第12章全等三角形（基础常考易错压轴）分类专项训练（解析版）

第12章全等三角形（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练

【基础】

一.全等图形（共2小题）

1.（2022春•商水县期末）有下列说法，其中正确的有（）

①两个等边三角形一定能完全重合；

②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；

③两个等腰三角形一定是全等图形；

④面积相等的两个图形一定是全等图形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】直接利用全等图形的性质分别分析得出答案.

【解答】解：①两个等边二角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；

②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；

③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；

④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意.

故选:4

【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等图形的性质是解题关键.

2.（2022春•永春县期末）如图是由四个用同的小正方形组成的网格图，则Nl+N2=180°.

【分析】根据SAS可证得△ABCgAEDC,可得出NBAC=NOEC,继而可得出答案.

【解答】】解：由题意得：AB=ED,BC=DC,ND=N8=90°,

•••△ABC妾△EOC（SAS）,

AZBAC=Z1,

Zl+Z2=180°.

故答案为：180°.

【点评】本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出△ABCgZXEDC.

二.全等三角形的性质（共3小题）

3.（2022春•淄博期末）如图，已知△ABDZ/XACE,AO=3,AB=7,BD=9,则AC的长为（）

7C.9D.无法确定

【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：:△ABOg/XACE,AB=1,

：.AB=AC=7,

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

4.（2022春•招远市期末）如图所示，△A8C0ZV1七立在下列结论中，不正确的是（）

A.ZEAB=ZFACB.BC=EFC.CA平分N8C尸D.ZBAC=ZCAF

【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：♦:△ABgXAEF,

；・/B4C=NE4尸，

工/BAC-ZEAE=ZEAF-ZEAC,

：.^EAB=ZFAC,故A不符合题意;

•・,'ARgAAEF,

/.RC-EF,故用不符合题意：

♦：△ABCWAAEF,

：.AC=AFtNACB=NF,

：.Z1ACF=ZF=NACB,

・・・CA平分NBCF,故C不符合题意；

•・,△AB（XZ\A",

・・・/BAC=NE4尸，

AZBAOZCAF,故。符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形性质是解题的关键.

5.（2022春•元阳县期末）已知△48C的三边长为x,3,6,△。石尸的三边长为5,6,y.若AABC与ADEF

全等，则x+y的值为8.

【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可.

【解答】解：因为△ABC与△£>£：尸全等，

所以x=5,y=3,

所以x+y=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键.

三.全等三角形的判定（共4小题）

6.（2022春•温江区校级期末）下列说法王确的是（）

A.两个全等图形面积一定相等

B.两个等边三角形一定是全等图形

C.形状相同的两个图形一定全等

D.两个正方形一定是全等图形

【分析】直接利用全等图形的性质以及定义，分别分析得出答案.

【解答】解：A.两个全等图形面积一定相等，故此选项合题意；

B.两个等边三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；

C.形状相同的两个图形不一定全等，故此选项不合题意；

D.两个正方形不一定是全等图形，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等图形，正确掌握全等图形的性质是解题关键.

7.（2022春•保定期末）如图三角形纸片被遮住了一部分，小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重

合的三角形，他画图的依据是（）

A.SSSB.AASC.ASAD.SAS

【分析】根据全等三角形的判定定理力SA得出即可.

【解答】解：他画图的依据是4s4,即有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，

故选:C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全

等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有〃人等.

8.（2D22•连城县校级开学）如图，在△48C和△。即中，AB=DE,NB=NDEF,请你再补充一个条件,

能直接运用“SAS”判定△ABCg/XOER则这个条件是（）

A.NACB=NDEFB.BE=CFC.AC=DFD.ZA=ZF

【分析】根据全等三角形的判定方法即可确定.

【解答】解：添加条件：BE=CF,理由如下：

,:BE=CF,

：.BC=EF.

在△A5C和△£）£：?中，

rAB=DE

•NB=NDEF，

BC=EF

工2ABC安/\DEF（SAS）,

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

9.（2B22春•榕城区期末）加图,已知人R=4。，AE=AC,/DAR=/F.AC.求证：/\ACD^/\AF.R.

【分析】先证明ND4C=NBAE,然后根据“S4S”可判断△ACDg/XAEB.

