概率论教案课程

第一章随机事件与概率

第一节随机事件

教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事

件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。

教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。

教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。

教学内容：

1、随机现象与概率统计的研究对象

随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。

研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。

2、随机试验（E）

对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可

能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事

先不知。

3、基本事件与样本空间

（1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样

本点，用。表示。

（2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本

空间，用Q表示。

4、随机事件

（1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时•间。用A、B、C

等表示。

（2）随机事件的集合表示

（3）随机事件的图形表示

必然事件（Q）和不可能事件（E）

5、事件间的关系与运算

（1）包含（子事件）与相等

（2）和事件（加法运算）

（2）积事件（乘法运算）

（3）互斥关系

（4）对立关系（逆事件）

（5）差事件（减法运算）

6、事件间的运算规律

（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律

教学时数：2学时

作业：习题一1、2

第二节概率的定义

教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的

计算方法；了解概率的基本性质。

教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。

教学内容：

1、概率

用于表示事件A发生可能性大小的数称为事件A的概率，用P（A）表示。

2、古典型试验与古典概率

（1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生

是等可能的。

（2）古典概率，在古典型试验中规定

（）=A中含的基本事件数=k

’C中基本事件总数一〃

3、几何型试验与几何概率

（1）几何型试验

向区域G内投点，点落在G内每一点处是等可能的，落在子区域G内

（称事件A发生）的概率与的度量成正比，而与G1的位置和形状无关。

（2）几何概率。在几何型试验中规律定

。的度量

P(A)=

G的度量

4、频率与统计概率

(1)事件的概率

设在n次重复试验中，事件A发生了r次，则称比值二为在这n次试验

n

中事件A发生的频率，记为<(A)=C

n

(2)频率的性质

①y(A)G；0<(Q)=l；⑤，(①)=0；

④AB=(D时,f”(A+8)=/“(A)+力(8)；

©随机性：/■的出现是不确定的；⑥稳定性：£(4)一〃5-8)

(3)统计概率，规定

P(A)=P

(4)统计概率的计算

p(A)«—(n很大)

n

5、概率的基本性质

从以上三种定义的概率中可归纳得到：

(1)0<P(A)<l;

(2)pg)=i

(3)P(0)=O

(4)若AB=°,则尸(A+B)=尸(A)+尸(B)

教学时数：2学时

作业：习题一4、7、8、11

第三节概率的公理化体系

教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式

求概率。

教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。

作业：习题一15、16

第四节条件概率，乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式

教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶

斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝口I斯公式的

应用。

教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。

教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。

教学内容：

1、条件概率

(1)实际问题中要确定在某事件己发生时，另一事件的概率，看书外。

例，在具体问题求条件概率。

(2)定义：若P⑻〉0,称

P(AB)

P(4IB)=

P⑻

为在事件B发生的条件下事件A的条件概率。

2、概率的乘法公式

(1)P(AB)=P(B)P(AIB)

=P(A)P(^A)

(2)P(A3O=P(A)P(@A)P(qAa

3、概率的全概率公式与贝叶斯公式

(1)看书“23。例3分析和解决看两公式的实际背景。

(2)定理1设事件4*2,A,…A”两两互斥，且

P(A)>0(/=1,2,.••//),对于任何事件B,若汽A,nB,则有

1=1

P(B)=£P(A)P(MA)(全概率公式)

f=l

(3)定理2,定理1中的事件中，乂P(B)>0,则有

P(Am)p(B\Am)............

尸(A,j8)=〃(m=l,2,…〃)(贝叶斯公式)

2/4)〃(网4)

