数据结构与算法实践作业指导书

数据结构与算法实践作业指导书TOC\o"1-2"\h\u25377第一章基本概念与算法效率分析 2283331.1算法基本概念 2210571.2算法效率评价 285241.3时间复杂度分析 2249671.4空间复杂度分析 32228第二章线性表 3193932.1线性表的定义与基本操作 3185082.2顺序存储结构 4295122.3链式存储结构 4315932.4线性表的应用实例 418164第三章栈与队列 5314823.1栈的定义与基本操作 550283.2栈的顺序存储结构 53523.3栈的链式存储结构 5202733.4队列的定义与基本操作 69766第四章树与二叉树 640284.1树的定义与基本操作 6144684.2二叉树的定义与性质 6150404.3二叉树的遍历算法 7304034.4线索二叉树 74423第五章图 7209935.1图的定义与基本概念 8110605.2图的存储结构 8104755.3图的遍历算法 8167745.4最短路径算法 831073第六章排序算法 9266186.1排序算法概述 9184676.2冒泡排序 962666.3选择排序 9140686.4插入排序 1018227第七章查找算法 10176317.1查找算法概述 10113487.2顺序查找 10208547.3二分查找 1163357.4哈希查找 11841第八章动态规划 1254218.1动态规划概述 12294208.2最长公共子序列 12183308.3最小路径和 12182388.4最大子段和 1214583第九章贪心算法 1253279.1贪心算法概述 1295809.2活动选择问题 1386019.3背包问题 1350449.4最小树问题 1330572第十章分治算法 13521110.1分治算法概述 131707710.2快速排序 132045410.2.1快速排序算法描述 131037910.2.2快速排序算法实现 1480410.3归并排序 142206110.3.1归并排序算法描述 141722210.3.2归并排序算法实现 142388710.4最大子数组和问题 152852210.4.1分治算法求解最大子数组和问题 151943010.4.2最大子数组和问题的分治算法实现 15第一章基本概念与算法效率分析1.1算法基本概念算法是计算机科学中一个核心概念，指的是解决问题的一系列明确且有效的步骤。算法通常用程序设计语言来实现，其目的是将输入数据转化为期望的输出结果。算法可以解决各种类型的问题，如排序、查找、组合等问题。算法具有以下特点：（1）明确性：算法的每一步操作都必须有明确的定义，无歧义。（2）有效性：算法必须在有限的步骤内完成，且每一步操作都是可行的。（3）有穷性：算法在执行过程中，操作步骤的数量是有限的。（4）输入与输出：算法具有零个或多个输入，以及一个或多个输出。1.2算法效率评价算法效率评价是衡量算法功能的重要指标。评价算法效率的主要因素包括时间复杂度和空间复杂度。算法效率的评价可以帮助我们选择最优的算法来解决特定问题。1.3时间复杂度分析时间复杂度是衡量算法执行时间的一种指标，通常用大O符号表示。时间复杂度分析主要关注算法执行过程中最坏情况下的时间消耗。常见的时间复杂度有常数时间O(1)、线性时间O(n)、对数时间O(logn)、平方时间O(n^2)等。分析时间复杂度的步骤如下：（1）确定算法的基本操作。（2）计算基本操作的执行次数。（3）找出执行次数最多的基本操作。（4）用大O符号表示算法的时间复杂度。1.4空间复杂度分析空间复杂度是衡量算法在执行过程中所需存储空间的一种指标，同样使用大O符号表示。空间复杂度分析主要关注算法在最坏情况下的空间消耗。常见空间复杂度有常数空间O(1)、线性空间O(n)、对数空间O(logn)等。分析空间复杂度的步骤如下：（1）确定算法中使用的变量和数据结构。（2）计算每个变量和数据结构所需的存储空间。（3）找出所需存储空间最多的变量或数据结构。（4）用大O符号表示算法的空间复杂度。第二章线性表2.1线性表的定义与基本操作线性表（LinearList）是一种基本的数据结构，由有限个数据元素组成。数据元素之间存在着线性关系，即除了第一个元素和最后一个元素外，每个元素一个直接前驱和一个直接后继。线性表的基本特征如下：有且一个第一元素；有且一个最后元素；除第一个元素和最后一个元素外，每个元素都有一个直接前驱和一个直接后继。