【解答】证明：・・・ND48=NE4C,

:.ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,

即/£>4C=N34E,

在△4。）和△AE8中，

rAD=AB

•ZDAC=ZBAE>

AC=AE

:•△ACDeXAEB（SAS）.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用

哪一种方法，取决于题目中的已知条件.

四.全等三角形的判定与性质（共6小题）

10.（2022春♦凤翔县期末）如图，锐角△力8C的两条高80、CE相交于点O,且CE=BD,若NCBD=20。，

则/A的度数为（）

A.20°B.40°C.60°D.70c

【分析】首先利用直角三角形可得N8C。得度数，再根据“印「可得△8EC也△88,进而得到N8CO

=/CBE,可得NA.

【解答】解：8。是高，ZCBD=205,

AZBCD=180°-90°-20°=70°,

在RtABEC和RtACDB中,

[CE=BD,

lBC=CB，

ARtABEC^RtACDB（HL）,

:"BCD=NCBE=K0,

：.ZA=180°-70°-70°=40°.

故选:B.

【点评】本题考查直角三角形全等的判定和等腰三角形的性质，熟练的掌握全等的判定方法是解题关键.

11.（2022春•永州期末）如图，NAOC=NBOC,点尸在。。上，PQ_LO4与点。，PEJLOB与点E,若

OD=4,OP=5,则PE的长为（）

A.3B.V3C.4D.Vl5

【分析】利用勾股定理列式求出PD,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得?石=尸/）.

【解答】解：・・・OO=4,OP=5,PD1OA,

由勾股定理得，PD=>7OP2-OD2=39

VZAOC=ZBOC,PD±OA,PEtOB,

・・・PE=PD=3.

故选:A.

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，勾股定理，是基础题，熟记性质是解

题的关键.

12.（2022春•淄博期末）如图，是△ABC的角平分线，。尸于点凡点、E,G分别是边AB,AC±

的点，且OE=OG,则/AED+NAGD=180度.

【分析】过点。作OH_L4C于点”，由A。是△ABC的角平分线可得。尸=。"，可证出△£）£^^△06月

(HL),可得NAGO=NOE凡即可求解.

t解答】解：如图，过点。作。〃14c于点从

'：DF±AB,

:・NDFE=90°,

:4。是△ABC的角平分线，

：.Db=DH,

■:DE=DG,

:•△DEFW4DGH(HL),

：.^AGD=ZDEFt

：.^AED+ZAGD=ZAED+ZDEF=\^°,

故答案为：180.

【点评】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关犍是正确作出辅助线，证出△

DEF/ADGH.

13.(2022春•沈北新区期末)如图，已知3£>=C£ZB=ZC,若48=7,40=3,则Z)C=4.

【分析】利用A4S证明△ABOgZXACE,WAC=AB,从而得出答案.

【解答】解：在△A8O与△4€1£：中，

2A=NA

•NB=NC，

BD=CE

：.\ABD9XACECAAS),

**AC=ABf

*：AB=1,AD=3,

：.CD=AC-AD=AB-AD=1-3=4,

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△ABOgZXACE是解题的关键.

14.（2022春•杨浦区校级期末）填空完成下列说理：

如图，AC与BD交于点0,联结4B、DC、BC,已知NA=NO,AO=DO.

说明：ZABC=ZDCB.

在AAOB与△OOC中，

ZA=ZD（已知）

AO=DO（已知）

ZAOB=ZDOC（对顶角相等）

/.（ASA）

・・・/A8O=NOC0（全等三角形的对应角相等）

OB=OC（全等三角形的对应边相等）

：./OBC=ZOCB（等边对等角）

A^OBC+ZABO=ZOCB+ZDCO（等式性质）

即/48C=NOCB.

【分析】根据对顶角相等得到NAO8=NOOC,再证明△AOSg△OOG所以O8=OC,根据等边对等

角证明/08C=N0C8,最后根据等式性质即可解答.

【解答】解：在△A08与△OOC中，

ZA=ZD（已知），

AO=DO（已知），

ZAOB=ZDOC（对顶角相等），

ACASA）,

：.4AB0=NDC0（全等三角形的对应角相等）,

OB=OC（全等三角形的对应边相等），

：,/CRC=/CCR（等边对等角）.

A^OBC+ZABO=ZOCB+ZDCO（等式性质），

即

【点评】本题主要考查对顶角相等，全等三角形的判定和性质，解题关键是对相应的知识的掌握与应用.

