工科数学分析 上册（第2版）课件：函数、极限与连续综合例题_第1页
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函数、极限与连续综合例题《工科数学分析》（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一、主要内容1、函数的定义2、极限的定义左极限右极限无穷小:极限为零的变量称为无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大:在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系3、无穷小与无穷大定理1在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质定理推论1推论24、极限的运算性质5、求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.6、判定极限存在的准则(夹逼准则)(1)(2)7、两个重要极限定义:8、无穷小的比较定理(等价无穷小替换定理)9、等价无穷小的性质10、极限的唯一性11、有界性或局部有界性定理收敛的数列必定有界.推论无界数列必定发散.定理(保号性)12、局部保号性推论（保序性）13.归并性定义定理函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.（这一点可用来证明极限的不存在）14、连续的定义定理16、连续的充要条件15、单侧连续17、间断点的定义(1)跳跃间断点(2)可去间断点18、间断点的分类跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点:可去型第一类间断点跳跃型0yx0yx第二类间断点19、闭区间的连续性20、连续性的运算性质定理定理1

严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理221、初等函数的连续性定理3定理4

基本初等函数在定义域内是连续的.定理5

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.22、闭区间上连续函数的性质定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.例1解将分子、分母同乘以因子(1-x),则二、典型例题例2解解法讨论?例3解例4证明

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