

已知a与2互为相反数

1

b与-互为倒数

3

(1)a=______，b=______．

(2)已知m-a+b+n=0，求mn的值．

【答案】(1)-2；-3；

(2)-6

第12页共30页.

【分析】本题主要考查相反数、倒数、绝对值的非负性；

（1）根据相反数及倒数可直接进行求解a、b的值，

（2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n的值，然后代入求解即可．

1

【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，b与-互为倒数，

3

∴a=-2,b=-3，

故答案为-2；-3；

（2）由题意，得|m-(-2)|+|-3+n|=0，

所以m=-2,n=3，

所以mn=-2´3=-6．

5．（23-24七年级上·广东广州·期末）（1）如果a，b互为相反数（a，b均不为0），c，d互为倒数，

ba+bb

m=4，则=______，求-cd+´m的值；

a2024a

1

（2）若实数a，b满足a=3，b=5，且a<b，求a+b的值．

3

1144

【答案】（1）-1，-5或3；（2）a+b的值是或-

333

【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值

是解题关键．

（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值．

（2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值．

b

【详解】解：（1）由题意得：=-1，

a

故答案为-1，

Qa+b=0，cd=1，m=4，即m=±4，

0

当m=4时，原式=-1+-1´4=-5；

2024

0

当m=-4时，原式=-1+-1´-4=3；

2024

综上所述，原式的值是-5或3．

（2）Qa=3，b=5，

\a=±3，b=±5

Qa<b，

\a=±3，b=5．

第13页共30页.

1114

当a=3，b=5时，a+b=3+´5=；

333

114

当a=-3，b=5时，a+b=-3+´5=-；

333

1144

综上所述，a+b的值是或-．

333

6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值等于4，

p是数轴上原点表示的数．

(1)分别直接写出a+b，cd，m，p的值；

a+b

(2)p-cd++m的值是多少？

cd

【答案】(1)a+b=0，cd=1，m=±4，P=0；

(2)3或-5

【分析】（1）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，a，b互为相反数，得到a+b=0，根据c，d互

为倒数，得到cd=1，根据m的绝对值等于4，所以m=±4，p是数轴上原点表示的数，所以p=0；

（2）本题考查了相反数、倒数、绝对值、数轴，将a+b、cd、m、p代入求解即可得到答案；

【详解】（1）解：∵a，b互为相反数，

\a+b=0，

Qc，d互为倒数，

\cd=1，

Qm的绝对值等于4，

\m=±4，

Qp是数轴上原点表示的数，

\p=0；

（2）解：①当m=4时，

a+b

∴p-cd++m=0-1+0+4=3，

cd

②当m=-4时，

a+b

∴p-cd++m=0-1+0-4=-5，

cd

a+b

\p-cd++m的值为3或-5．

cd

考点2：有理数乘法的新定义问题

7.若定义一种新的运算“*”，规定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值．

第14页共30页.

解析：解答此类新定义问题时要根据题设先确定运算顺序，再根据有理数乘法法则进行计算．

解：3*(－4)＝3×(－4)－3×3＝－21.

方法总结：解题时要正确理解题设中新运算的运算方法．

8．（22-23七年级上·甘肃兰州·期中）已知x，y为有理数，如果规定一种运算“*”，x*y=xy+1，则2*5*-3

的值是（）

A．-30B．-29C．-33D．-32

【答案】D

【分析】

此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义先计

算括号里面的，再计算括号外面的即可得到结果．

【详解】解：2*5*-3

=2´5+1*-3

=11*-3

=11´-3+1

=-32

故选：D．

100!

9.若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2´1=2，3!=3´2´1=6¼则=．

99!

