高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.3同角三角函数的基本关系式素养练含解析新人教B版必修第三册

PAGEPAGE47.2.3同角三角函数的基本关系式课后篇巩固提升基础巩固1.已知cosα=513,且α∈(0,π),则tanα=(A.125 B.512 C.-125 D解析∵sin2α+cos2α=1,α∈(0,π),∴sinα=1213∵tanα=sinα∴tanα=125答案A2.已知tanα=mπ<α<3π2,则A.mm2+1 B.±C.±mm2+1 D答案D3.已知sinαcosα=18,0<α<π2,则sinα+cosα的值是(A.14 B.-32 C.32解析由题意,(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=54,因为0<α<π2,所以sinα+cosα>0,则sinα+cosα=答案D4.化简1+2sin4cos4的结果是()A.sin4+cos4 B.sin4-cos4C.cos4-sin4 D.-cos4-sin4解析因为π<4<3π2,所以sin4<0,cos4<0.又1+2sin4cos4=(sin4+cos4)2,所以1+2sin4cos4=|cos4+sin4|=-cos答案D5.若sinα1+1tan2α-cos答案四6.若tanα=13,则sinαcosα的值为.答案37.证明:(1)1-cos2αsinα(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).证明(1)左边=si=si=sin2αsinα-cosα-cos故原式成立.(2)因为左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+2sin2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α,右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+cos2α+2tan2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α,所以左边=右边,原式成立.实力提升1.若tanθ+1tanθ=4,则sinθcosθ等于(A.110 B.18 C.16解析∵tanθ+1tanθ=4,∴sinθcosθ+cosθsinθ=4,即sin2θ答案D2.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积是1,小正方形的面积是125,则sin2θ-cos2θ=(A.1 B.725 C.-725 D.解析由题意得直角三角形的面积S=1-设三角形的直角边长分别为x,y,则有x2+y2=1,12xy=625⇒x=因为θ为较小的锐角,所以sinθ=351=35,cossin2θ-cos2θ=352-452=-725,故选C.答案C3.(多选)化简1-sin2A.cos160° B.|cos160°|C.±cos160° D.-cos160°解析因为160°角为其次象限角,所以1-sin2160°=cos2160°=|cos160°答案BD4.(双空)已知sinα,cosα是关于x的一元二次方程2x2-x-m=0的两根,则sinα+cosα=,m=.

解析由题意知sin∵(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα,∴14=1-m,∴m=3答案15.若非零实数m,n满意tanα-sinα=m,tanα+sinα=n,则cosα等于.

答案n6.已知A是△ABC的一个内角,且tanA=-54,求sinA,cosA的值解∵tanA=-54,且A是△ABC的一个内角∴π2<A<π,∴sinA>0,cosA<0由sinAcos7.已知tanα=m(m≠0),求sinα和cosα的值.解∵sinαcosα=tanα=m,∴sinα=mcos又sin2α+cos2α=1,∴m2cos2α+cos2α=1,∴cos2α=11+当α为第一或第四象限的角时,cosα=11+m2,sinα当α为其次或第三象限的角时,cosα=-11+m2,sinα8.求证:sinα(1+tanα)+cosα1+1tanα=1sin证明因为左边=sinα1+sinαcosα+cosα1+cosα=sinα+sin2αcosα+=si=1sinα+1cos9.已知关于x的方程2x2-(3+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:(1)m的值;(2)方程的两根及此时θ的值.解由根与系数的关系,可知sin(1)由①式平方得1+2sinθcosθ=2+3所以sinθcos