《一次同余式组的解研究》4000字（论文）

一次同余式组的解研究目录TOC\o"1-2"\h\u17446前言 2302941一次同余式组的背景及意义 242431.1选题背景 297611.2选题意义 352692一次同余式组的准备知识及概念 4266412.1准备知识 4195902.2一次同余式组的概念 441263一次同余式组有解的判定 523953.1时 519655解 5172963.2当时 5288614一次同余式组的几种解法 6303504.1一次同余式组解的三种简单算法 6141434.2用代入法解一次同余式组 7205254.3用矩阵解一次同余式组 9164064.4用孙子定理解一次同余式组 1074744.5系数不为1的情况 1210372组成六个同余式组用孙子定理解分别为 13253575一次同余式组的应用 1442675.1一次同余式在生活中的应用 14225495.2一次同余式组在多元不定方程的应用 1564565.3在高中数学竞赛中的应用 16141036小结 16853参考文献 17摘要：同余理论是初等数论的一个重要课题，它要解决的是如何确定一个同余式（或同余式组）的解的个数与解的方法.本文通过介绍一次同余式组的背景意义、一次同余式组的准备知识及概念、一次同余式组的解法（同余式组有解的情况、代入法、矩阵法、孙子定理（中国剩余定理）及例题再到一次同余式组的应用.关键词：一次同余式组；孙子定理；大衍求一术；前言一次同余式组是一个古老的研究课题，在中国最早见于一次同余式组问题的书籍是《孙子算经》中的物不知其数问题，秦九韶给出了解一次同余式组的一般方法，在先人的基础上一次同余式组的问题有了更多解决的方法，本文阐述了三种方法（代入法、矩阵法、孙子定理（中国剩余定理）.文中还讨论了一次同余式组有解的情况，除了文中简绍的还有其它的方法.一次同余式组在其它方面作用也很大，例如在同余方程、同余组、计算机都有应用，在公钥系统与通信编码领域等都有重要作用.由此可见一次同余数组在数学中的重要性.1一次同余式组的背景及意义1.1选题背景在中国以中国剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的人筮古法,另一个来源是古代制定历法的需要,从汉末到宋末余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式组的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.在中国最早见于数学典籍的一次同余式组问题在《孙子算经》物不知其数的问题.秦九韶在《数书九章》中将这一问题发展为求解一次同余式组的一般解法，称为“大衍总数术”，现在统称“中国剩余定理”.在西方经过欧拉、拉格朗日、高斯三代人努力才完成一次同余理论的建立,当时在据学术界中心地位的彼得堡科学院,柏林科学院竟相发表,高斯在其名著《算术探讨》中列专章阐述.公元年，英国基督教教士伟烈亚力将“物不知其数”题介绍到西方，人们发现它符合高斯定理，遂称“中国剩余定理”，这个定理至今仍闻名海外，给中国和世界数学史增添了光辉的一页.参看的文献用求矩阵的初等变换将同余式组的系数矩阵的末一行化为的形式便可以求出解这种方法比较简单,计算量不大.文献介绍了”大衍求一术“的基本思想和现代数论之间的关系，并给出了现代证明[2]如果有解，而文献主要介绍了一次同余式组的解法，系数未必是的情况和模未必两两互素的情况.文献介绍一次同余式组的由来,国内外对于一次同余式组的研究发展状况,分析必较了印度、日本、欧洲等国的情况表面中国古代在解一次同余式组的问题上,不但时间遥遥领先,而且在理论和方法上以有光辉而独特的成就.文献介绍了大衍求一术的珠算程序，介绍了大衍求一术的一些理论和历史发展情况，大衍求一术在一次同余式组中的应用.文献文献中都有关于同余式组的介绍，有关一次同余式组的相关知识，对于本文的书提供了帮助.在很多期刊、报纸以及书籍上都有关于一次同余式组的解法的研究，但都不是很全面，本文对于一次同余式组的解进行讨论，然后提出一次同余式组的几种解法，在解题过程中可以选择简单的方法.1.2选题意义我国及国外对于"一次同余式的解"都有很多的研究，取得的成果也十分的丰硕通过了解"一次同余式组的解”的多种方法发展逻辑思维能力，通过在解题的过程中提高运算能力，一题多解的方法运用于学习数学中开阔读者的思维，培养读者的发散思维能力，培养学习数学的兴趣，更对读者的启蒙教育有深刻的意义.对于数论的各个分支的发展都有很强的推动作用，对于其他数学分支以及其他数学数学学科的发展也有推动作用.通过了解一次同余式组的解的多种方法，例如孙子定理、大衍求一术、代入法、矩阵法的过程了解伟大的数学家在研究某些问题时也会受到一定的限制，他的研究方法不是万能的也不是对于解决这个问题最简单的方法，从而培养正确面对困难的能力，树立积极乐观的心态.2一次同余式组的准备知识及概念2.1准备知识[16]2.2一次同余式组的概念同余数组（或同余式，同余方程组）或写成上式称为同余式组，其中是整系数多项式，若未知数的次数是，则称为一次同余式组.[11]3一次同余式组有解的判定3.1时设且若∤则这两个同余式没有公解,所以一次同余式组没有解,若则他们有公解,而且这公解是以为模的一类剩余解.