2024-2025学年上海市杨浦区高三上册11月期中数学检测试题

2024-2025学年上海市杨浦区高三上学期11月期中数学检测试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设集合，，则________．2.已知复数为虚数单位），表示的共轭复数，则________.3.已知向量满足：，与的夹角为，则__________.4.函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是_______.5.袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球，甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球，后摸球的人不知前面摸球的结果，则乙摸出红球的概率是___________．6.展开式中系数为___________.（答案用数字作答）7.已知，若，则______.8.在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________．9.某同学6次测评成绩的数据如茎叶图所示，且总体的中位数为88，若从中任取两次成绩，则这两次成绩均不低于93分的概率为__________.10.已知过抛物线的焦点的直线与交于，两点，线段的中点为，且．若点在抛物线上，动点在直线上，则的最小值为________．11.已知函数，若存在唯一的负整数，使得，则实数的取值范围是______．12.已知函数，若实数满足，则的最大值为__________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A若，，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则14.已知，，．求的最大值（）A B. C.5 D.215.设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得，则称函数和再上具有性质．现有四组函数：①，；②，；③，；④，．其中具有性质的组数为（）A.1 B.2 C.3 D.416.一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列一个周期．给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（）A.②③④ B.②④ C.②③ D.①②③④三、解答题（本大题共有5题，满分78分）．17.在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，．（1）求证：；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．18.学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主选择其中道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：选答④、⑥、⑧、⑩的题目数1道2道3道4道人数（1）现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这位学生的性别情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：性别“公序良俗”达人非“公序良俗”达人总计男性

女性

总计

请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关．（2）从这名学生中任选名，记表示这名学生选答④、⑥、⑧、⑩题目数之差的绝对值，求随机变量的分布和数学期望．参考公式：，其中．附表见上图．19.已知数列和满足，（为常数且）．（1）证明：数列是等比数列；（2）已知为数列的前项和，且，记，为数列的前项和，求使得取到最大值时的值．20.已知椭圆的离心率为，且过点．直线交于，两点．点关于原点的对称点为，直线的斜率为，（1）求的方程；（2）证明：为定值；（3）若上存在点使得，在上的投影向量相等，且的重心