9.4.3 菱形及其性质 习题练

第9章中心对称图形——平行四边形菱形及其性质9.4.31012345D67答案呈现温馨提示：点击进入讲评C8CB9B1011BC1213[2023·福建]如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为________．1102【点拨】【答案】D如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是(

)A．BE＝DF

B．∠BAE＝∠DAFC．AE＝AF

D．∠AEB＝∠AFD3【点拨】由四边形ABCD是菱形可知AB＝AD，∠B＝∠D.添加BE＝DF，可利用SAS证明三角形全等；添加∠BAE＝∠DAF，可利用ASA证明三角形全等；添加AE＝AF，不能证明三角形全等；添加∠AEB＝∠AFD，可利用AAS证明三角形全等．故选C.【答案】C[2022·济南]已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE.求证：AE＝CF.45如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(

)A．AB＝AD

B．AC⊥BDC．AC＝BD

D．∠DAC＝∠BAC【点拨】由菱形的性质可得AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，不能得到AC＝BD，故选C.【答案】C6【点拨】【答案】B7【点拨】【答案】B[2022·湘西州改编]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝6，若菱形ABCD的面积为96，则CD的长为(

)A．6B．8C．10D．148【点拨】【答案】C9【点拨】如图，取AD的中点M′，连接M′N，M′P，则有MP＝M′P.所以MP＋PN的最小值为线段M′N的长，即菱形的边长．【点易错】解这类问题同学们往往不会利用菱形的轴对称性．利用对称找点是解题的关键，将线段和的最小值转化为一条线段的长是解题通法．【答案】B••••[2023·嘉兴]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF.10(1)求证：AE＝AF；(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．【解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.由(1)知△ABE≌△ADF.∴∠BAE＝∠DAF＝30°.∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60°.[2022·滨州改编]如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F.11(1)求菱形ABCD的面积；(2)求证：AE＝EF.【证明】连接EC.∵四边形ABCD是菱形，点E在对角线BD上，∠ABC＝60°，∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°.∴EA＝EC，∠DCA＝60°.∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°.∵∠AEF＝120°，∴∠EAC＋∠EFC＝360°－∠AEF－∠ACF＝360°－120°－120°＝120°.∵∠ECA＋∠ECF＝120°，∴∠EFC＝∠ECF.∴EC＝EF.∴AE＝EF.(母题：教材P79练习T2)如图，四边形ABCD是边长为5cm的菱形，其中对角线BD的长为8cm.求：12(1)对角线AC的长；(2)菱形ABCD的面积．如图，菱形ABCD的一个内角∠B＝60°，E为BC的中点，F为CD的中点，连接AE，AF，EF.13(1)△AEF的形状如何？请证明．【解】△AEF为等边三角形．证明如下：连接AC，如图①所示．∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°.∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠CAE＝∠CAF＝30°，∴∠EAF＝60°.∵菱形ABCD的面积为BC·AE＝CD·AF，BC＝CD，∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形．(2)若E为BC上的任意一点，F为CD上的任意一点，且∠EAF＝60°，△AEF的形状如何？请证明．【证明】△