2024学年雅安中学高一数学上期12月考试卷附答案解析

学年雅安中学高一数学上期12月考试卷本试卷分第I卷选择题和第Ⅱ卷非选择题，满分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共58分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.下列说法正确的是（）A.由组成的集合可表示为或B.与是同一个集合C.集合与集合同一个集合D.集合与集合是同一个集合2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.3.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.4.函数的大致图象如图所示，则可能是（）AB.C. D.5.已知，则的大小关系为（）A.B.C. D.6.已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（）A.B.C D.7.钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森于1984年提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强据报道，2019年国庆大阅兵亮相的部分东风系列中程和洲际导弹就采用了该弹道设计，这极大地提升了我国的国防实力.关心国防建设的某高一学生，在学习了“函数的应用”后，用的图象拟合某一钱学森弹道，其中（千公里）表示弹道横向位移，（千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据：，则分别为（）A.B.C. D.8.已知函数的定义域为，都有，且，都有，若，则的取值范围是（）A.B.C. D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的0分）9.已知正实数满足，则下列说法不正确的有（）A.最大值为 B.的最小值为2C.的最大值为2 D.的最小值为210.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（）A.B.C.是偶函数D.若，则11.函数fx=xA. B.C. D.第II卷（非选择题共92分）三､填空题（共3个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）12.计算__________.13已知，则__________.14.已知函数若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________（用区间表示）.四､解答题（共5个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）15.已知集合.（1）若，求；（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围.16.已知函数与互为反函数，记函数.（1）若，求x的取值范围；（2）若，求的最大值.17.2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为Fx万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）（1）求函数Fx（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？18.已知，函数（1）当时，解不等式；（2）设是该函数图象上任意不同的两点，且满足点在点的左侧，求证：点在点的上方；（3）设，若对任意的在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.19.双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①②（2）用定义证明双曲正弦函数在R上是增函数；（3）求函数在R上的值域.雅安中学2024—2025学年上期12月考试高一年级数学试题第I卷（选择题共58分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1.下列说法正确是（）A.由组成的集合可表示为或B.与是同一个集合C.集合与集合是同一个集合D.集合与集合是同一个集合【答案】A【解析】【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误；集合，集合，故C错误；集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误.故选：A.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由全称量词命题的否定概念可得答案.【详解】依题意，命题“”的否定是“”.故选：C3.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：，解得或，故定义域为：故选：D4.函数的大致图象如图所示，则可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得.【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为.对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误；对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误；对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确；对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误；故选：C.5.已知，则的大小关系为（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性，结合中间量1比较大小即可.【详解】，.故选：D.6.已知函数，若当的定义域为时实数的取值范围为集合A，当的值域为时实数的取值范围为集合B，则下列说法正确的是（）A.B.C D.【答案】D【解析】【分析】对于A，由可确定A；对于B，由能取到所有正数可确定集合B；对于CD，由AB选项分析，结合交集，并集定义可判断选项正误.【详解】A选项，的定义域为R,则.当时，，解得，故定义域不是R，不满足题意；当时，由Δ=4−12a<0a>0⇒a>1实数的取值范围为，故，A错误；B选项，的值域为R，则能取到所有正数.当时，能取到所有正数，满足要求，当时，要想能取到所有正数，需且，解得，综上，，故，故В错误；CD选项，所以，故C错误，D正确.故选：D7.钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是著名科学家钱学森于1984年提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和灵活性，作战能力显著增强据报道，2019年国庆大阅兵亮相的部分东风系列中程和洲际导弹就采用了该弹道设计，这极大地提升了我国的国防实力.