数学-广东省清远市清新区四校2025届高三12月期末考试题和答案

00清新区2024-2025学年高三上学期12月期末四校联考2.复数a+bi(a，b∈R)等于它共轭复数的倒数的充要条件是()225A.4B.C.8D.544.抛物线C:y=-4x2的准线方程为()5.已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，PF1丄PF2，=，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为()A.B.C.D.6.过圆x2+y2=4上一点P作圆O:x2+y2=m2(m>0)的两条切线，切点分别为A，B，若上APB=A.B.C.17.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为()A.B.C.D.8.已知函数y=sin在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则w的取值范围是()D.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是面AB1，面B1D1，面DA1的中心，则下列结论正确的A.NP∥DC1B.MNⅡ平面ACPC.D1C丄平面MNPD.PM与BC1所成的角是60。10.下列结论正确的是()2a22的最大值为2a22的最大值为222222yA若圆C1与圆C2无公共点，则0<r<4.B.当r=5时，两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0C.当r=2时，则PQ斜率的最大值为-D.当r=3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A,B，则ÐAPB不可能等于则下列结论正确的是()C.当a>e时，曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有且只有两条公切线D.若h(x)为单调函数，则e-e≤a<113.第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记X为该区代表中被抽到发言的人数，则D(X)=.14.函数f(x)=log-a(a∈R)是奇函数，则f(4a)=.λ;+).(λa-)<0成立的一个充分.16.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1丄BD1，且二面角B1-BD1-C1的正切值为-．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱ABCD-A1B1C1D117.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bcosC+ccosB+(2)若S△ABC=、F,求a的最小值.(2)设cn=，数列的前n项和为Tn，求满足的最大整数n的值.19.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=J5，QC=3，（2）求直线BQ与平面QCD夹角的正弦值.20.甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立.（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；（2）赛事主办方需要预支球队费用a万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定a的值，才能使其获利（获利=总收入-预支球队费用）的期望高于21.抛物线C1：x2=4y，双曲线且离心率 作C1的切线，其斜率为-.2过曲线C2下支上的一点（1）求C2的标准方程；（2）直线l与C2交于不同的两点P，Q，以PQ为直径的圆过点N，过点N作直线l的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.（1）求双曲线C的方程；（2）设过点(0,2)的直线l与曲线C交于M,N两点，问在y轴上是否存在定点P，使得r.为常数？若存在，求出点P的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.清新区2024-2025学年高三上学期12月期末四校联考【答案】D【解析】【分析】先求得集合B={0,1}，再根据交集定义得解.故选：D.2.复数a+bi(a，b∈R)等于它共轭复数的倒数的充要条件是()22【答案】B【解析】故选B.5A.4B.C.8D.54第2页/共22页【答案】A【解析】【分析】由等比数列基本量的计算首先得公比，进一步得首项，由此即可得解.q2故选：A.4.抛物线C:y=-4x2的准线方程为()【答案】B【解析】【分析】把抛物线方程化为标准形式，结合准线方程的特点进行求解即可.【详解】抛物线C的标准方程为x2=-所以其准线方程为，故选：B圆O：x2+y2=(a2+b2)，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为9b2，则C的离心率为()A.B.C.2D.【答案】D【解析】四边形AMBN的面积为解得可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆心为O(0,0)，半径为，过O作MN的垂线，垂足为D，O为F1F2的中点，则同理由AB丄MN， 故选：DA.B.C.1【答案】C【解析】【分析】取圆x2+y2=4上任意一点P，过P作圆O:x2+y2=m2(m>0)的两条切线PA，PB，根据题中条件，求出第4页/共22页【详解】取圆x2+y2=4上任意一点P，故选：C.【点睛】本题主要考查求由直线与圆相切求参数，属于基础题型.7.甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为()A.B.D.【答案】C【解析】【分析】由排列组合知识结合概率公式即可得解.