线性表的基本操作包括：初始化：创建一个空的线性表；销毁：释放线性表所占用的存储空间；清空：将线性表中的所有元素删除，但不释放存储空间；插入：在线性表的指定位置插入一个新元素；删除：删除线性表中指定位置的元素；查找：在线性表中查找特定元素的位置；遍历：访问线性表中的所有元素；长度：获取线性表中元素的数量。2.2顺序存储结构顺序存储结构（SequentialStorageStructure）是线性表的一种存储方式，它使用一段连续的存储单元顺序存储线性表中的元素。顺序存储结构的特点如下：逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻；随机访问元素的时间复杂度为O(1)；插入和删除操作的时间复杂度较高，可能需要移动大量元素。常用的顺序存储结构有数组、栈和队列等。2.3链式存储结构链式存储结构（LinkedStorageStructure）是线性表的另一种存储方式，它使用指针将线性表中的元素连接起来。链式存储结构的特点如下：非连续的存储单元；随机访问元素的时间复杂度为O(n)；插入和删除操作的时间复杂度为O(1)，不需要移动大量元素。常用的链式存储结构有单向链表、双向链表和循环链表等。2.4线性表的应用实例以下是一些线性表的应用实例：数组：用于存储一组具有相同数据类型的元素，如整数数组、浮点数数组等；栈：用于实现函数调用、表达式求值等操作；队列：用于实现进程调度、消息队列等操作；链表：用于实现动态数据结构，如链表、双向链表、循环链表等；字符串：用于处理文本数据，如单词、句子等；向量：用于表示向量空间中的向量，如二维向量、三维向量等；稀疏矩阵：用于存储稀疏矩阵，降低存储空间的需求。在实际应用中，线性表的选择取决于具体的需求和场景。通过合理选择线性表的存储结构，可以有效地提高程序的功能和可维护性。第三章栈与队列3.1栈的定义与基本操作栈（Stack）是一种先进后出（FirstInLastOut，FILO）的数据结构。在栈中，数据的插入和删除都限定在表的一端进行，这一端称为栈顶（Top），而另一端称为栈底（Bottom）。栈的基本操作包括：初始化（InitStack）：创建一个空的栈。判断空（IsEmpty）：判断栈是否为空。入栈（Push）：在栈顶插入一个元素。出栈（Pop）：从栈顶删除一个元素，并返回该元素。获取栈顶元素（GetTop）：获取栈顶元素，但不删除。3.2栈的顺序存储结构栈的顺序存储结构是利用一组连续的存储单元来存储栈中的元素，通常使用数组来实现。在顺序存储结构中，栈的存储空间是一段连续的内存区域，栈顶位置是动态变化的，通常用一个整型变量来表示栈顶位置。以下是栈的顺序存储结构的主要操作：初始化：分配一个固定大小的数组，并将栈顶位置设置为1，表示栈为空。判断空：检查栈顶位置是否为1。入栈：将元素插入到栈顶位置，并将栈顶位置加1。出栈：将栈顶位置的元素取出，并将栈顶位置减1。获取栈顶元素：返回栈顶位置的元素。3.3栈的链式存储结构栈的链式存储结构是利用链表来实现栈。链表中的每个节点包含一个数据域和一个指向下一个节点的指针。在链式存储结构中，栈顶位置是链表的头部，链表的尾部是栈底。以下是栈的链式存储结构的主要操作：初始化：创建一个头节点，表示栈为空。判断空：检查头节点的下一个节点是否为空。入栈：在链表的头部插入一个新节点，并将新节点作为栈顶。出栈：删除链表的头部节点，并返回该节点的数据。获取栈顶元素：返回链表头部节点的下一个节点的数据。3.4队列的定义与基本操作队列（Queue）是一种先进先出（FirstInFirstOut，FIFO）的数据结构。在队列中，数据的插入操作发生在队列的尾部，而删除操作发生在队列的头部。队列的基本操作包括：初始化（InitQueue）：创建一个空的队列。判断空（IsEmpty）：判断队列是否为空。入队（EnQueue）：在队列尾部插入一个元素。出队（DeQueue）：从队列头部删除一个元素，并返回该元素。获取队头元素（GetFront）：获取队列头部的元素，但不删除。队列的存储结构通常分为顺序存储结构和链式存储结构。顺序存储结构使用数组实现，链式存储结构使用链表实现。两种存储结构在操作上具有相似性，但具体实现细节略有不同。第四章树与二叉树4.1树的定义与基本操作树（Tree）是一种重要的非线性数据结构，由节点（Node）组成。在树中，每个节点有零个或多个子节点，并且没有形成闭环的路径。树的定义是递归的，一个节点如果没有子节点被称为叶子节点（Leaf），而拥有子节点的节点被称为内部节点（InternalNode）。基本操作包括：创建树：初始化树的节点及其关系。插入节点：在树中添加新的节点。删除节点：从树中移除节点，同时维护树的结构。