15.（2022春•沈北新区期末）如图，4、E、F、B在同一条直线上，AE=BF,NA=NB,NCEB=NDFA,

【分析】首先利用ASA证明△APOg/kBEC,得8C=AO,再由等角对等边得04=08,从而证明结论.

【解答】证明：・.・AE=8R

；.AE+EF=BF+EF,

即AP=BE,

在△A"）和△BEC中，

2A=NB

<AF=BE，

ZAFD=ZCEB

:•△AFDgABEC（ASA）,

：.BC=AD,

*：/4=NB,

：・OA=OB,

：,AD-OA=BC-OB,

：.OC=OD.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，证明△AagZkBEC是

解题的关键.

五.全等三角形的应用（共1小题）

16.（2022春•郸城县期末）如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配

一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（)

【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去.

【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，

所以，最省事的做法是带③去.

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

六.角平分线的性质（共1小题）

17.（2022•遵义模拟）如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=AE,DELAB,若NBDE=46°,则NO4E

=23°.

【分析】先利用邻补角求出NCDE,再根据角平分线的判定判断出N4DE=L/CDE，最后利用三角形

2

内角和求出ND4E.

【解答】解：•:NBDE=46：

AZCDE=1800-ZBDE=180°-46°=134°,

*：DE.LAB,

.*.ZDE4=90o,

又NDEA=90°,NC=90°,

・・・D4是/CDE的角平分线，

••・/ADE】NCDE1X1340=67°，

工在RtZ\AOE中，

AZDA£=1800-ZDEA-ZADE=180°-Z90°-67°=23°，

故答案为:23°.

【点评】本题考查角平分线的判定，能判断出AO平分NC0E是解题的关禳.

【常考】

一.全等图形（共1小题）

1.（2022春•济南期中）如图.在2X2的正方形网格中.线段人山的端点均在格点卜.则/1+/2=

90°.

【分析】首先证明△COO0△A08,利用全等三角形的性质可得N1=N8人。，进而可得答案.

【解答】解：由题意可得CO=AO,BO=DO,

A0=C0

在△COO和△4。6中＜Zo=zo»

BO=DO

•••△COOgZVIOB(SAS),

・・・N1=/8AO,

•・・N2+NB4O=90°,

，N1+N2=9O°.

故答案为：90.

【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的判定方法和性质.

二.全等三角形的性质（共6小题）

2.（2022春•扬山县校级期末）如图,△A8C空△OEC,B,C,。三点在同一直线上，若CE=6,AC=9,

则8。的长为（）

C.12D.15

【分析】关键是根据全等三角形的性质解答即可.

【解答】解：,:XABC/ADEC,CE=6,AC=9,

:.RC=CE=6.CD=AC=Q.

:.BD=BC+CD=6+9=15,

故选：D.

【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答.

3.（2022春•长安区期末）如图，点A,0,B,尸在一条直线上，△ABCgAFOE.若A尸=10,40=3.5,

则8。的长为（）

A.3B.3.5C.6D.7

【分析】根据全等三角形的性质得出A8=OF,求出40=8尸=3.5,再代入BO=A〃-AD-B产求出即可.

【解答】解：'：XABC9XFDE、

:.AB=DF,

:・AB-BD=DF-BD,

即AD=BF,

•••40=3.5,

：.BF=3.5,

VAF=10,

：.BD=AF-AD-BF=10-3.5-3.5=3,

故选：A.

【点评】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的

对应角相等，对应边相等.

4.（2022春•萧县期末）如图，点B,C,。在同一条直线上，且CE=2,CD=4,则8。

的长为（）

C.4.5D.6

【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，进而解答即可.

【解答】解：,:△ABC@4DEC,CE=2,CD=4,

:.BC=CE=2,

:・BD=BC+CD=4+2=6,

故选：D.

【点评】此题考查全等二角形的性质，关键是根据全等二角形的性质得出对应边相等解答.

5.（2022春•叙州区期末）如图，其中NA=36°,ZC=24°,则/B=（）

B.100°C.120°D.135°

【分析】根据全等三角形的性质求出NC,再根据三角形内角和定理计算，得到答案.