【详解】因为甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，若每个同学可以自由选择，所以甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为.故选：C.8.已知函数y=sin在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则w的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦型函数的最值性质进行求解即可.所以由题意可得解得.故选：D9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是面AB1，面B1D1，面DA1的中心，则下列结论正确的A.NP∥DC1B.MNⅡ平面ACPC.D1C丄平面MNPD.PM与BC1所成的角是60。【答案】ABD【解析】【分析】A．利用三角形中位线进行证明；B．通过线面平行的定理证明；C．通过线面垂直的性质进行判断；D．通过平行的传递性找出ÐDBC1即为PM与BC1所成的角，即可求出答案.连接B1D1，B1A，则MNⅡAD1，MN丈平面ACD1，AD1Ì平面ACD1，∴MN//平面ACD1，即MN//平面ACP，故B正确；连接B1D1,B1A,AD1，则平面MNP即为平面B1AD1，显然D1C不垂直平面B1AD1，故C错误；∵PM∥B1D1∥BD，∴上DBC1或其补角为PM与BC1所成的角，上DBC1=60°,故D正确.故选：ABD.10.下列结论正确的是()2【答案】AD【解析】【分析】利用作差法比较大小判断A，利用基本（均值）不等式判断BCD，要注意“一正二定三相等”.+2的等号成立条件x2+2=不成立，所以B错误；2当且仅当故选：AD22A.若圆C1与圆C2无公共点，则0<r<4B.当r=5时，两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0C.当r=2时，则PQ斜率的最大值为D.当r=3时，过P点作圆C2两条切线，切点分别为A,B，则ÐAPB【答案】BC【解析】【分析】对于A，当两圆内含时即可判断错误；对于B，两圆方程相减即可验算；对于C，画出公切线通过数形结合即可验算；对于D，画出圆C2两条切线，通过数形结合即可验算.【详解】对于选项A，当两圆内含时，r可以无穷大，所以A不正确；当r=5时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为6x-8y-1=0，所以B为正确选项；对于选项B，当r=2时如图，器聘,kPQ=-即PQ斜率的最大值为-，C选项正确；对于D选项，如图，所以中间必然有位置使得上BP，故D错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：判断CD两选项的关键是准确画出图形，通过数形结合即可顺利得解.则下列结论正确的是()C.当a>e时，曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有且只有两条公切线D.若h(x)为单调函数，则e-e≤a<1【答案】BCD【解析】【分析】A.h(x)=axlna-aln(x-1),通过举特例说明该选项错误；B.考虑F(x)=xlnx，Q求出函数的单调性，分析图象得到h(x)有两个零点；C．求出两曲线的切线方程，再建立方程组，转化为零点个数问题分析得解；D.分h(x)单调递增和单调递减讨论，从而求出e-e≤a<1得解.x-1a(x-1)都成立，h(x)有两个零点，故A错误；:tlnt=(x-1)ln(x-1)t>1）.考虑y=xlnx=F(x),F¢(x)=lnx+1=0,,所以函数F(x)在(0,)单调递减，在(,+∞)单调递增，设切点(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),:y-f(x1)=f¢(x1)(x-x1),y-g(x2)=g¢(x2)(x-x2),2所以S(t)=0有两解，所以当a>e时，曲线y=f(x)与曲线y=g(x)有且只有两条公切线，所以该选:mam≥.考虑y=mam,ymin→0,不满足.所以(ma")max≤,考虑y=mam,y¢=(1+mlna)at=0,:t=-不满足.-,:a-e故选：BCD【点睛】关键点睛：本题主要有四个关键，其一，是逻辑思维，证明命题是错误的，只要举出反例即可；其二，要熟练掌握利用导数讨论函数的零点个数；其三，是理解掌握曲线公切线的研究方法；其四，要会根据函数的单调性求参数的范围.13.第二届广东自由贸易试验区一联动发展区合作交流活动于2023年12月13日—14日在湛江举行，某区共有4名代表参加，每名代表是否被抽到发言相互独立，且概率均为，记X为该区代表中被抽到发言的人数，则D(X)=.【答案】##0.75【解析】【分析】根据题意可知随机变量为利用方差公式D(X)=np(1-p)从而可求解.【详解】由题意知随机变量为【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合对数运算，即可求解a，再代入函数解析式求值.3-a，所以f(-x)=log3(-x+F珂)-a.因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(-x)=0，即log3-a+log3-a=0，故答案为：1λa-)<0成立的一个充分不必要条件是.【答案】λ=0（答案不唯一）【解析】【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为-1<λ<1的一个充分不必要条件进而求解.所以λi+=(λ-2,2λ+1)，λi-=(λ+2,2所以使(λ+).(λ-)<0成立的一个充分不必要条件是λ=0.故答案为：λ=0（答案不唯一）16.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB=4，A1B=BC1，BB1丄BD1，且二面角B1-BD1-C1的正切值为-．