高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.4三角恒等变换的应用第2课时三角函数的积化和差与和差化积素养练含解析新人教B版必修第三册

PAGEPAGE18.2.4三角恒等变换的应用第2课时三角函数的积化和差与和差化积课后篇巩固提升基础巩固1.化简cosα-cos3αA.tanα B.tan2αC.cosα D.cos2α答案B2.若cos(α+β)cos(α-β)=13,则cos2α-sin2β=(A.-23 B.-13 C.13答案C3.函数y=sinπ3+2x·sinπ3A.34 B.-14 C.14 D答案A4.cos75°-cos15°的值为()A.12 B.-1C.23 D.-解析原式=-2sin45°·sin30°=-22答案D5.cos37.5°·cos22.5°的值是()A.32+6C.1232解析原式=12(cos60°+cos15°)=1答案D6.(多空)已知sinα+sinβ=12,cosα+cosβ=13,则tan(α+β)=,cos(α-β)=解析由sinα+sinβ=12,cosα+cosβ=1得2sinα+β2cosα-β两式相除得tanα+则tan(α+β)=2tanα+β(sinα+sinβ)2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=14(cosα+cosβ)2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=19则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-5972答案-125-7.函数y=cosx+π3cosx+答案38.已知tanα,tanβ是方程x2+3x-4=0的两个根,求cos2α+cos2解由根与系数的关系知tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=-4,故原式=2cos(α+9.已知A,B,C为△ABC的三个内角,且A>C,B=60°,能否利用log4sinA+log4sinC=-1求出A和C的大小?若能,恳求出;若不能,请说明理由.解能.在△ABC中,B=60°,∴A+C=120°.①∵log4sinA+log4sinC=-1,∴sinAsinC=14∵sinAsinC=12[cos(A-C)-cos(A+C∴12[cos(A-C)-cos(A+C)]=1∴cos(A-C)=12+cos(A+C)=12+cos120°=又∵0°<A-C<180°,∴A-C=90°.②由①②,得A=105°,C=15°.实力提升1.化简cos2π7+cos4π7+cos6A.sinπ7 B.12C.-12 D.-12答案C2.sinα+sinβ=33(cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(A.-2π3 B.-π3 C.π答案D3.已知α-β=π3,且cosα-cosβ=13,则cos(α+β)等于(A.13 B.23 C.79答案C4.(多选)在△ABC中,若sinAsinB=cosBcosA,A.等腰三角形 B.直角三角形C.随意三角形 D.钝角三角形解析由题意知sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,因此sin2A-sin2B=0,由和差化积公式得2cos(A+B)sin(A-B)=0,于是cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,即A+B=π2或A=B.故选ABD答案ABD5.若x+y=1,则sinx+siny与1的大小关系是()A.sinx+siny>1 B.sinx+siny=1C.sinx+siny<1 D.不确定解析∵sinx+siny=2sinx+y2·cosx-y2=又0<12∴sin12<sinπ6.∴2sin12<2sinπ∴sinx+siny=2sin12·cosx-y2<cos∴sinx+siny<1.答案C6.cos72°-cos36°的值为.

解析cos72°-cos36°=-2sin54°sin18°=-2sin18°cos36答案-17.若cos2α-cos2β=m,则sin(α+β)sin(α-β)=.

解析sin(α+β)sin(α-β)=-12(cos2α-cos2β=-12[(2cos2α-1)-(2cos2β-=cos2β-cos2α=-m.答案-m8.已知0<α<π,0<β<π,且cosα+cosβ-cos(α+β)=32,则2α+β等于.解析因为cosα+cosβ-cos(α+β)=32所以2cosα+β2·cos即4cos2α+β2-4cosα-β2·因为方程有实根,所以Δ=16cos2α-β2-16≥0,则cos2α-β2=1,所以α=β,于是4cos2α-4cos即(2cosα-1)2=0,所以α=β=π3,从而2α+β=π答案π9.求证:2sin2θsin2φ+2cos2θcos2φ=1+cos2θcos2φ.证明左边=2·1-cos2θ2·1-cos2φ2+2·1+cos2θ2·1+cos2φ2=12(1-cos2θ-cos2φ+cos2θcos2φ)+12(1+cos2θ+cos2φ+cos2θcos2φ)=12(2+2cos所以原式成立.10.已知△ABC的三个内角A,B,C满意(1)A+C=2B;(2)1cosA+1cosC=-2解由题设条件知B=60°,A+C=120°,因为-2cos60°=-22,所以1cos所以c