【解答】解：NC=24°,

・・・NC=NC=24°,

・・・NB=I8O0-ZA-ZC=180°-36°-24°=120°,

故选：C.

【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关

犍.

6.（2。22春•偃师市期末）如图，若△ABC也△。后尸，A尸=2,"）=8,则尸C的长度是6

A

【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可.

【解答】解："：XABC妾XDEF,A尸=2,尸。=8,

：.AC=FD=S,

：,FC=AC-AF=S-2=6,

故答案为：6.

【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答.

7.（2022春•晋江市期末）如图，△48C0△AOE,且点石在上，若ND4B=3O。，则NC£0=150°

【分析】根据全等三角形的性质得到NB=N。，根据对顶角相等得到N8〃E=NWM,求出NBEO,根据

邻补角的定义计算，得到答案.

【解答】解：VAABC^AADE,

；・NB=ND,

■:NBHE=NDHA,

・・・NBED=ND4B=3O°,

/.ZCED=180°-NBED=150°,

故答案为：150。.

【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.

三.全等三角形的判定（共4小题）

X.（2022春•郛城具期末）如图,F.^AO=CO,若以“SAS”为依据证明△.4。/?乌八。）。.还要添加的条

件BO=DO.

【分析】根据题意和图形，可以得到人O=CO,NAOB=NCOD,然后即可得到△4OB且△□%）需要添加

的条件.

【解答】解：'：AO=CO,NAOB=NCOD,

・•・添加条件80=。。，贝iJZ\AO8gZ\COO（SAS）,

故答案为：B0=D0.

【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

9.（2022春•济南期末）已知：如图，NCAB=NDBA,只需补充条件4c=5），就可以根据“SAS”得

【分析】根据S4S的判定方法可得出答案.

【解答】解：补充条件AC=8O.

理由：在△ABC和△84D中，

AC=BD

<ZCAB=ZDBA，

AB二BA

△ABgZ\8AO（SAS）.

故答案为：AC=BD.

【点评】此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS.ASA.AAS.HL.

10.（2022春•普宁市期末）如图，NA=/B=90°,AB=60,E,尸分别为线段AB和射线8。上的一点，

若点E从点B出发向点A运动，同时点尸从点B出发向点。运动，二者速度之比为3：7,运动到某时刻

同时停止，在射线AC上取一点G,使△AEG与aBE尸全等，则AG的长为18或70.

c

AEB

【分析】设BE=3f,则8/=7f,使aAEG与ABE尸全等，由NA=N8=90°可知，分两种情况：

情况一：当B£=AG,6"=A£时，列方程解得7,可得4G；

情况二：当5七=4E，8/=AG时，列方程解得Z,可得AG.

【解答】解：设8E=3/,则BF=7f,因为/A=NB=90°,使AAEG与△BE/全等，可分两种情况:

情况一：当BE=AG,时，

9：BF=AE,AB=60,

，7f=60-36

解得：t=6,

.•・AG=8E=3/=3X6=18；

情况二：当BE=AE,BF=AG时,

*：BE=AE,AB=60,

.*.3/=60-36

解得：r=10,

:.AG=BF=F=1X10=70,

综上所述，4G=18或AG=70.

故答案为：18或70.

【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键.

11.(2022春•龙口市期末)如图，ZC=90°,4c=20,BC=\0,AX_LAC,点P和点。同时从点A出发,

分别在线段AC和射线4X上运动，且AB=PQ,当4P=10或20时,以点A,P,。为顶点的三角形与

△ABC全等.

【分析】分两种情况：①当AP=8C=10时；②当月P=CA=20时；由证明RtZ\4BCgRtZ\PQA(”L)；

即可得出结果.

【解答】解：

，N/HQ=90°,

・・・NC=N%Q=90°,

分两种情况：

①当4P=BC=10时，

在RtzXABC和RtAQM中，

[AB=PQ,

，

lBC=i\P

/.RtAABC^RtA0/^(HL)：

②当AP=CA=20时，

在△ABC和中，

[AB=PQ,

1AP=AC'

.*.RtAABC^RtAPCA(HL)；

综上所述：当点P运动到AP=10或20时，△4BC与△APQ全等；

故答案为：10或20.

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨

论，难度适中.