i=\

教学时数：2学时

作业：习题一12、14、17、18

第五节独立试验概型

教学目的：掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算；

掌握贝努里概型，会用二项概率公式计算概率。

教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算，

贝努里概型与贝努里概型意义的正确理解。

教学内容：

1、两事件的独立性

定义1对任意两事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互

独立。

2、两事件独立的性质

若事件A与B独立，则事件A与万，^与B,K与豆都相互独立。

3、三事件的独立性

定义2设有事件义B、C,若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AC)=P(A)P(C)>

P(BC)=P(B)P(C),则称事件A,B,C,两两相互独立;又，若

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立。

4、n个事件的独立性

定义3、设有事件A，&,&…A“，若。（4）〃（熊>•.〃（勺）其中

为（1，2，…〃）中任意S个不同的数。（5=2,3,,〃）则事件

A，人,人…4相互独立。

5、独立情况的概率公式

定理1.设事件相互独立，则

（1）P（£A,）=£P（4）

i=li=l

（2）p（£a）=i-£p（4）

i=li=l

定理2、若事件A3,C独立，则A+3、AB.A-3分别与。独立。

6、贝努里概型

（1）贝努里试验：只有两个结果（4和入）的试验。

P（A）=p,P（A）=q,O<P<lp+q=\

（2）〃重贝努里试验：把同一个贝努里试验独立地重复〃次。也称贝努

里概型。

7.二项概率公式

在〃重贝努里试验中，时间4恰好发生k次的概率为

匕（⑥=。»尸«=。，1，2,…,〃

教学时数：2学时

作业：习题一19、23、26、27、28

第二章随机变量及其分布

第一节随机变量与分布函数

教学目的：掌握随机变量的概念，并利用其表示随机事件，掌握随机变

量的分布函数的概念和性质。

教学重点：随机变量的概念；随机变量分布函数的定义及其性质。

教学难点：对随机变量及其分布函数的正确理解。

教学内容：

1.随机变量的概念

(1)引入随机变量的目的

深入研究随机试验；求概率；整体描述随机试验。

(2)定义

定义1、设随机试验的样本空间为。，若MweO,有一个实数夕⑼与之

对应，则夕⑼称为随机变量，并简记为

2.事件的表示

(1)对g的取值加上<、>、=、。…形式的限制条件。

(2)S为一个数集。{]wS}

3.概率分布

(1)随机变量乡取得概率的点及其数量的分布情况。

(2)可用J的概率分布确定J表示的事件的概率

(3)两个大的类型：

离散型随机变量与连续型随机变量

4.分布函数

(1)定义2、设有随机变量对于任何实数x,称概率HjWx)为随

机变量J的分布函数。记为F(x)=<X)(YO<x<+co)

(2)分布函数的几何意义

落在数轴x点左侧(含/点)处概率的数量。

(3)<b,P(a<^<b)=F(b)-F(a)

5.分布函数的性质

(1)0<F(x)<l

(2)F(YO)=0,尸(+8)=1

(3)F(©是单调不减函数，<b则尸(a)WF(b)

(4)Ax)是右连续函数，BPVx,F(x+O)=F(x)

教学时数：2学时

作业：习题二5

第二节离散型随机变量及其概率分布

教学目的：掌握离散型随机变量的概念及其概率分布的几种表示方法；

掌握四种常见的离散性分布。

教学重点：离散型随机变量的概率分布；0-1分布、二项分布、泊松分

布、超几何分布四种常见分布。

教学难点：正确理解概率分布；四种常见分布与所描述试验的对立性。

教学内容：

1.离散型随机变量

如果随机变量4的所有可能取值只有有限个或可列个，则称J为一个离

散型随机变量。

2.概率分布

g取值:%,彳2,…,与…

(1)图形表示

(2)公式表示

P(&=Q=p,,i=12

(3)表格表示

3.概率分布的基本性质

（1）〃后0,i=l,2,…

（2）£p,.=l

1=1

4.确定概率

p（六s）=£pj

Xi<S

5.求分布函数

/（x）=Z〃j（阶梯型函数）

Xj<X

6.常见的离散型分布

（1）0-1分布

（2）二项分布

（3）泊松分布

（3）超几何分布

教学时数：2学时

作业：习题二3、6、7、9

第三节连续型随机变量及其概率密度函数

教学目的：掌握连续型随机变量及其概率密度函数的定义；会求概率；

掌握均匀分布和指数分布。

教学重点：连续型随机变量；概率密度函数；均匀分布和指数分布。

教学难点：正确理解概率密度函数

教学内容：

1.连续型随机变量及其概率密度的定义

（1）说明当随机变量取值充满某区间时，象离散型情况那样给出概率分

布的不可行性。

（2）连续取值随机变量的概率（线）密度

/（X）=limRY"X+AY）=LIM---=

At八->0+Ax

（在分相函数F\x）的可微点处）

(3)定义

设随机变量J的所有可能取值充满某个区间，如果存在一个非负函数

/'a)，使得4的分布函数F*)=POx)=J1/⑴力(-8<工<+8)则称J为一

个连续型随机变量。

称为J的概率密度函数(或分布密度函数)

2./(X)的性质

(1)/5)相当于离散型概率分布中的Pj。

(2)基本性质

①f(x)>0；®jf{x}dx=1

(3)Va<b,P{a<<Z?)=J于(x)dx

(4)几何意义

(5)Vtz,P(^=tz)=0,从而

P(a<b)=P(a<^<b)=P(a<b)=尸(a<^<Z?)=jf{x}dx

(6)f(x)=F\x)(在/(x)的连续点处)

