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《工科数学分析》常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程定义二阶常系数齐次线性方程解法

n阶常系数齐次线性方程解法小结一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法由于上述方程的左端是用常系数组合起来的，而且指数函数的各阶导数都是其自身的常数倍，因此我们推测该方程可能有指数函数

形式的解。将其代入上方程,得故有特征方程特征根*有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为**有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为***有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.在复数域上特征根为故所求通解为解特征方程为例3四、小结二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)

特征根的情况

通解的表达式

实根21rr¹

实根21rr=

复根bair±=2,1

xrxreCeCy2121+=

xrexCCy2)(21+=

)sincos(21xCxCeyxbba+=

思考题求微分方程的通解.思考

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