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱ABCD-A1B1C1D1【解析】【分析】先求得B到平面A1B1C1D1的距离，然后利用对称法以及三点共线等知识求得PB1+PQ的最小值.【详解】连接A1C1，交B1D1于E，设F是BD1的中点，连接EF,C1F.,BE∩B1D1=E,BE,B1D1Ì平面BB1D1，所以A1C1丄平面BB1D1，由于BD1,EFÌ平面BB1D1，所以A1C1丄BD1，A1C1丄EF，由于E,F分别是B1D1,BD1的中点，所以EF//BB1，由于BB1丄BD1，所以EF丄BD1，由于A1C1∩EF=E,A1C1,EFÌ平面EFC1，所以BD1丄平面EFC1，由于C1FÌ平面EFC1，所以BD1丄C1F，所以三角形BB1D1是等腰直角三角形，所以BE丄B1D1，由于A1C1∩B1D1=E,A1C1,B1D1Ì平面A1B1C1D1，所以BE丄平面A1B1C1D1，且BE=B1D1=2由于，所以Q点的轨迹是以D1为球心，B1关于平面ABCD的对称点为B¢BB¢=2×2=4,连接B¢D1，交平面ABCD于P，故答案为【点睛】求解二面角有关问题，关键是找到二面角的平面角，二面角的平面角的定义是：在二面角的交线上任取一点，然后在两个半平面内作交线的垂线，所得角也即是二面角的平面角.17.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bcosC+ccosB+(2)若S△ABC=、F,求a的最小值.（2）2.【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得cosA=-进而可求解，（2）根据面积公式以及余弦定理，结合基本不等式即可求解.由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB+QA∈(0,π)，【小问2详解】S△ABC=bcsinA=.(2)设cn=，数列的前n项和为Tn，求满足Tn<的最大整数n的值.（2）9.【解析】【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式求解；（2）先拆项分母得再利用裂项相消法求和，进而解不等式求满足Tn<的最大整数n的值.q2），设{bn}的公差为d，5【小问2详解】所以满足的最大整数n=9.19.在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，QD=QA=J5，QC=3，（1）求四棱锥Q-ABCD的体积；（2）求直线BQ与平面QCD夹角的正弦值.【解析】【分析】（1）取AD的中点O，连接QO，QC，可证QO丄平面ABCD，则QO为四棱锥Q-ABCD的高，利用锥体体积公式求解即可；（2）建立空间直角坐标系，求直线BQ的方向向量和平面QCD的法向量，线面角的正弦值即为直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值，求解即可.取AD的中点O，连接QO，QC，又AD∩CO=O，ADÌ平面ABCD，COÌ平面ABCD，所以QO丄平面ABCD，【小问2详解】杰过O作OM//CD交BC于M，则OM丄AD，结合（1）中QO丄平面ABCD，故可建如图空间直角坐标系：故配=(-2,1,2),C=(2,1,-2),D=(0,1,-2),设平面QCD的法向量为=(x,y,z)，0设直线BQ与平面QCD夹角为θ,所以直线BQ与平面QCD夹角的正弦值为 45.20.甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立.（1）在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；（2）赛事主办方需要预支球队费用a万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定a的值，才能使其获利（获利=总收入-预支球队费用）的期望高于【解析】【分析】（1）先求出比赛4场结束的概率，然后利用条件概率公式即可解答；（2）先由题意列出比赛收入的分布列，从而求出期望值，进而根据题意确定a的值.记事件A为“比赛进行4场结束”；事件B为“甲最终获胜”，事件M为“比赛进行4场结束甲获胜”；事件N为“比赛进行4场结束乙获胜”.因为各场比赛结果相互独立，所以P(M)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)因为M,N互斥，所以P(A)=P(M)+P(N)=0.21+0.16=0.37.又因为M=AB，所以由条件概率计算公式得【小问2详解】设主办方本次比赛总收入为X万元，由题意：X的可能取值为：300,500,700.则随机变量X的分布列为：X300500700P0.260.370.37设主办方本次比赛获利为Y万元，则Y=X-a，所以E(Y)=E(X-a)=E(X)-a，所以预支球队的费用应小于261万元.21.抛物线C1：x2=4y，双曲线且离心率e=，过曲线C2下支上的一点 作C1的切线，其斜率为-.2（1）求C2的标准方程；（2）直线l与C2交于不同的两点P，Q，以PQ为直径的圆过点N，过点N作直线l的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由.2(2)存在，|DH|=定点D(0,-).【解析】【分析】（1）写出切线方程并与抛物线方程联立求出点M坐标，再结合离心率求出双曲线方程作答.（2）当直线PQ不垂直于y轴时，设出直线方程并与C2的方程联立，借助韦达定理及向量数量积求出直线PQ过定点E，直线PQ垂直于y轴，验证也过定点E，取线段EN中点即可作答.x+m+则所以双曲线C2的标准方程为.【小问2详解】当直线PQ不垂直于y轴时，设直线PQ方程为x=ky+t，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，ttt2-4(k2-4(i2+1)=4(412+4-k')>0，y1+y2=,y1y2=,因以PQ为直径的圆过点N(0,)，则当P，Q与N都不重合时，有NP⊥NQ，