(7)尸(x)是连续函数。

3.两个常见的连续函型分布

(1)均匀分布

(2)指数分布

教学时数：2学时

作业：习题二11、14、15、16

第四节正态分布

教学目的：正态分布是概率统计中最重要的分布，掌握正态分布的定义、

特点，标准正态分布，正态分布中的概率计算。

教学难点：正态分布的定义、特点、标准正态分布，概率计算(查表)

教学难点：对正态分布的正确理解

教学内容：

1.正态分布

(1)定义：如果随机变量J的概率密度为

(if

(-00<X<+00),其中〃，。>0为常数，则称4服从于参

数为〃和4的正态分布，记为4~阳4。2)

(2)实际问题中正态分布非常广泛和常见。

+x--f—+00

(3)Je2dt=,由此可证明Jf(x)dx=1

(4)正态分布的分布函数

(d

/(x)=「-f^e2,dt

J,《2兀o

2.正态分布的概率密度曲线

3.标准正态分布

(1)〃=0,。=1时的正态分布，记为N(0,l)

(2)分布函数

(3)①(用的性质

(DF(x)=G：©(D(-x)=l-Oa)

4.概率计算(查表)

当时，中(x)可查表求得函数值。

(1)J〜N(O,1)

①p(4<»=①S)；。尸=①S)—①(a)；©

P(罔vc)=26(c)-1(c>0)

(2)P(a<^<Z?)=0(^^)-0(^^)

O(7

教学时数：1学时

作业：习题二12、18

第五节随机变量函数的分布

教学目的：掌握求离散型和连续型随机变量函数的概率分布的方法；掌握

正态分布的两个重要性质。

教学重点：离散型随机变量函数的分布；连续型随机变量函数的分布；正

态分布的两个重要性质。

教学难点：连续型随机变量函数的分布

教学内容：

1.离散型随机变量函数的分布

（1）举例1（P62）。说明基本方法，总结归纳一般方法。

（2）J的分布为PG=xJ=Pj,i=l,2,；g@：M，%，…,如则—=80）的

分布为P（G=y）=ZPi，/=L2,…

2.连续型随机变量函数的分布

设4的概率密度为了（》），求。=8（4）的概率密度

（1）分布函数法

①？），）二尸（GWy）=P（g©Wy）=Jf（x）dx

g（x）＜y

②£_（y）=£.'（＞，）,（连续点处）

（2）单调变换法

当）,=g（X）单调、连续、可导时，其反函数工=力（＞，）存在且单调、连续、可

导，则

f.(y)=fWy)]\h\y)\

3.两个重要结论

(1)“N3,/、,则幺上〜N(0/)，一般地

o

延+b~N+b,0%?)(〃工0)

教学时数：1学时

作业：习题二、1,13

第三章多维随机变量

第一节多维随机变量及其分布函数

教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其

性质。

教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质。

教学难点：正确理解多维随机变量及其分布函数。

教学内容；

1.多维随机变量的定义

定义1、如果。,刍，,刍是定义在样本空间Q上的〃个随机变量，则这〃个

随机变量的整体H3”)称为〃维随机变量，也称为〃元随机变量或〃元

随机向量。

〃=2时，一维随机变量记为(？〃)

2.事件表示

二维数集52(=2,事件表示为{4,〃)wS2}

3.二维随机变量的分布函数

定义2、设有二维随机变量（乙〃），对于任何实数工和），，称概率

夕（4《演〃4），）为（。,〃）的（联合）分布函数，记为

F（x,y）=P（J<x,?;<y）（-co<x,y<-KO）

4.二维随机变量分布函数的性质

（1）O"（x,y）Wl

（2）F（YD,y）=0,F（x,YO）=0,F（-oo,-oo）=0,F（+oo,-K»）=1,

（3）/（％），）关于变量x和），分别为不减函数。

（4）"*,），）关于变量x和y分别为右连续函数。

（5）VX[<々，内]<），2，有一（％2，%）一尸（X，y?）一尸（工2，乂）+尸（石，凶）之0

教学时数：2学时

作业：

第二节离散型二维随机变量

教学目的；掌握离散型二维随机变量及其联合分布、边缘分布和条件分

布，会求这三种分布。

教学重点：离散型二维随机变量及其联合概率分布，边缘分布，条件分

布，概率计算问题。

教学难点：正确理解联合分布，边缘分布，条件分布。

教学内容：

1.离散型二维随机变量

对于二维随机变量c，〃），如果分量J和〃都是离散型随机变量，则称

©"）为离散型二维随机变量。

2.联合分布

1取值:%,孙…，租…

〃取值：y,%，，匕，…

P（g=Xjj]=X）=j=1,2,称为（4，〃）的联合概率分布。

注：也可以列成表格形式

3.边缘分布

4,〃）中两个分量。和〃的分布称为（以〃）的边缘分布，可由联合分布来确

定。

⑴P（J=x,）=£4=Pi.，i=l，2,・..

