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章末重构拓展第一章空间向量与立体几何类型1空间向量的概念及运算1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．2．向量的运算过程较为繁杂，要注意培养学生数学运算的学科素养．

√√√

类型2利用空间向量证明位置关系1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维和数学运算的学科素养．【例2】如图所示，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．证明：AB1⊥平面A1B1C1.

类型3利用空间向量求距离

2．通过利用向量计算空间的距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算的学科素养．

√

1．利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用，利用向量方法求夹角，可不作出角而求出角的大小，体现了向量方法的优越性．2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑推理和数学运算的学科素养．类型4利用空间向量求空间角

[解]

(1)因为PB∥平面ACE，平面PBD∩平面ACE＝OE，PB⊂平面PBD，所以PB∥OE.又O是BD的中点，所以E是PD的中点．连接PO，因为四边形ABCD为矩形，所以OA＝OC，又PA＝PC，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又AC∩BD＝O，所以PO⊥底面ABCD．以O为原点，OP所在直线为z轴，过点O平行于AD的直线为

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