查找节点：在树中寻找特定的节点。父节点与子节点操作：获取和设置节点的父节点或子节点。兄弟节点操作：获取和设置节点的兄弟节点。4.2二叉树的定义与性质二叉树（BinaryTree）是树的一种特殊形式，每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。二叉树具有以下性质：节点的度：节点的子节点数称为节点的度。二叉树中节点的度最多为2。深度与高度：树的根节点深度为0，其他节点的深度为其父节点深度加1。树的高度是树中节点的最大深度。满二叉树：每个节点都有0个或2个子节点的二叉树。完全二叉树：除最后一层外，每一层都是满的，并且最后一层的节点都集中在左侧。4.3二叉树的遍历算法二叉树遍历是指按照某种顺序访问二叉树中的所有节点。主要的遍历算法有：先序遍历（PreorderTraversal）：访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。中序遍历（InorderTraversal）：先遍历左子树，访问根节点，然后遍历右子树。后序遍历（PostorderTraversal）：先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。层次遍历（LevelorderTraversal）：按照树的层级顺序遍历节点，通常使用队列实现。4.4线索二叉树线索二叉树（ThreadedBinaryTree）是对二叉树的一种改进，它通过在节点中添加额外的指针，使得遍历操作更加高效。这些额外的指针被称为线索，指向节点在遍历序列中的先驱或后继节点。在线索二叉树中，定义以下两种线索：前驱线索：指向前一个遍历的节点。后继线索：指向下一个遍历的节点。线索二叉树的优点是可以在不使用栈或递归的情况下进行遍历，从而节省了存储空间，并且提高了遍历的效率。根据线索的设置，线索二叉树又可以分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树。线索化过程包括遍历二叉树并为每个节点设置相应的线索指针。第五章图5.1图的定义与基本概念图是一种复杂的数据结构，它由顶点（Vertex）和边（Edge）组成。在图中，顶点通常表示实体，而边则表示实体之间的关系。图可以用来模拟现实世界中的各种复杂关系，如社交网络、交通网络等。根据边是否有方向，图可以分为有向图和无向图。在有向图中，边具有方向性，表示从一个顶点到另一个顶点的单向关系；而在无向图中，边没有方向性，表示两个顶点之间的双向关系。根据边是否具有权重，图还可以分为加权图和无权图。在加权图中，每条边都有一个权重，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价；而在无权图中，所有边的权重都视为1。5.2图的存储结构图的存储结构主要有邻接矩阵和邻接表两种。邻接矩阵：用一个二维数组表示图，数组的行和列都对应图的顶点。如果顶点i与顶点j之间存在一条边，则矩阵的第i行第j列的元素为1（有向图）或2（无向图）；否则，该元素为0。邻接表：用一个数组和一个链表表示图。数组中的每个元素对应一个顶点，链表中的节点表示与该顶点相连的其他顶点。对于无向图，每个顶点对应的链表中会包含两个节点，分别指向与该顶点相连的两个顶点；对于有向图，链表中只包含一个节点，指向该顶点的出边。5.3图的遍历算法图的遍历算法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）两种。深度优先搜索（DFS）：从图的某个顶点开始，递归地访问所有与该顶点相邻的未被访问过的顶点。DFS的时间复杂度为O(VE)，其中V表示顶点数，E表示边数。广度优先搜索（BFS）：从图的某个顶点开始，逐层遍历所有与该顶点相邻的顶点。BFS的时间复杂度也为O(VE)。5.4最短路径算法最短路径算法用于求解图中两点之间的最短距离。以下介绍两种常用的最短路径算法：Dijkstra算法：适用于求解单源最短路径问题，即从某个源点出发到其他所有顶点的最短路径。Dijkstra算法的基本思想是：从源点出发，逐步扩展到其他顶点，每次都选择距离源点最近的顶点进行扩展。算法的时间复杂度为O(V^2)。Floyd算法：适用于求解多源最短路径问题，即求解图中所有顶点对之间的最短路径。Floyd算法的基本思想是：通过中间顶点逐步更新两个顶点之间的最短距离。算法的时间复杂度为O(V^3)。第六章排序算法6.1排序算法概述排序算法是计算机科学中一类重要的算法，其目的是将一组数据按照特定的顺序进行排列。