7=1

⑵p（?7=＞；.）=ypif=p,rj=i,2,

注：可以在表格形式的联合分布上行列分别相加得到C

4.条件分布

（1）"二y.固定时，4的条件分布为：

「（4=%|〃=匕）=旦/=1,2,，・（；=1,2,•）

1%

（2）4=天固定时，〃的条件分布为：

尸（〃=），/代=%）=2"=1,2,…（/=1,2,一）

Pi.

注：条件分布可在表格上利用某一行（或列）上计算得到。

教学时数：2学时

作业：习题三2、3

第三节连续性二维随机变量

教学目的：掌握连续型二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布；

掌握二维均匀分布和二维正态分布。

教学重点：连续型二维随机变量的概念与联合分布、边缘分布、条件分

布；二维均匀分布和二维正态分布。

教学难点：正确理解三种分布；求分布和概率时所涉及的积分计算。

教学内容：

1.定义与联合分布

（1）定义1、对于二维随机变量修力），如昊存在非负函数使得

（4,77）的分布函数/（1,丫）=。（44%,77"）=「「£（5""5力，则称（J,1）为连续

J-coJ-CO

型二维随机变量，其中/（x,y）称为&〃）的联合概率分布函数。

（2）f（x,y）为&〃）在5,），）点处分布概率的面密度。

+v〃<y+Ay）

/（x，）'）=Inn-------------:-------...-

Ay-D»O+J

2.7（x,y）的性质

（1）对比性

①与一维情况对比，f（x,y）相当于/（x）；

。与离散情况对比，/（乂），）相当于与

（2）基本性质

0/（x0'）>0,。匚匚〃苍），）也修二1

（3）设D为任何平面区域，则P[©"）eO]=Jj7（x,）”0y

D

（4）.f（：v）=/（x,y）,（在/*,y）的连续点处）

dxdy

3.边缘分布

连续型二维（虞〃）的边缘分布为连续性的。可由其联合密度/（X,），）确定。

（1）关于4的边缘分布密度/（x）=J：/（x,y）dy

（2）关于77的边缘分布密度A（y）=L/（xy"

4.条件分布

（1）当〃=），固定时，4的条件密度为人（x|y）二歌1

（1）当&=x固定时，〃的条件密度为力（），山）=今等

5.二维均匀分布

设G为一个有界平面区域，若修内）的概率密度为

1，、「

-------,(x,y)cG

S(G)

0,其他

则称C，〃）服从G上的均匀分布。

注：二维均匀分布描述平面区域上的几何型试验。

6.二维正态分布

如果（乙〃）的概率密度为：

((」_从)(__〃)()一生)2

、1_]rXf)2_22+1

/（元y）=-----------7=^exp

一02)b；o-jCT,

2g■02弋1一户2(1

其中M,〃2，b|>0,%是常数，则称（虞〃）服从二维正态分布,记作:

（4,，7）~N（M，〃2；b：，b；；/）

注：二维正态分布是常见的重要二维分布，其边缘分布和条件分布都是正

态分布。

教学时数：2学时

作业：习题三、4、5

第四节随机变量的独立性

教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条

件，会用意义和充分必要条件判断随机变量的独立性。

教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件。

教学难点：正确理解由独立性意义所给出的林立性定义。

教学内容：

1.随机变量独立性的概念

（1）定义1对于二维随机变量e,〃），设加和s?为任何两数集，若

）（

P（&GS1,7ZGS2=P^GS,）.P（77eS2）

则称百与77相互独立。

（2）意义

J与77相互独立的意义是J与77的取值情况互不影响，可由此直接判断彳与

〃的独立性。

（3）J与〃相互独立。产（.%），）=为（x）・%（y）,（-00<x,y<+<»）

2.离散型情况

（g,〃）的联合分布为p（g=%,〃=X）==1,2,,

则4与"独立=1%=P「・P,j,i,j=\，2，…

3.连续型情况

（虞〃）的联合概率密度为/Q,y）,

则f与〃独立o/（乐）,）=J\⑺・/式）'），（-8<用十口）

4.推广

（1）以上二维随机变量（4力）中J与〃独立性的三个充分必要条件都可以

推广到〃维随机变量&42，4〃）中分量，以独立性的情况。

（2）九务…后相互独立的意义是八会…,或的取值情况互相无任何影

响，也可由此判断其独立性。

教学时数：2学时

作业：习题三9、11

第五节多维随机变量函数的分布

教学目的：掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量

函数的一般方法。和的分布，商的分布，掌握数理统计中的几个常见分布。

教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般方法，利的分

布，商的分布，随机变量函数的独立性。四个统计常用分布。

教学难点：连续型二维随机变量函数的分布。

教学内容：

1.离散型二维随机变量函数的分布

联合分布为：

p(g=%，〃=X)=〃u，i，/=1，2,

g(4,77)：Z|,Z2,…，Z],…

g=g记力)的分布为

P(G=zQ=ZPij,k=T,2,…

2.连续型二维随叽变量函数的分布

4,〃)的概率密度为/(为y),g=g(力)

(1)先求G的分布函数

%(z)=Jf/(-r,)^)dxdy

(2)4(z)=耳(z)(在今(z)的可微点)