关心国防建设的某高一学生，在学习了“函数的应用”后，用的图象拟合某一钱学森弹道，其中（千公里）表示弹道横向位移，（千公里）表示弹道纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据：，则分别为（）A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意代入已知方程，联立方程即可求解.【详解】将代入可得和，解得.故选：B8.已知函数的定义域为，都有，且，都有，若，则的取值范围是（）A.B.C. D.【答案】A【解析】【分析】采用赋值法先分析的奇偶性，再根据条件得到的单调性，然后将函数值大小关系转化为自变量大小关系，从而可求结果.【详解】因为，都有，令，则，解得，令，则，解得，令，则，又的定义域为关于原点对称，所以为偶函数；因为，都有，即，都有，所以在上单调递减，所以在上单调递减，所以在上单调递增，又因为，所以，由此解得或，故选：A.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的0分）9.已知正实数满足，则下列说法不正确的有（）A.的最大值为 B.的最小值为2C.的最大值为2 D.的最小值为2【答案】AC【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC，利用乘1法即可判断D，利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A，因为，所以，因为为正实数，所以，解得：，，由二次函数的性质可知无最大值，故A错误；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，所以的最大值为1，故C错误；对于D，因为，所以，，当且仅当，即时取等，故D正确.故选：AC.10.已知幂函数的图象经过点，下列结论正确的有（）A.B.C.是偶函数D.若，则【答案】AC【解析】【分析】由幂函数定义可得A；结合图象经过点可得解析式及其定义域，即可得B；结合偶函数定义计算即可得C；结合偶函数性质与幂函数单调性计算即可得D.【详解】对A：由题意可得，解得，即，故A正确；对B：由，其定义域为，故B错误；对C：由，故是偶函数，故C正确；对D：由，故在0,+∞上单调递减，又是偶函数，故可得，对，即有，整理得，解得，由、可得、，故，故D错误.故选：AC.11.函数的零点分别为，以下结论正确的有（）A. B.C D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数零点的定义，通过转化法，结合两个函数交点、反函数的性质、基本不等式逐一判断即可.【详解】当时，由，由，因此函数图象的交点横坐标为，即的图象交点的横坐标为，，而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，它们的函数图象如下图所示：由，函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，因为函数的图象关于直线对称，所以函数也关于直线对称，因此有，.A：，所以本选项不正确；B：由，可得，，所以本选项正确；C：，当且仅当取等号，即时取等号，此时，所以该不等式等号不成立，即，因此本选项正确；D：已知，因为，所以.又.结合fx=根据函数值的正负性，所以.对于函数，它在区间单调递增.将代入得.因为在上单调递增，所以，这就说明选项D错误.故选：BC.第II卷（非选择题共92分）三､填空题（共3个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）12.计算__________.【答案】3【解析】【分析】利用对数的运算法则和对数换底公式计算即得.【详解】原式.故答案为：3.13.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用换元法求出函数解析式.【详解】依题意，，令，则，，所以.故答案为：14.已知函数若恰有2个零点，则实数的取值范围是__________（用区间表示）.【答案】【分析】先求出和的根，再根据恰有2个零点，以及的解析式可得的范围.【详解】，得，得；由，得，得或，因为恰有2个零点，所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则..；若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的.综上所述：实数a的取值范围是或.故答案为：.四､解答题（共5个小题.请将正确答案填写在答题卡相应位置）15.已知集合.（1）若，求；（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）由指数函数单调性解不等式化简集合A，解二次不等式可化简集合B，后由交集定义科的答案；（2）由题可得，A是B的真子集，据此可得答案.【小问1详解】，则.当时，，则.故；【小问2详解】.由题，则.又“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集，则m>02−m≤−22+m≥5⇒m≥4则实数的取值范围是16.已知函数与互为反函数，记函数.（1）若，求x的取值范围；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）最大值6【分析】（1）根据题意可得，根据一元二次不等式结合指数函数单调性解不等式；（2）换元令，结合二次函数求最值.【小问1详解】因为与互为反函数，则，故.不等式，即为，即，解得，故，所以x的取值范围是.【小问2详解】令，则，函数等价转化为，则，所以当时，取得最大值，故当时，函数的最大值为6.17.2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到300Wh/kg的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产1千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入2.5x万元，全年利润为Fx万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润＝收入－成本总投入）（1）求函数Fx（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．【分析】（1）根据已知函数模型得出函数解析式；（2）分别利用二次函数性质和基本不等式求出分段函数两段的最大值，然后比较可得．【小问1详解】由题意得，∵，∴当时，，当时，，综上所述，函数Fx的解析式为．【小问2详解】由（1）得，当时，，∴Fx在上单调递减，在上单调递增，∴；当时，，当且仅当，即时，，∵，∴Fx故当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．18.已知，函数（1）当时，解不等式；（2）设是该函数图象上任意不同的两点，且满足点在点的左侧，求证：点在点的上方；（3）设，若对任意的在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围.【答案】（1）（2）证明