【答案】100

【分析】根据1!=1，2!=2´1=2，3!=3´2´1=6¼可得出n!=n´n-1´n-2´¼´2´1，从而表示出

100!=100´99´…´2´1，99!=99´98´…´2´1，代入进行计算即可得到答案．

¼

【详解】解：Q1!=1，2!=2´1=2，3!=3´2´1=6，

\n!=n´n-1´n-2´…´2´1，

\100!=100´99´…´2´1，99!=99´98´…´2´1，

100!100´99´…´2´1

\==100，

99!99´98´…´2´1

故答案为：100．

【点睛】本题主要考查了有理数的乘法，理解题意，通过题意得出规律n!=n´n-1´n-2´¼´2´1是解

题的关键．

æ3öæ4ö

10．（23-24七年级上·河南周口·期中）若“※”是新规定的某种运算符号，设a※b=2a-3b，则ç-÷※ç-÷

è4øè3ø

的值为．

5

【答案】

2

第15页共30页.

【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义得到

æ3öæ4öæ3öæ4ö

ç-÷※ç-÷=2´ç-÷-3´ç-÷，据此计算求解即可．

è4øè3øè4øè3ø

æ3öæ4ö

【详解】解：ç-÷※ç-÷

è4øè3ø

æ3öæ4ö

=2´ç-÷-3´ç-÷

è4øè3ø

3

=-+4

2

5

=，

2

5

故答案为：．

2

11．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）七年级小梅同学在学习完第二章《有理数》后，对运算产生了

浓厚的兴趣，她借助有理数的运算，定义了一种新运算“Å”，规则如下：aÅb=a´b+2´a-b．

(1)求-1Å-3的值；

(2)求-4Åëé2Å-5ûù-3的值．

【答案】(1)4

(2)-3

【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．

（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；

（2）按照定义的新运算进行计算，即可解答．

【详解】（1）解：-1Å-3

=-1´-3+2´-1--3

=3+-2+3

=1+3

=4；

（2）-4Åëé2Å-5ûù

=﹣4Åëé2´-5+2´2--5ûù

=-4Å-10+4+5

=-4Å-1

=-4´-1+2´-4--1

=4+-8+1

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=-4+1

=-3．

考点3:运用有理数的乘法运算解决实际问题

12.我市旅游局发布统计报告：国庆期间，溱湖风景区在7天假期中每天接待游客的人数变化如下表(正数

表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数).

10月10月10月10月10月10月10月

日期

1日2日3日4日5日6日7日

人数变化

单位：万＋1.2＋0.8＋0.2－0.2－0.6＋0.2－1

人

若9月30日的游客人数为0.6万人，10月1日～10月3日门票为每人150元，10月4日～10月5日

门票为每人120元，10月6日～10月7日门票为每人100元，问国庆期间溱湖风景区门票收入是多少元？

解：10月1日的游客人数为0.6＋1.2＝1.8(万人)；10月2日的游客人数为1.8＋0.8＝2.6(万人)；

10月3日的游客人数为2.6＋0.2＝2.8(万人)；10月4日的游客人数为2.8－0.2＝2.6(万人)；10月5日

的游客人数为2.6－0.6＝2(万人)；10月6日的游客人数为2＋0.2＝2.2(万人)；10月7日的游客人数为

2.1－1＝1.1(万人)．则该风景区国庆期间的门票收入为[150×(1.8＋2.6＋2.8)＋120×(2.6＋2)＋

100×(2.2＋1.2)]×10000＝19720000(元)．

13.某果农把自家果园的草莓包装后再进行销售，原计划每天卖10箱，但由种种原因，实际每天的销售量与

计划量相比有所增减，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足额记为负，单位：箱）

星期一二三四五六日

与计划量的差值+4-3-2+7-6+18-5

(1)根据表格可知，销售量最多的一天比最少的一天多卖出__________箱；

(2)本周实际销售总量超过或不足计划数量多少箱？请通过计算说明理由；

(3)若每箱草莓的售价为65元，已知果园有3个工人，每人每天的开支为80元，卖出每箱草莓需支出包装

费5元，那么该果农本周共获利多少元？

【答案】(1)24；

(2)超过13箱；理由见解析

(3)1059元．

【详解】（1）解：+18--6=18+6=24（箱），

即销售量最多的一天比最少的一天多卖出24箱，

故答案为：24；

（2）4-3-2+7-6+18-5=13>0，

答：本周实际销售总量超过13箱；

第17页共30页.