3.和的分布

f+XJfHJO

4+税(z)=L"占Z-幻公=L/(z-y,y)dy

4.商的分布

源(z)=r〃zy,y)|y@

5.随机变量函数的独立性

设有〃1+%+■•+0个随机变量品，…，配।；/，…4二；…;如，…，孔，相互

独立，①，是〃，元连续函数，令7=叱©|,..,金,)/=1,2,,左，则7，〃2，,..,为相

互独立。

6.数理统计中的几个常用分布

（1）正态随机变量函数的分布

（2）二分布

（3）/分布

（4）F分布

注：以上分布主要记住其性质，概率密度曲线。

教学时数：2学时

作业：习题三14、7、16、18

第四章随机变量的数字特征

第一节数学期望

教学目的：掌握数学期望的概念，随机变量函数的数学期望，数学期望的

性质，同时掌握常见随机变量分布的数学期望。

教学重点：随机变量及其函数的数学期望的计算。

教学难点：各种概念的正确理解。

教学内容：

1.讲解随机变量的数学期望

1）定义L设离散型随机变量4的概率函数为PC=£）=〃,，

i=l,2,…，若级数绝对收敛，则定义J的数学期望为七=£七/%

1=11=1

2）定义2：设连续型随机变量J的概率密度函数为/。），若积分

「%。）於绝对收敛，则定义《的数学期望为E”「“球⑴公

J-00J-x>

2.讲解常见随机变量分布的数学期望

1）0-1分布

2）泊松分布

3）二项分布

4）均匀分布

5)指数分布

6)正态分布

3.讲解随机变量函数的数学期望及例题

(1)定理1：设〃=g(4)，g(x)是连续函数

①当4是离散型随机变量，概率分布为24=项)=亿，”12…，，且

收敛，贝U有En="©=£以毛)化

1=11=1

②当J是连续型随机变量，概率密度函数为/(幻，且JJg(x)|/(x)公收

敛，则有功=£四);J1g(x)/(x)“t

(2)定理2：设9=8(4〃)，g(x,y)是连续函数

①当(377)是二维离散型随机变量，概率分布为

P记=Xj/7=为)=pv，i,j=1,2,…，且££保(七,力帆收敛时，则有

*=|)=\

Eg=Eg4,g(£，匕)Pu

i=lj=\

②当«,7)是二维连续型随机变量，概率密度函数为/(羽y),且

「J|g(x,y)|/(%,y)d物收敛时,则有

r-Ko「+笫

Eq=Eg©〃)=J]g(x,y)f(x,y)dxdy

J-coJ-s

4.讲解数学期望的性质

(1)EC=C,C为常数

(2)E(CJ)=C段，c为常数

(3)E(J+〃)=塔+£〃

(4)若J与〃相互独立，则E(廓7)=E7E〃

教学时数：2学时

作业：习题四1、2、3

第二节方差

教学目的：掌握随机变量的方差、标准差的蹴念性质，并在此基础上遂行

相关计算，同时掌握常见随机变量分布的方差。

教学重点：方差的计算及方差的性质。

教学难点：方差概念定义的正确理解。

内容提要：

1.方差的概念

定义：设g是随机变量，若E(g-E4)2存在，则称它为随机变量彳的方差,

记为。彳，并称四？为标准差。

2.常见随机变量分布的方差计算

1)0-1分布

2)泊松分布

3)二项分布

4)均匀分布

5)指数分布

6)正态分布

3.方差的性质

1)为常数

2)D(C^)=C2D^C为常数

3)若自与〃相互独立，贝IJO(J+〃)=OJ+D7

4)=0的充要条件为P(J=4)=1,。为常数

教学时数：2学时

作业：习题四5、6、7、8、9、10、11

第三节随机变量的其它数字特征

教学目的：掌握协方差、相关系数、矩的定义，性质，并在此基础上遂行

相关的运算。

教学重点：相关系数的含义及性质，相关系数与独立性的关系。

教学难点：相关系数的含义及性质。

内容提要：

1.协方差

1）定义：设（〈，〃）是一个二维随机变量，若

存在，则称它为4与〃的协方差，记作covd/7），即

covG力）=E化一E&）U7—E77）

2）协方差的性质

①COV砥,77）=COV（7,4）

②cov（若，加7）=。力covg〃），a,〃为常数

③COV&+&2，〃）=COV6],〃）+COV42,77）

④covgn）=E®]）-E『E7[

⑤cov6，a）=0,〃为常数

2.相关系数

（1）定义：设（§,〃）是一个二维随机变量，若COV©,"）存在，且

covC，〃）

。4>0,Drj>0则称为自与"的相关系数，记作P，即

cov（g，7）

（2）定义：当0＜夕（1时，称J与〃正相关；当-1（夕＜0时，称J与根负

相关；当/?=0,称J与〃不相关。

（3）定理：设夕为g与〃的相关系数，则

①Ie日

②|月=1的充要条件是存在常数。力，使P。?=4+站）=1

（4）定理：随机变量J与V不相关（0=0）与下面的每一个结论都等价：

①covC，〃）=0

②。空77）=。4+。"

③EGF）=E『E〃

3.矩的定义

设J与"为随机变量，若反父）存在，则称它为4的k阶原点矩，简称我阶

矩；若24-七4尸存在，则称它为J的左阶中心矩；而以"•“）与

E©—E。）”•（$—后与）'分别称为2+/阶混合矩和左+/阶中心混合矩。

教学时数：2学时

作业：习题四13、14、15、16

第五章大数定律与中心极限定理

第一节切贝谢夫不等式

教学目的：掌握切贝谢夫不等式及其运用。

教学重点：切贝谢夫不等式及其运用。

教学难点：切贝谢夫不等式的含义。

内容提要：

讲解切贝谢夫不等式及其举例。

定理（切贝谢夫不等式）：设随机变量J有期望值及方差则对任

意£>0,有P（、-造怛£）«等;P（忸一有|〈£）之1一”