排序算法在数据处理、查询优化、算法分析等领域具有广泛的应用。根据排序过程中元素间比较的次数和移动的次数，可以将排序算法分为内部排序和外部排序两大类。内部排序是指整个排序过程都在内存中完成，外部排序则涉及到数据的内外存交换。本章将介绍几种常用的内部排序算法。6.2冒泡排序冒泡排序是一种简单的排序算法，其基本思想是通过相邻元素的比较和交换，使较大（或较小）的元素逐渐从前往后（或从后往前）移动。冒泡排序的具体步骤如下：（1）从第一个元素开始，比较相邻的两个元素，如果它们的顺序不对，就交换它们的位置。（2）对每一对相邻元素做同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。（3）针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。（4）重复步骤1~3，直到排序完成。冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。6.3选择排序选择排序是一种简单直观的排序算法，其基本思想是遍历整个数组，每次从未排序的部分找出最小（或最大）的元素，将其放在已排序部分的末尾。选择排序的具体步骤如下：（1）首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置。（2）再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。（3）重复步骤1和2，直到所有元素均排序完毕。选择排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。6.4插入排序插入排序是一种简单的排序算法，其基本思想是将一个记录插入到已经排好序的有序表中，从而得到一个新的、记录数增加1的有序表。插入排序的具体步骤如下：（1）从第一个元素开始，该元素可以认为已经排好序。（2）取出下一个元素，在已经排好序的元素序列中从后向前扫描。（3）如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置。（4）重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置。（5）将新元素插入到该位置后。（6）重复步骤2~5，直到所有元素均排序完毕。插入排序的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(1)。第七章查找算法7.1查找算法概述查找是数据结构与算法中的一种基本操作，其目的是在给定的数据集合中找到满足特定条件的数据元素。查找算法根据数据集合的性质和存储方式不同，可以分为多种类型。本章将重点介绍顺序查找、二分查找和哈希查找等常见查找算法。7.2顺序查找顺序查找是最简单的查找算法，它逐个检查数据集合中的每个元素，直到找到满足条件的元素或遍历完整个数据集合。顺序查找适用于未排序的数据集合，其时间复杂度为O(n)，其中n为数据集合中的元素个数。顺序查找的基本步骤如下：（1）从数据集合的第一个元素开始，逐个检查每个元素。（2）如果找到满足条件的元素，则返回该元素的索引。（3）如果遍历完整个数据集合仍未找到满足条件的元素，则返回1。7.3二分查找二分查找是一种高效的查找算法，它适用于有序数据集合。二分查找的基本思想是将待查找的数据集合分为两部分，然后根据中间元素与目标值的比较结果，确定目标值所在的区间，从而缩小查找范围。二分查找的步骤如下：（1）确定查找区间的上界和下界。（2）计算查找区间的中间位置。（3）比较中间位置的元素与目标值。（4）如果中间位置的元素等于目标值，则返回该位置的索引。（5）如果中间位置的元素小于目标值，则将查找区间的下界更新为中间位置的后一个位置。（6）如果中间位置的元素大于目标值，则将查找区间的上界更新为中间位置的前一个位置。（7）重复步骤26，直到找到目标值或查找区间为空。二分查找的时间复杂度为O(logn)，其中n为数据集合中的元素个数。7.4哈希查找哈希查找是一种基于哈希表的查找算法。哈希表是一种通过哈希函数将关键码映射为存储位置的数据结构。哈希查找利用哈希表的这一特性，将待查找的关键码通过哈希函数计算得到存储位置，然后直接访问该位置以找到目标值。哈希查找的步骤如下：（1）根据待查找的关键码，通过哈希函数计算得到存储位置。（2）访问该存储位置，判断是否存储了目标值。（3）如果存储了目标值，则返回该位置的索引。（4）如果未存储目标值，则根据冲突解决策略，继续查找下一个可能的存储位置。