四.全等三角形的判定与性质(共6小题)

12.(2022•陈仓区一模)如图所示，A、。、B、E四点在同一条直线上，若AO=BE,ZA=ZEDF,NE+

ZCBE=180°，求证：AC=DF.

【分析】根据NE+NCBE=180°,NA8C+NC8E=180°,可得NE=NA8C根据AO=BE可得AB=OE,

利用4sA证明△ABCgZXOEF,可得结论.

【解答】证明：•・・/E+NCBE=180°,ZABC+ZCBE=\SO°,

/.7E=/ARC.

•:AD=BE,

；.AD-DB=BE+DB,

即AB=DE,

在△ABC和△/)£：尸中，

2A=NEDF

<AB=DE，

ZABC=ZE

:.丛ABC沿4DEF(ASA),

：.AC=DF.

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△A5C0△。即是解题的关键.

13.(2022春•兴庆区校级期末)如图，8。为△ABC的角平分线，E为4B上一点，BE=BC,连结

(1)求证：ABDC”ABDE；

(2)若AB=7,CD=2,NC=90°,求△ABO的面积.

(分析］(1)根据SAS可证明△BDC妾ABDE；

(2)由全等三角形的性质得出NBEO=NC=90°,DC=DE,根据三角形的面积公式可得出答案.

【解答】(1)证明：・・・80为△A8C的角平分线，

:・NBCD=NEBD,

在和△BOE中，

FBC=BE

,NCBD=NEBD，

BD=BD

:.ABDC/4BDE(SAS)；

(2)解：'：/\BDgABDE,

:.NBED=NC=90°,DC=DE,

VDC=2,

：.DE=2,

：.SMBD=-AB*DE=^X1X2=1.

22

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，证明是解题的关键.

14.(2022•淮阴区模拟)已知：如图，点、E,尸在上，BE=CF,AB=DC,N8=NC.求证：NA=N

D.

【分析】根据S4S证明△人BFgAOCE,由全等三角形的性质即可解决问题.

【解答】证明：•••8E=CE

・・・BE+EF=CF+EF,

:・BF=CE,

在△ABr和△/)(?£中，

'AB二CD

<ZB=ZC,

BF=CE

•••△A5修△OCE(SAS),

・•・NA=ND

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基

础题.

15.(2022•温州模拟)如图，四边形A8CO中，AD//BC,E为CO的中点，连结8E并延长交AO的延长

线于点尸.

(1)求证：4BCE学AFDE；

(2)连结4E,当4E_L8/，BC=2,4。=1时，求A8的长.

【分析】（1）由“A4S”可证△DAE^^C尸E；

（2）由全等三角形的性质可得BE=E/，BC=DF,由中垂线的性质可得AB=A凡可得结论；

【解答】解：（1）,：AD//BC,

:・NF=NEBC,NFDE=NC,

•・•点E为CO的中点，

:・ED=EC,

在和七。中，

2F=NFBC

<ZFDE=ZC>

ED=EC

：AFDE迫4BEC（A4S）；

（2）VAFDE^AfiEC,

:・BE=EF,BC=DF,

•・・AE_LBF,

：.AB=AF,

：.AB=AF=AD+DF=AD+BC=1+2=3,

・・・A5的长为3.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关

键.

16.（2022春•余江区期末）综合与探究

如图U）,AB=9cm,AC1AB,8O_LAB垂足分别为A、B,AC=7c〃?.点尸在线段A8上以2cm/s的速度

由点4向点8运动，同时点。在射线BD上运动.它们运动的时间为f（s）（当点P运动结束时，点。运

动随之结束）.

(1)若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，当1=1时，产与△8PQ是否全等，并判断此时线段

PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

(2)如图(2),若“ACJLA&BO_LA8”改为“NCAB=NOR4"，点Q的运动速度为xcm/s,其它条件不

变，当点尸、。运动到何处时有△AC尸与△BPQ全等，求出相应的x的值.

【分析】(1)根据SAS证明aACP和△BPQ全等，进而解答即可；

(2)根据全等三角形的性质得出方程解答即可.