£~£~

教学时数：学时

作业：习题王1、2

第二节大数定律

教学目的：掌握切贝谢夫大数定律与贝努力大数定律及其含义。

教学重点：贝努力大数定律及其含义。

教学难点：频率与概率的关系。

内容提要：

1.切贝谢夫大数定律

定理：设乙，……是相互独立的随机变量序列，各有期望值E。，

造2，••…及方差。百2，……，并对所有i=1,2,……有D&V,其中/是与

i无关的常数，则对任意£>0,有limpj汽0」汽E&<£)=1。

91r=1〃i=1

2.贝努力大数定律

定理：在〃次独立试验序列中，设每次试验中事件A出现的概率为

/?(()</?<1),以〃“表示〃次试验中A出现的次数，则对任意£>0,有

limP(生一〃<幻=1。

n—>oon

第三节中心极限定理

教学目的：掌握独立同分布的中心极限定理，德莫佛一拉普拉斯定理及其

应用。

教学重点：掌握独立同分布的中心极限定理，德莫佛一拉普拉斯定理。

教学难点：掌握独立同分布的中心极限定理，德莫佛一拉普拉斯定理的应

用。

内容提要：

1.独立同分布的中心极限定理

定理：设。，乙，......，S，......是相互独立且同分布的随机变量序歹U,

=//,D^=（y\z=l,2,……则对任意实数工，有

E短-以

lim尸(红〒——<x)e2力

"->8yln(J-00

2.德莫佛一拉普拉斯定理

定理：在〃重贝努力试验中，成功的次数为3而在每次试验中成功的概

率为〃（（）<〃<1）,q=l-〃，则对任意实数x,有

lim<x)=f'~^=e~7dt

'isJnpqJ-8j2乃

教学时数：1学时

作业：习题王3、4、5、6

第六章数理统计基本概念

第一节总体与样本

教学目的：掌握总体、样本、简单样本、样本分布等概念的含义。

教学重点：掌握总体、总体单元、有限总体、无限总体、一元总体、多元

总体、样木、简单样本、样本分布概念。

教学难点：教学重点中的这些概念的实际含义。

内容提要：

1.总体

（1）总体：把研究对象的全体称为总体。

（2）总体单元（个体）：组成总体的基本单位称为总体单元。

（3）有限总体：总体单元数有限的总体称为有限总体。

（4）无限总体：总体单元数无限的总体称为无限总体。

（5）一元总体：只研究总体的一个指标，这样的总体称为一元总体。

(6)多元总体：研究总体的二个或二个以上指标，这样的总体称为多元总

体。

2.样本

(1)样本：从总体X(一元总体)中抽取〃个个体(总体单元)X,,

……，X"，则称(X-X2,……,X”)为来自总体X的容量为〃的样

本，〃称为样本容量。

(2)简单样本(简称样本)：设(XjX2,……,X")为来自总体X

的容量为〃的样本，如果％,X2,……,X〃相互独立且均与X同分布，则称

(X,,X2,……，X”)为简单随机样本，以后无特殊说明均简称样本。

3.样本的分布

设总体X的分布函数为/"),则样本(XjX2,……,X,)的联合分布

函数为"(X],川2,......,XJ=P(X1<xl9X.<x29……,Xn<xn)

=P(X]<x])P(X2<x2)......P(Xn<xw)=FCrl)F(x2)......F(xJ=fJF(x.)

»=i

当X为离散总体且概率分布为P(X=£)=〃(£)=〃,，则(X「X2,

……，X”)的联合概率分布为

P(Xi=x,,X2=x2,.......=xj=fj/?(x.)=flP..

/=1<=l

当X为连续总体且分布函数为/。)时・，则(XI,X2,……,X〃)的联合

分布为/(为，尤2.......，%)=口/(匕)

/=!

教学时数：2学时

第二节统计量与抽样分布

教学目的：掌握统计量、常用统计量及抽样分布，并在此基础上灵活运用

抽样分布。

教学重点：常用统计量及抽样分布。

教学难点：抽样分布及其运用。

内容提要：

1.统计量

定义：（X[,X2,...»X“）为来源于总体X的样本，若…J”）

为4出，…4）的〃元连续函数，且。中不含任何未知参数，则称

例为一个统计量，抽样前，统计量作为〃维随机变量（X「

X2,Xn）的函数为一随机变量，而抽样后看，X2,X”都有了具体

取值，相应夕（X「X2,…X”）称为统计量的值。

2.常用统计量

（1）样本均值:心至X，

⑵样本方差：s2=—y（x,.-x）2

（3）样本标准差：5=&_彳£区-乂）2

2

22

（4）样本离差平方和：L=^（X,.-X）=^XZ-nX

i=\»=l

1"k

（5）样本々阶矩（原点矩）：Mk=-YXi,k=1,2,……

〃,=1

⑹样本女阶中心矩：=-y（X.-X）\k=1,2,……

3.抽样分布

（1）定理1：设总体X~N（〃,/）,（X「X2,X“）为来源于总体

__1_1

X的样本，则EX=〃，DX=-a2且X〜N（"」cr2）。

nfn

推论：若总体X~N（〃口2）,则与g~N（O,l）

O-y/n

（2）定理2：设总体X〜（X,,X2,X“）为来源于总体

X的样本，则又与§2独立且S—?S-~72—一］）。

（7~

（3）定理3：设总体X〜N（〃,cr2）,（X1,X2,X"）为来源于总体

X的样本，则与2~«〃一1）。

S/4n

（4）定理4：设两总体X与y相互独立，X〜N（从Q/），

y-Ng'Q），（XI,x2,x叫）和（匕，打，…，几）分别来源于总

体X和y的容量分别为〃I和%的样本，样本平均数与样本方差分别记为X,s；

和％s??,则有:

(1)X-J”二〃2)〜N(oj)

V火力2

q2/2

(2)—4—~尸。一1,〃，-1)

§2/。2

（3）如果有弓2=%2，则

x_y_(〃]一〃2)

~/(/?)+々-2)