（3）10´7+13´60-5-80´3´7

=83´33-1680

=2739-1680

=1059（元），

答：该果农本周共获利1059元．

14．（2023秋·江苏·七年级专题练习）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于

各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：

星期一二三四五六日

增减+5-2-4+13-10+16-9

(1)根据记录可知前四天共生产辆；

(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆；

(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生

产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？

【答案】(1)412

(2)26

(3)42675

【详解】（1）解：100´4+5-2-4+13=412（辆）；

故答案为：412；

（2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产16--10=26（辆），

故答案为：26．

（3）解：根据图表信息，本周生产的车辆共计：100´7+5-2-4+13-10+16-9=709．

709´60+709-700´15=42675（元）．

答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．

考点4：有理数乘法的规律探究

15．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法

则．在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考．

【探索】

（1）若ab=8，则a+b的值为：①正数，②负数，③0．你认为结果可能是；（填序号）

（2）若a+b=-6，且a、b为整数，则ab的最大值为；

【拓展】

（3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若ab<0，试比较a+b与0的大小．

【答案】（1）①②

第18页共30页.

（2）9

（3）a>0，b<0时，若a>b，则a+b>0，若a=b，则a+b=0，若a<b，则a+b<0；a<0，b>0

时，若a>b，则a+b<0，若a=b，则a+b=0，若a<b，则a+b>0．

【分析】本题考查了有理数加法和乘法法则及分类讨论的应用：

（1）根据a、b同号，可能同为正数，也可能同为负数即可得到答案；

（2）ab最大，需a、b同号，而a+b=-6知a、b均为负整数，分类讨论即可得答案；

（3）根据a、b异号，分类讨论a+b与0的大小．

【详解】（1）解：Qab=8，

\a、b同号，

\a、b同为正数时，a+b>0；

a、b同为负数时，a+b<0；

故答案为：①②；

（2）解：Qa+b=-6，ab最大，

\a、b同号，

Qa+b=-6，

\a、b同为负数，

Qa、b为整数，

\a、b分别为-1和-5，此时ab=5；或a、b分别为-2和-4，此时ab=8；或a、b分别为-3和-3，此时

ab=9，

故答案为：9；

（3）解：Qab<0，

\a、b异号，

①设a>0，则b<0，

若a>b，则a+b>0，

若a=b，则a+b=0，

若a<b，则a+b<0，

②设a<0，则b>0，

若a>b，则a+b<0，

若a=b，则a+b=0，

若a<b，则a+b>0，

综上所述，a>0，b<0时，若a>b，则a+b>0，若a=b，则a+b=0，若a<b，则a+b<0；

a<0，b>0时，若a>b，则a+b<0，若a=b，则a+b=0，若a<b，则a+b>0．

第19页共30页.

16．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式：

11111111

第1个等式：-1´=-1+=-；第2个等式：-´=-+=-；

22223236

11111

第3个等式：-´=-+=-；……

343412

(1)根据上述规律写出第5个等式：；

(2)第n个等式：；（用含n的式子表示）

æ1öæ11öæ11öæ11ö

(3)计算：ç-1´÷+ç-´÷+ç-´÷+××××××+ç-´÷．

è2øè23øè34øè20222023ø

11111

【答案】(1)-´=-+=-

565630

11111

(2)-´=-+=-

nn+1nn+1nn+1

2022

(3)-

2023

【分析】本题考查了有理数的乘法运算，

（1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答；

11111

（2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：-´=-+=-；

nn+1nn+1nn+1

（3）由（2）的结论，先化简再运算，即可作答，

11111

掌握第n个等式：-´=-+=-是解题的关键．

nn+1nn+1nn+1

11111

【详解】（1）解：依题意，第5个等式：-´=-+=-；

565630

111

（2）解：第1个等式：-1´=-1+=-；

222

11111

第2个等式：-´=-+=-；

23236

11111

第3个等式：-´=-+=-；

343412

11111

第4个等式：-´=-+=-；

454520

11111

第5个等式