【解答】解：(1)ZLACPg△BP。，PC.LPQ,

理由：:ACLAB,BD1AS,

，N4=N8=90°,

\'AP=BQ=2,

・・・B尸=7,

:.BP=AC,

在△ACP和△BP。中，

'AP=BQ

・NA=NB，

AC=BP

/.(SAS),

：・NC=/BPQ,

VZC+ZAPC=90°,

AZAPC+ZBPQ=90°,

・・・NCPQ=90°,

：.PCLPQ；

(2)①若△ACFg/XBPQ,

贝|J4C=B尸，AP=BQ,

可得：7=9-262t=xt,

解得：x=2,，=1；

②若八

贝|JAC=8Q,AP=BP,可得：l=xt,2r=9-2/

解得：具，t^>.

X94

综上所述，当aACP与aBP。全等时x的值为2或零.

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACP和asp。全等解答，解决此题的

是注意分类讨论.

17.(2022春•南山区期末)如图，CO是经过NBC4顶点C的一条直线，CA=CB,E、尸分别是直线CO

上两点，且NBEC=NC"=a.

(1)若直线CO经过N8C4的内部，且£、尸在射线。。上.

①如图1,若N6CA=9U°,a=9(T,则BE=C7；

②如图2,若0°<ZBCA<180°,请添加一个关于a与N8CA关系的条件a+N8CA=180°,使①

中的结论仍然成立，并说明理由；

(2)如图3,若直线CO经过NBC4的外部，a=N8C4,请提出关于七/，BE,4尸三条线段数量关系的合

理猜想，并简述理由.

【分析】(1)由N8C4=90°,ZBEC=ZCM=a=90°,可得NC3E=NAC/，从而可证△8CEg△(?",

故BE=CF.

(2)若BE=CR则可使得△BCEgACAF.根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，XBCaX

C4尸便可得证.

(3)题干已知条件可证△BCEg^CAF,故8E=CF，EC=FA,从而可证明痔=BE+A尸.

【解答】解：(1)VZBEC=ZCM=a=90°,

：,ZBCE+ZCBE=\S00-ZBEC=90°.

又・・・N8CA=N8CE+N4c尸=90°,

:./CBE=ZACF.

在△BCE和△CA产中，

rZBEC=ZCFA,

<ZCBE=ZACF,

BC=AC.

.,.△SCE^ACAF(A4S).

：.BE=CF.

(2)a+ZBCA=180°,理由如下：

•：NBEC=NCFA=a,

：.NBEF=1800-NBEC=1800-a.

又VNBEF=NEBC+NBCE,

・・・N£BC+NBCE=1800-a.

又•.•a+/8cA=18(T,

・・・NBCA=1800-a.

/.ZBCA=ZBCE+ZACF=1800-a.

：,/EBC=/FCA.

在和△CA产中，

rZCBE=ZACF,

,ZBEC=ZCFA,

BC=CA.

:.△BCaACAF(AAS).

：.BE=CF.

(3)EF=BE+AF,理由如下：

•・・NBCA=a,

・・・NBCE+NACF=1800-ZBCA=180°-a.

又,：£BEC=a,

；・NEBC+NBCE=1800-ZBEC=180°-a.

:・/EBC=NFCA.

在△BEC和△。胡中，

rZEBC=ZFCA,

<ZBEC=ZFCA,

BC=CA.

/.△BEC^ACM(A4S).

/.RF-CF,EC=FA.

：.EF=EC+CF=FA+BEtB|JEF=BE+AF.

【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

五.全等三角形的应用(共1小题)

18.(2022春•临渭区期末)小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA

与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2,〃高的8处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他,

若妈妈与爸爸到OA的水平距离8£＞、CE分别为16〃和2m,ZBOC=90°.

(1)△08。与△COE全等吗？请说明理由；

(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？

【分析】(1)由直角三角形的性质得出NCOE=NOBD,根据A4s可证明△COEg/\O8。；

(2)由全等三角形的性质得出CE=OZ),OE=BD,求出OE的长则可得出答案.

【解答】解：(1)4OBD与4c0E全等.

理由如下：

由题意可知NCEO=N5OO=90°,OB=OC,

VZBOC=90°,

；・NCOE+NBOD=NBOD+/OBD=90；

・•・ZCOE=NOB。，

在△COE和△OBO中，

rZCOE=ZOBD

•ZCEO=ZODB»

OC=OB

•••△COEdOB。(A45)；

(2):△COE四△OBZ),

:.CE=OD,OE=BD,

■:BD、CE分别为1.6m和2m,

：.DE=OD-OF-CE-RD=2-1.6=04(〃?)，

・70=1.2〃?，

：.AE=AD+DE=\.6（w）,

答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明△COEg/XOBO是解题的关键.

