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文档简介

浙江省乐清外国语学院2025届高三下学期第五次调研考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,.若存在,使得成立,则的最大值为()A. B.C. D.2.已知集合,则()A. B. C. D.3.如图所示的程序框图输出的是126,则①应为()A. B. C. D.4.已知函数,,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为()A. B. C. D.5.已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()A. B. C. D.6.以下四个命题:①两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1;②在回归分析中,可用相关指数的值判断拟合效果,越小,模型的拟合效果越好;③若数据的方差为1,则的方差为4;④已知一组具有线性相关关系的数据,其线性回归方程,则“满足线性回归方程”是“,”的充要条件;其中真命题的个数为()A.4 B.3 C.2 D.17.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要8.函数在上的大致图象是()A. B.C. D.9.已知集合,,若,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.410.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称,登泰山的路线有四条:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均不同,且均没有走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述:甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路;丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路;事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是()A.甲走桃花峪登山线路 B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路 D.甲走天烛峰登山线路11.设等差数列的前n项和为,且,,则()A.9 B.12 C. D.12.已知满足,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,角,,的对边分别为,,.若;且,则周长的范围为__________.14.若,则的最小值是______.15.已知是等比数列,若,,且∥,则______.16.以,为圆心的两圆均过,与轴正半轴分别交于,,且满足,则点的轨迹方程为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,(Ⅰ)当时,证明;(Ⅱ)已知点,点,设函数,当时,试判断的零点个数.18.(12分)在直角坐标系中,直线l过点,且倾斜角为,以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.求直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程,并判断曲线C是什么曲线;设直线l与曲线C相交与M,N两点,当,求的值.19.(12分)已知,求的最小值.20.(12分)在四棱锥的底面中,,,平面,是的中点,且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)线段上是否存在点,使得,若存在指出点的位置,若不存在请说明理由.21.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.22.(10分)等差数列中,,,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的组合,并求数列的通项公式;(2)记(1)中您选择的的前项和为,判断是否存在正整数,使得,,成等比数列,若有,请求出的值;若没有,请说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由题意可知,,由可得出,,利用导数可得出函数在区间上单调递增,函数在区间上单调递增,进而可得出,由此可得出,可得出,构造函数,利用导数求出函数在上的最大值即可得解.【详解】,,由于,则,同理可知,,函数的定义域为,对恒成立,所以,函数在区间上单调递增,同理可知,函数在区间上单调递增,,则,,则,构造函数,其中,则.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,.故选:C.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及指对同构思想的应用,考查化归与转化思想的应用,有一定的难度.2、B【解析】

计算,再计算交集得到答案【详解】,表示偶数,故.故选:.【点睛】本题考查了集合的交集,意在考查学生的计算能力.3、B【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.∵S=2+22+…+21=121,故①中应填n≤1.故选B点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.4、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(当且仅当ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1时,等号成立);故f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故选:A.5、C【解析】

根据,两边平方,化简得,再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量,满足,且,所以,所以,所以,所以,所以与的夹角为.故选:C【点睛】本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.6、C【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断,

②根据相关指数的值的性质进行判断,

③根据方差关系进行判断,

④根据点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,而回归直线必过样本中心点,可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;

②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;

③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;

④因为点满足回归直线方程,但点不一定就是这一组数据的中心点,即,不一定成立,而回归直线必过样本中心点,所以当,时,点必满足线性回归方程;因此“满足线性回归方程”是“,”必要不充分条件.故④错误;

所以正确的命题有①③.

故选:C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性,拟合性检验,两个线性相关的变量间的方差的关系,以及两个变量的线性回归方程,注意理解每一个量的定义,属于基础题.7、B【解析】

利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。8、D【解析】

讨论的取值范围,然后对函数进行求导,利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时,,则,所以函数在上单调递增,令,则,根据三角函数的性质,当时,,故切线的斜率变小,当时,,故切线的斜率变大,可排除A、B;当时,,则,所以函数在上单调递增,令,,当时,,故切线的斜率变大,当时,,故切线的斜率变小,可排除C,故选:D【点睛】本题考查了识别函数的图像,考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义,属于中档题.9、B【解析】

解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解:,.当时,,此时不成立.当时,,此时成立,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.10、D【解析】

甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选:D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.11、A【解析】

由,可得以及,而,代入即可得到答案.【详解】设公差为d,则解得,所以.故选:A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.12、A【解析】

利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.【详解】,.故选:A.【点睛】本题考查三角求值,涉及两角和与差的余弦公式的应用,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

先求角,再用余弦定理找到边的关系,再用基本不等式求的范围即可.【详解】解:所以三角形周长故答案为:【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件;基础题.14、8【解析】

根据,利用基本不等式可求得函数最值.【详解】,,当且仅当且,即时,等号成立.时,取得最小值.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式,构造基本不等式的形式是解题关键.15、【解析】若,,且∥,则,由是等比数列,可知公比为..故答案为.16、【解析】

根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上,由此得到,同理可得,由对数运算法则可知,从而化简得到,由此确定轨迹方程.【详解】,,和的中点坐标为,且在线段的垂直平分线上,,即,同理可得:,,,点的轨迹方程为.故答案为:.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题,关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程,由此得到结果.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)1.【解析】

(Ⅰ)令,;则.易得,.即可证明;(Ⅱ),分①,②,③当时,讨论的零点个数即可.【详解】解:(Ⅰ)令,;则.令,,易得在递减,在递增,∴,∴在恒成立.∵在递减,在递增.∴.∵;(Ⅱ)∵点,点,∴,.①当时,可知,∴∴,,∴.∴在单调递增,,.∴在上有一个零点,②当时,,,∴,∴在恒成立,∴在无零点.③当时,,.∴在单调递减,,.∴在存在一个零点.综上,的零点个数为1..【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题,考查了分类讨论思想,属于压轴题.18、(Ⅰ)曲线是焦点在轴上的椭圆;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)由题易知,直线的参数方程为,(为参数),;曲线的直角坐标方程为,椭圆;(2)将直线代入椭圆得到,所以,解得.试题解析:(Ⅰ)直线的参数方程为.曲线的直角坐标方程为,即,所以曲线是焦点在轴上的椭圆.(Ⅱ)将的参数方程代入曲线的直角坐标方程为得,,得,,19、【解析】

讨论和的情况,然后再分对称轴和区间之间的关系,最后求出最小值【详解】当时,,它在上是减函数故函数的最小值为当时,函数的图象思维对称轴方程为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为综上,【点睛】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题。20、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,点为线段的中点.【解析】

(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形,得到证明.(Ⅱ)建立如图所示坐标系,平面法向量为,平面的法向量,计算夹角得到答案.(Ⅲ)设,计算,,根据垂直关系得到答案.【详解】(Ⅰ)连结,,,则四边形为平行四边形.平面.(Ⅱ)平面,四边形为正方形.所以,,两两垂直,建立如图所示坐标系,则,,,,设平面法向量为,则,连结,可得,又所以,平面,平面的法向量,设二面角的平面角为,则.(Ⅲ)线段上存在点使得,设

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