（5）重复步骤34，直到找到目标值或遍历完整个哈希表。哈希查找的时间复杂度取决于哈希函数的设计和冲突解决策略，通常情况下，其查找效率较高。第八章动态规划8.1动态规划概述动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学等领域中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，它通常采用递归或迭代的方式，将子问题的解存储起来以避免重复计算，从而提高计算效率。8.2最长公共子序列最长公共子序列（LongestCommonSubsequence,LCS）问题是指在两个序列中找到一个长度最长的子序列，这个子序列在两个序列中都保持原有的元素顺序。解决LCS问题可以采用动态规划的方法，通过构建一个二维数组来保存中间计算结果，从而避免重复计算，最终得到最长公共子序列的长度。8.3最小路径和最小路径和问题是指在给定一个加权图中，寻找一条从起点到终点的路径，使得路径上的权值之和最小。动态规划可以应用于解决此类问题，通过构建一个二维数组来保存到达每个节点的最小路径和，逐步迭代更新，最终得到从起点到终点的最小路径和。8.4最大子段和最大子段和（MaximumSubarrayProblem）问题是指在给定一个整数数组中，找到一个具有最大和的连续子数组。动态规划是解决这一问题的一种有效方法。采用动态规划求解最大子段和问题时，可以构建一个一维数组来保存以每个位置结尾的子数组的最大和，通过迭代更新得到全局最大子段和。还可以使用Kadane算法来高效地解决这一问题。第九章贪心算法9.1贪心算法概述贪心算法是一种在问题求解过程中，每一步都采取当前状态下最优的选择，从而希望导致结果是全局最优的算法策略。该算法的核心思想是局部最优解，即每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，从而希望能得到全局的最优解。但是贪心算法并不总是能得到全局最优解，这是其局限性。9.2活动选择问题活动选择问题是一类经典的贪心算法问题。给定一组活动，每个活动都有开始时间和结束时间，要求选择一组互不重叠的活动，使得选择的活动的数量最多。解决这个问题的贪心策略是：每次选择结束时间最早且未与已选择活动冲突的活动。9.3背包问题背包问题是另一类常见的贪心算法问题。01背包问题是指给定一组物品，每个物品都有一定的价值和重量，要求在限定的背包容量内，选择一组物品，使得选取的物品的总价值最大。贪心策略是：每次选择价值密度最大的物品，即价值与重量的比值最大的物品。9.4最小树问题最小树问题是指在加权无向图中，找到一个边的子集，这个子集构成一棵包含图中所有顶点的树，且所有边的权值之和最小。解决这个问题的贪心策略是：从空集开始，每次选择一条连接两个顶点的边，这条边的权值最小且不与已选择的边构成环，直到所有顶点都被连接。常用的算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。第十章分治算法10.1分治算法概述分治算法是一种重要的算法设计思想，其基本思想是将一个难以直接解决的问题分解成若干个规模较小的相同问题，递归地解决这些子问题，然后将子问题的解合并以得到原问题的解。分治算法的核心思想可以概括为“分而治之”，其主要包括三个步骤：分解、递归求解和合并。10.2快速排序快速排序是一种基于分治算法的排序方法，其基本思想是选择一个基准元素，将数组划分为两个子数组，使得一个子数组中的所有元素都不大于基准元素，另一个子数组中的所有元素都不小于基准元素，然后递归地对这两个子数组进行快速排序。10.2.1快速排序算法描述（1）选择基准元素：通常选择数组的第一个元素或最后一个元素作为基准元素。（2）划分数组：将数组划分为两个子数组，使得左边子数组的元素都不大于基准元素，右边子数组的元素都不小于基准元素。（3）递归排序：对左右两个子数组分别进行快速排序。10.2.2快速排序算法实现下面是快速排序算法的伪代码实现：functionquickSort(arr,low,high):iflow<high:pivotIndex=partition(arr,low,high)quickSort(arr,low,pivotIndex1)quickSort(arr,pivotIndex1,high)其中，`partition`函数负责划分数组，并返回基准元素的正确位置。10.3归并排序归并排序是一种基于分治算法的排序方法，其基本思想是将一个序列分为两个子序列，递归地对这两个子序列进行归并排序，最后将两个有序子序列合并为一个