六.角平分线的性质（共3小题）

19.（2022•凤翔县一模）如图，在△ABC中，ZC=90°,40是N8AC的角平分线，若CD=3,AB=8,

则△MO的面积是（）

C

【分析】过点。作OE_L4B于E,根据角平分线的性质求出OE,根据三角形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：过点。作。E_LA8于E,

•••A。是NBAC的角平分线，OE_LAB,ZC=90°,

:.DE=CD=3,

AB*DE=AX8X3=12,

22

故选：D.

C

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

20.（2022春•槐荫区期末）如图，点C在N4OB的平分线上，COJ_OA于点。，且CO=2,如果E是射线

OB上一点，那么CE长度的最小值是2.

A

【分析】过点。作CE_LOB于点E,根据角平分线的性质解答即可.

【解答】解：过点C作CE_LOB于点£

,点C在NA08的平分线上，CQ_LQA于点。，且C£>=2,

：.CE=CD=2,

即CE长度的最小值是2,

故答案为：2.

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

21.（2022春•永丰县期末）如图，四边形ABCD中，N8CO=90°,NABD=NDBC,AB=4,DC=6,则

【分析】过。作DELBA,交BA的延长线于E,根据角平分线的性质得出DE=DC=6,根据三角形的面

积公式求出即可.

【解答】解：过。作OE_L8A,交8A的延长线于E,

VZBCD=90°，NABD=NDBC,

：.DE=DC,

VDC=6,

：.DE=6,

•・・A8=4,

：•AABD的面积是,xABxDE=yX4X6=,2*

故答案为：12.

【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出OE=OC=6是解此题的

关键

【易错】

一.全等三角形的判定（共5小题）

1.（2022春•辽阳期末）在△ABC中，D,E分别是AC、BC上的点，过点Z）作OF_LA8,DG上BC,垂足

分别是点尸，G,连接。E,若DF=DG,BE=DE,则下面三个结论：

①BF=BG；

②DE//BF；

③△4）尸gZiCOG.

其中正确的是（）

A.①③B.②©C.①②D.①©③

【分析】连接8Q,根据垂直定义可得/0四=/82。=/860=/06。=90°,再根据HL证明RtZXBAD

^RtAfiGD,然后根据全等三角形的性质可得8P=8G,NFBD=NGBD,即可判断①，再根据等腰三角形

的性质可得NGBO=N3OE,从而可得NFBD=NBDE,即可判断②，最后根据AOWCZ）,即可判断③.

【解答】解：连接见），

VDF1AB,DG-LBC,

/.ZDFA=ZBFD=ZBGD=ZDGC=90°,

•;DF=DG,BD=BD,

LRtABFD丝RSGD(HL),

:・BF=BG,

故①正确；

♦；RtABFD9RtABGD,

：.NFBD=NGBD,

•:BE=DE,

J/GBD=/BDE,

:./FBD=/BDE,

：.DE!/BFt

故②正确；

VZAFD=ZDGC=9O0,DF=DG,ADKCD,

:.AADF和△CDG不全等，

故③不正确；

所以，上面三个结论，其中正确的是①②，

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解

题的关键.

2.（2022春•保定期末）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离,

我军战士想到一个办法.他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部

点&然后转过身，保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自

【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：战士的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点&然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了

我军阵地的点E上；

得NA=ZD,

*：AC=DF,

.•・NAC8=NO”£=9（r,

:.判定△48。0△OPE的理由是4sA.

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等

三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,两直角三角形全等还有HL等.

3.（2022春•鼓楼区校级期末）在下列条件中，能判定△ABC和B'C全等的是（）

A.4B=A'B',BC=B'C,NA=/A'

B.NA=NA',ZC=ZC;,AC=B'C

C.NA=NA',/B=/B',NC=NC'

D.AB=A'B',BC=B'C,NB=NB'.

【分析】三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及

其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.依据上述

方法进行判断即可.