[17]例解∵∤∴这两个同余式没有公解,则无解.例解因为所以这个同余式组有解，由得3.2当时设同余式组是个联立同余式，若有一个∤，则这个联立同余式没有公解，若所有的都能除尽则个联立同余式仅有一个公解而且这个公解是以为模的一类剩余.[18]例解∵∤∴这个同余式组无解例解因为所以这三个同余式组解得代入得所以.4一次同余式组的几种解法4.1一次同余式组解的三种简单算法引理[19]:若有解其中①若则②若则③若则例[19]一个两位数除以余，除以余，除以余，则这个数为多少？解由题可解由题可知又因为是两位数∴，∴该数为.例一个数除以余，除以余，除以余.则满足条件的最小正整数为多少？解由题可知：∴最小的正整数为.例一个数除以余，除以余，除以余，则该数为多少？解由题可知，∴该数为.4.2用代入法解一次同余式组同余式组由得代入得代解出代入（1再代入第三个同余式，依次类推，直到最后一个同余式.[17]例8解同余式组解例[20]求一个正整数，用来，则余数是,用来除,则余数是，用来除,则余数是，用来除,则余数是.解由题得设代入式4.3用矩阵解一次同余式组同余式组其中，做矩阵 其中则对于进行初等变换，使其某一行变为,且此时的解为,若，则可以换为例解作矩阵4.4用孙子定理解一次同余式组孙子定理；[21]设m两两互质的正整数，令则一次同余式一定有解，它的解为其中可以列表为表SEQ表\*ARABIC1除数余数最小公倍数衍数乘率各总答数……………例解一次同余式组解所以上式同余式组有解∴此时模互素，由孙子定理得，例解一次同余式组解两两互质以可以列表为表SEQ表\*ARABIC2乘数余数最小公倍数衍数乘率各总答数最小答数4.5系数不为1的情况是两两互质的正整数，所以有解的充分必要条件为，且有解时，解数为.定理：设，则同余式有解的充要条件为且有解时，解数为.例解一次同余式组解因为所以有解，有两个解，因为所以有解，有三个解，又因为，所以上述同余式组共有个解，由得求得两个解由得求得三个解组成六个同余式组用孙子定理解分别为解得解得解得解得解得解得例求一次同余式组的解解5一次同余式组的应用5.1一次同余式在生活中的应用在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用去除某一个总的时数所得的系数，同是几点钟或同为星期几，常常在生活中有同样的意义，这样就在数学中产生了同余的概念.例假定现在是点，在两个小时前是几点呢.我们会立刻得到答案点，那么过了个小时后呢,即晚上点.解决问题的方法是，若现在时间是问经过小时后的时间只需，余数就是手表的小时数。例如果今天是星期一，问从今天起再过天是星期几？解∵∴是星期五.例某车间生产了一批不足个零件，如果每盒装入个零件，还剩个零件，如果每盒装入个零件，还剩个零件，问这批零件一共有多少个？解设这批零件一共为个由题可得设因为生产不足150个，所以，所以5.2一次同余式组在多元不定方程的应用例求的一切解解因为，所以有解先解而与同解的一组解为，的一组解为的一切解为又的一组解为一组解为的一切解为的一切解为5.3在高中数学竞赛中的应用在高中数学竞赛中，常常碰到一些需要用到中国剩余定理的问题，在处理这些问题时，中国剩余定理是个有利的工具.例[22]求证：对任何正整数，存在个相继的正整数，它们都不是素数的正整数幂（第30届IMO试题）.证明取个不同的素数，则由孙子定理，同余方程组有解设此解为，则是个相继正整数，它们中的每一个都至少含有两个不同的素因数，所以，每一个都不是素数的正整数幂，所以对于任何正整数，存在个相继的正整数，它们都不是素数的正整数幂.6小结一次同余式组的解法一直以来都有学者在研究，本文中结合了学者的研究给出了一次同余式组的解法，除了文中的方法还有其它解决一次同余式组的方法，各种解法各有千秋，在使用的时候还需要灵活变通，根据不同的类型而选择使用不同的方法，甚至是将各种方法融合在一起共同使用，以达到解决题的目的，在求解时还需要观察一次同余式组特征性质来选择简单的方法.参考文献周立仁.一次同余式组的矩阵解法.[J],湖南理工学报,2005,18(4).丛山."大衍求一术"与一次不定方程.[J],淮南职业学院学报，2004,01王世民.一次同余式组的解法.[J],数学教学研究,1983,02.米道生.一次同余式组的解法.[J],中学生数学,1981,02.沈康身.中国剩余定理的历史发展.[N],杭州大学学报,1988,03.邓真峰.中国剩余定理的中外历史发展比较[D],四川.四川师范大学硕士论文,2017.潘天骥.论述中国剩余定理的形成及其影响.[J],九江师专学报,1987,05.张艺林.中国剩余定理及其应用.[J],科学展望,2017,29.姜春艳.中国剩余定理探析.[N],武警学院学报,2005,03.刘芹英.大衍术算法的推进和简化研究.[J],河南科学,2003,06.李子愚."大衍求一术"探秘.[J],怀化师专学报，1986,z1.钱宝琮,秦九韶.(数书九章)宋元教学史论文集.[J],科学出版社,1966.沈康身.秦九韶大衍术与高斯《算术探讨》,[N],杭州大学学报,1992,02.华罗庚.数论导引[M].北京:科学出版社,1995.陈景润.初等数论[M].北京:科学出版社,1978.单墫.初等数轮[M].南京大学出版社，2000：33—34.王峰.初等