(%一1)SJ+(%-1电~(1।1

+〃2・2〃]〃2

教学时数：2学时

作业：习题六1、2、3、4、6、7、8、9、11

第七章估计

第一节点估计

教学目的：掌握参数点估计的两种常见方法；矩法及最大似然法；会判定

估计量的优良性，即无偏性、有效性及一致性。

教学重点：矩估计的方法；最大似然估计的基本思想及具体求法；评价点

估计量的优良性。

教学难点：理解最大似然法的原理与矩估计法的不同，掌握评价点估计量

的优良性。

教学内容：

1.求点估计量方法

（1）矩法估计的概念和具体求法

（2）最大似然法思想和具体求法

2.估计的优良性

（I）无偏性

（2）有效性

（3）一致性

教学时数：3学时

作业：习题七1、2、4、5、6

第二节区间估计的一般概念

教学目的：介绍区间估计的基本概念，使学生了解区间估计与点估计的不

同之处；会查分位数。

教学重点：会查分位数；构造置信区间的一般方法。

教学难点：对构造置信区间的一般方法的理解。

教学内容：

1.分位数的概念

（1）上侧分位数的概念及查表方法

（2）双侧分位数的概念及查表方法

2.置信区间的概念

（1）置信区间的定义

（2）构造置信区间的一般方法

教学时数：2学时

第三节正态总体参数的区间估计

教学目的：正态总体条件下关于参数的置信区间的求法。

教学重点：正态总体在各种已知条件下，求未知参数置信区间的具体方

法。

教学难点：熟练掌握正态总体，已知条件不同下的参数的置信区间的不同

对应公式。

教学内容：

1.单个总体的情况

（1）〃的置信区间

①/已知，〃的置信区间:

(X-UaX+

2vft2

②/未知，〃的置信区间:(X-1a(n-+Q(〃-1)—

2Yn2

（2）/的置信区间

An-1)S22

①〃未知，〃的置信区间:(H-1)S

-1-

22

2

元(Xj-〃)2t(X,.-A)

②〃已知，〃的置信区间:)

/(〃)'z\(«)

-I-

2.两个独立正态总体的情况

（1）4-勺的置信区间

①或与b；均已知,勺的置信区间

②或与田未知，的置信区间

（〃一咸+（网」+4

(X—y—a(%+-2)

名十七一2%nx

（〃「l）S；+（〃v-l）S；11

X-Yt(nn-2)-------------二-----（一十一川

+ax+v凡.+〃\、-

12nKny

教学时数：3学时

作业：习题七9、10

第五节总体分布的估计

教学目的：了解在实践中如何估计总体的分布状态。

教学重点：总体为离散型时，用样本的频率去估计总体的概率分布；总体

为连续型时，用直方图的形式反映总体概率密度的分布状态。

教学难点：会通过实测样本绘制频率密度的直方图。

教学内容：

1.总体分布函数的估计一经验分布

2.总体分布密度的估计一直方图

教学时数：2学时

第八章假设检验

第一节假设检验的基本概念

教学目的：介绍假设检验的基本思想；假设险验的原理一小概率原理及两

类错误。

教学重点：理解假设检验的思想，产生两类错误的原因，以及检验的步

骤。

教学难点：对假设检验的原理及两类错误的理解及假设检验的步骤的掌

握。

教学内容：

1.假设检验的基本思想

2.小概率原理及两类错误

3.假设检验的步骤

教学时数：2学时

第二节正态总体参数的假设检验

教学目的：掌握正态总体在已知条件不同的各种情况下对参数进行的假设

检验的方法。

教学重点：①规范原假设与备择假设的格式以区别是双侧检验，还是单侧

检验。②正态总体在已知条件不同下参数假设检验的各种方法。

教学难点：①掌握双侧检验与单侧检验的区别。②使用双侧检验、左侧

检验、右侧检验的选择方法。③掌握正态总体在已知条件不同所对应的参数假

设检验的不同公式。

教学内容：

1.单个正态总体参数的检验方法

（1）关于总体为值〃的检验

①双侧检验H（）://=从）,"]:"*"）

（1）已知一〃检验

统计量〃=土4~7（0.1）

a

拒绝域（-8,Tq）U（〃a，+8）

22

（2）未知一f检验

统计量”=出~/（〃一1）

拒绝域（-8,工5-1））口&（〃-1）,+8）

12

②单侧检验

（1）左侧检验H。：〃>"o,乩：〃<A

/己知统计量〃=七4〜N（O,I）

（J

4n

拒绝域

/未知统计量t=X以°_1）

忑

拒绝域（—,-〃（〃-D）

（2）右侧检验:〃>〃（）

/已知统计量〃=-^~N（0,1）

（7

4n

拒绝域（Wa,-KO）

CT2未知统计量t=\"。~-1）

yjTl

拒绝域（ru（n-l