【解答】解：当AB=A'B',BC=B'C,NA=NA'时，不能判定△ABC和△4'B'C'全等，NA

与NA'不是已知两边的夹角；

当NA=NA',ZC=ZCZ,AC=B'C时，不能判定aABC和AA'B'C全等，B'C不是NA'

与NC'的夹边；

当NA=N4',NB=NB「NC=NC'时，不能判定△ABC和B'C全等，不存在AAA的方法;

当48=4'B',BC=B'C,NB=NB'时，能判定△ABC和B1C全等，依据是SAS.

故选：Q.

【点评】本题主要考查了全等二角形的判定，解题时注意：若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第二

边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另

一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

4.（2022春•阜新县期末）如图所示，已知N1=N2,要使△ABCgZXAOE,还需条件（）

A.AB=AD,BC=DEB.BC=DE,AC=AE

C.NB=ND,NC=NED.AC=AE,AB=AD

【分析】根据N1=N2求出根据全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,看看题

目给的两边是否是夹NBA。和ND4E的两个对应边即可，注意：AA4和SSA不能判断两三角形全等.

【解答】解：・・・N1=N2,

JZ1+ZE4C=Z2+ZE4C,

AZBAC=乙DAE,

由于全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,则

A、不是夹N8AC和NZME的两个对应边，故本选项错误；

B、不是夹NBAC和ND4E的两个对应边，故本选项错误；

C、根据三个角对应相等，不能判定两三角形全等，故本选项错误；

。、是夹N84C和ND4E的两个对应边，故本选项正确.

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS,4s4,A4S,SSS,其中

A44和SSA不能判断两三角形全等.

5.（2022•盘龙区二模）如图，已知四边形A8C。中，AB=\0cm,BC=8cm,CD=l2cm,NB=NC,点、E

为48的中点.如果点P在线段8C上以3c〃心的速度沿8-C-B运动，同时，点。在线段CO上由C点

向。点运动.当点。的运动速度为-匕或3或立或至c7〃/S时，能够使尸E与△CQP全等.

-134-4-

D

A

【分析】设点P在线段BC上运动的时间为f,分两种情况讨论，①点P由B向C运动时，XBPE/XCQP

②△BPE经△CP。，③点尸由。向B运动时，ABPEWACQP,④根据全等三角形的对应

边相等列方程解出即可.

【解答】解：设点P在线段4c上运动的时间为f,

①点P由8向C运动时，BP=3t,CP=8-3f,

■:ABPE刍ACQP,

：,BE=CP=5,

.\5=8-3r,

解得f=l,

：.BP=CQ=3,

此时，点。的运动速度为3+l=3cMs；

②点尸由8向C运动时，

MBPE々ACPQ,

:・BP=CP,

.*.3/=8-3r,

,一4

3

此时，点。的运动速度为：5+佟=争加s；

③点P由C向B运动时，CP=3r-8,

:△BPEgZXCQP,

：.BE=CP=5,

・・・5=3f-8,

解得t=Alt

3

:.BP=CQ=3,

此时，点。的运动速度为3+里=工加s；

313

④点P由。向5运动时，

■:ABPE沿ACPQ,

：.BP=CP=4,

3/-8=4,

/=4,

,：BE=CQ=5,

此时，点Q的运动速度为5+4=2•〃心

4

综上所述：点Q的运动速度为-tc〃?/$或3cml§或而或」耳〃次；

1354

故答案为：2或3或§或生.

1344

【点评】本题考查三角形全等的判定，掌握动点问题在解决全等三角形时边长的表示及分情况讨论，它们

也是解决问题的关键.

二.全等三角形的判定与性质（共6小题）

6.（2022春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB>AC,A£>是△ABC的角平分线，点E在A。上，

过点E作ERLBC于点尸，延长CB至点G,使8G=2尸C,连接EG交AB于点”，EP平分NGEC,交AO

的延长线于点P,连接PH，PB,PG,若NC=/EGC+/BAC,则下列结论：

①NAPE=2NAHE；②PE=HE；③A8=GE；④SMAB=SNGE.

2

其中正确的有（）

A.①②③B.①②③④C.①②D.©©④

【分析】过点P分别作GE,AB,AC的垂线，垂足分别为/,M,N,根据角平分线的性质定理可知，PM

=PN=PL易证PH平分NBGE,即NPHM=NP/〃.设NPEH=a,ZPAB=P，由外角的性质可得/APE

=a-p,ZAHE=2a-2p,所以NAPE=2NA"E；故①正确；由外角的性质可得NP”